Timoshenko方程組Cauchy問題光滑解的穩定性

侯宏樂，劉存明

(太原理工大學 數學學院, 山西 太原 030024)

0 引 言

本文研究的如下的Timoshenko方程組:

(1)

式中：t∈+；x∈是空間變量；φ(t,x)表示位移；ψ(t,x)表示角度；σ(y)是已知光滑函數且σ′(y)>0,γ>0為正常數. 賦予系統(1)如下的初值條件

t=0:(φ,?tφ,ψ,?tψ)=

(φ0(x),φ1(x),ψ0(x),ψ1(x)).

(2)

在有界區域, 文獻[1]得到了當式(1)的第一個方程有-φt時,式(1)的解是指數穩定的, 文獻[2] 中, 當式(1)的第一個方程無-φt時, 式(1)的解不是指數穩定的, 除非在等波速的情況下. 在整個空間上, 文獻[3]借助傅里葉空間中的能量估計, 得到了在等波速和不等波速情形下的兩個衰減估計. 文獻[4]改進了文獻[3]的結果. 文獻[5]中, Racke和Houari 引入空間L1,r(), 改進了文獻[3]的結果. 文獻[2，6]用不同的方法得到了相似的結果.最近, 文獻[7-8]在等波速和不等波速的情形下, 得到了系統 (1)在Besov空間中的整體解以及解的衰減估計. 文獻[1，9-10]研究了帶熱傳導及其他耗散類型的Timosh enko系統. 文獻[11-12]考慮帶記憶項耗散的情況. Ide和Kawashima在文獻[13]中利用時間加權的能量估計獲得整體解的存在性和解的衰減性.

1 主要結果

為了方便, 引入如下記號：H2,L2,L∞分別表示經典的Sobolev空間H2(),L2(),L∞(), 它們上面的范數分別記作‖·‖H2,‖·‖ 及‖·‖L∞；〈·,·〉表示Hilbert空間L2() 上的內積，C；Ci(i∈)均表示與時間變量t無關的正常數.

在文獻[3]中，引入了如下的變量替換

u=?tφ,v=?xφ-ψ,y=?xψ,z=?tψ.

由式(1)可得到關于變量(u,v,y,z)的方程組:

(3)

并滿足初始條件

t=0:(u,v,y,z)=(u0(x),v0(x),

y0(x),z0(x)),

(4)

其中

u0=φ1,v0=?xφ0-ψ0,y0=?xψ0,z0=ψ1.

U∈C([0,T*],H2())∩C1([0,T*],H1()),

其中，T*一般依賴于σ′(y).

對于Cauchy問題(3)～(4), 可以得到如下的整體存在性結果：

定理1存在常數δ>0, 使得對任意滿足

的初值U0, Cauchy問題(3)～(4)存在唯一整體經典解U=U(t,x), 并且對任意的t≥0, 成立

2 對稱化及能量估計

本節將方程組(3)寫為一般形式的雙曲方程組, 并利用對稱化技巧對U進行能量估計, 最后對相應的變量作耗散能量估計.

2.1 方程組(3)的對稱化

式(3)可寫為如下一般形式方程組

?tU+A(U)?xU+LU=0,

(5)

并且滿足如下初始條件

t=0:U=U0(x),

(6)

其中，U0=(u0,v0,y0,z0),

(7)

(8)

取

(9)

則A0(y)關于y是一致正定矩陣. 且

(10)

是對稱矩陣. 從而方程組(5)是可對稱化雙曲方程組.

為了進行能量估計, 下面將用到經典的Sobolev嵌入定理H2()W1,∞(), 即存在一個常數Cem>0, 使得

‖f‖|L∞≤Cem‖f‖H2, ?f∈H2().

(11)

2.2 能量估計

對任意T>0, 設U=U(t,x)是Cauchy問題(5)～(6)在區域[0,T]×上的H2解. 對任意t∈[0,T], 定義能量泛函ε2(t) 及耗散能量泛函D2(t)為

ε2(t)=〈A0(y)U,U〉+〈A0(y)?xU,?xU〉+

〈A0(y)?x2U,?x2U〉,

‖?xu‖2).

不妨假設ε2(t) 充分小, 從而由經典Sobolev嵌入定理式(11), 得

‖y‖L∞≤C‖U‖H2.

這樣就有

成立, 當|y|?1時.

要證明定理1, 只需確立如下的能量不等式

(12)

利用對稱化技巧及經典能量估計, 有如下的命題.

命題1對于任意的t∈[0,T], 成立

(13)

證明L2估計式(5)左乘矩陣A0(y), 并與U作L2()內積, 得

(14)

由表達式(8)～(10)通過簡單計算, 易得

-2〈σ″(y)y?xy,z〉+〈σ″(y)y?ty,y〉.

