■江炳新
在高中數學中,類比推理的學習是讓同學們較為頭痛的難點。而學好數學的關鍵是靈活并熟練應用類比推理思維,所以同學們一定要下功夫掌握并要熟練應用類比推理思維。本文主要探究高中數學解題中類比推理思維的具體應用,通過幾何中的類比推理、位置關系解題過程中的類比推理、數學概念中的類比推理、空間圖形解題過程中類比推理思維的應用,以幫助大家更好地理解和認識類比推理。
例1在平面幾何中,有勾股定理:設△ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2。拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的底面面積和側面面積間的關系,可以得出的結論是:設三棱錐A-BCD的三個側面ACD,ADB,ABC兩兩相互垂直,則____。
分析:一般需抓住“線—面,面—體,點—線,平面向量—空間向量”等幾個對應關系,實現平面和空間問題的類比。
例2在空間圖形中,應用類比推理思維進行解題,指的是“空間幾何”和“平面幾何”,也就是說“多邊形和多面體”“面積和體積”“邊和面”等。如在△DEF中,有余弦定理:DE2=EF2+DF2-2EF·DFcos∠EFD。拓展到空間,類比推理三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱ABC-A1B1C1的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角的關系式。
分析:在具體的解題中,需要大膽想象、推理,抓住類比推理的核心,保證點和面間的類比合理性,用哪一點對應哪一個面。首先作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面EFD,得到∠EFD,面ABB1A1與面BCC1B1形成角θ,則由余弦定理得到DE2=EF2+DF2-2EF·DFcos∠EFD。通過乘以,得到·。在具體的類比推理中,大家需充分按照已知條件,進行獨立思考,推斷出未知,提升數學學習的整體質量和效率,探索出數學知識的未知領域。
高中數學中,位置關系是重要的知識點,對同學們的三維空間想象能力有較高的要求。在具體的解題過程中,可通過結合位置關系和類比推理思維,按照具體知識推斷出抽象知識。
例3對“點、線、面之間的位置關系”這一蘇教版高中數學知識的學習,按照數學公理,類比推理出結論:已知直線a∥b∥c,直線a,b,c和直線d交于點A、B、C,得出直線a,b,c,d共面 。
分析:通過反證法及直線平行類比推理平面平行性質,得出“共面”的結果。在具體的解題中,梳理好知識點,明確不同位置關系間的聯系,展示點、線、面之間的關系,便于解題中更好地理解位置關系。
通過應用已學知識推理,以及科學運用類比推理,在實數乘法時,通過實數加法,類比推理實數乘法的性質:(1)a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)為實數加法性質。(2)如果a,b∈R,則a+b∈R,a,b∈R,則aB∈R。(3)a+0=a為實數加法性質,a·1=a為實數乘法性質。在類比推斷過程中,同學們要充分發揮主觀能動性,找出乘法和加法之間的聯系,回憶實數加法的性質,做出有關表格,并系統地理解實數乘法性質,便于更好地應用。
綜上所述,在數學解題過程中,積極應用類比推理思維,可激發同學們的學習興趣,降低數學學習的難度,便于同學們把抽象的數學知識簡單化、具象化,提升整體的學習質量和效率。