(15)

由柯西-施瓦茲不等式及Sobolev空間嵌入定理(11), 將式(15)右邊第一項化為

|〈σ″(y)y?xy,z〉|≤C‖y‖L∞‖?xy‖‖z‖≤

C‖y‖L∞(‖?xy‖2+‖z‖2)≤

C‖U‖H2(‖?xy‖2+‖z‖2)≤

由式(3)的第三個方程及分部積分, 式(15)右邊第二項可化為

|〈σ″(y)y?ty,y〉|=|〈σ″(y)y?xz,y〉|=

|-2〈σ″(y)z?xy,y〉-〈σ?(y)yz?xy,y〉|≤

從而得U的L2估計

(16)

一階能量估計對式(5)關于x求一階偏導數, 得

(17)

式(17)左乘矩陣A0(y), 并與?xU作L2()內積, 得

2〈A0(y)(?xA(U))?xU,?xU〉.

(18)

利用方程組(3), 并由Sobolev空間嵌入定理, 易得

|〈(?tA0(y))?xU,?xU〉|=

|〈σ″(y)?ty?xy,?xy〉|=

|〈σ″(y)?xz?xy,?xy〉|≤

C‖?xy‖L∞‖?xy‖‖?xz‖≤

(19)

|2〈-σ″(y)?xy?xz,?xy〉|≤

C‖?xy‖L∞‖?xy‖‖?xz‖≤

(20)

|-2〈A0(y)(?xA(U))?xU,?xU〉|=

|2〈σ″(y)?xy?xy,?xy〉|≤

C‖?xy‖L∞‖?xy‖2≤

(21)

將式(19)～(21)代入式(18), 得

(22)

二階能量估計對式(5)關于x求二階偏導數, 得

(23)

(24)

由表達式(7)～(10), 并由柯西不等式及Sobolev空間嵌入定理, 易得

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(25)～(28)代入式(24), 得

(29)

最后, 將式(16),(22)和(29)相加, 得

(30)

從而得到式(13).

由式(13)知，要完成能量估計, 還需要給出‖?xy‖H1,‖v‖H1,‖?xu‖的時間耗散估計.

命題2對于任意的t∈[0,T], 成立

(31)

(32)

(33)

式中：ε為待定的正常數, 且與時間t無關.

證明首先證明式(31). 由式(3)中的第四個方程, 得

σ′(y)?xy=?tz-v+γz.

(34)

式(34)與?xy作L2()內積, 由柯西-施瓦茲不等式和Young不等式, 得

〈?xu,z〉+〈?xz,?xz〉+γ〈z,?xy〉≤

Cε‖z‖2+ε‖?xu‖2+‖?xz‖2+

(35)

(36)

再證明式(32). 同樣由式(3)中第四個方程, 得

v=?tz-σ′(y)?xy+γz.

(37)

式(37)與v作L2()內積, 得

〈?x(σ(y)),v〉+γ〈z,v〉.

(38)

對式(38)右邊的第四項進行分部積分, 得

-〈?x(σ(y)),v〉=〈σ(y)-σ(0),?xv〉=

(39)

其中

G(y)σ(y)-σ(0),

且有

成立, 當|y|?1時.

將式(39)代入式(38), 由柯西-施瓦茲不等式和Young不等式, 得

γ〈z,v〉+〈σ″(y)z?xy,u〉+〈(σ′(y)-1)z,?xu〉≤

(40)

從而得

(41)

最后證明式(33). 式(3)第二個方程與?xu作L2() 內積, 得

〈?xu,?xu〉=〈?tv,?xu〉+〈z,?xu〉=

由柯西-施瓦茲不等式, 得

Cε‖z‖2+ε‖?xu‖2.

|?xv‖2+C‖z‖2.

(42)

命題3對于任意的t∈[0,T], 成立

(43)

及

(44)

(45)

(46)

從而式(43)得證.

最后證明式(44). 對式(3)第四個方程關于x求偏導, 并與?xv作L2()內積, 得

(47)

對式(47)右邊的最后一項, 利用分部積分, 得

(48)

將式(48)代入式(47), 并利用Young不等式, 得

(49)

從而式(44)得證.

3 定理1的證明

將式(31)～(33)及(43)～(44)相加, 得

(50)

其中

B(t)=〈z,?xy〉+〈u,y〉+4〈z,v〉+

〈?xu,?xy〉+4〈?xz,?xv〉+4〈?x(σ(y)),?xu〉.

從而有

(51)

(52)

其中

對式(13)的兩邊同乘以C2并與式(52)相加, 得

(53)

取C2充分大, 使得γC2>C，則

(54)

從而得

(55)

其中C3=min{γC2,C1}.

因為ε2(t)充分小, 由式(55)得

(56)

其中，C4為正常數, 對式(56)兩端在[0,t]上積分,得

(57)

因為C2充分大, 故C2ε2(t)-B(t)與ε2(t)等價, 從而得

(58)

證畢.