兩類數列不等式證明的思維解密—從2019年高考浙江卷第20題所想到的

廣州市廣東廣雅中學(510160) 徐廣華

引言我們常說,“教學既是一門科學,又是一門藝術”,如何把數學中一些“只可意會,不可言傳”的思想方法用最通俗易懂的方式傳授給學生,既是擺在數學教師面前的重要課題,也是體現教師功底和高明之處的專業技術.解題教學是數學教學的重要組成部分,貫穿著數學課堂的始終.多年前,華南師大附中數學特級教師李淦林曾經講過:要從學生的視角探討解題教學,一個好的解法,應是一個從學生實際出發的解法;應是一個“從學生中來,到學生中去”的解法;應是一個讓學生經歷過程體驗或實踐感悟的解法;應是一個使學生聰慧的解法.對此,筆者深有同感.

題目(2019年高考浙江第20題)設等差數列{an}的前n項和為Sn, a3=4, a4=S3.數列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數列.

(I)求數列{an},{bn}的通項公式;

(II)記cn=,證明:c1+c2+···+cn＜

分析(I)利用等差數列通項公式和前項和公式列出方程組,可解得a1=0,d=2,從而an=2n-2,n∈N*·Sn=n2-n,n∈N*,利用(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),容易求出bn=n2+n,n∈N*.

即n=k+1時,不等式也成立.由1○2○得c1+c2+···+cn＜n∈N*.

假設當n=k時不等式成立,即c1+c2+···+ck＜則當n=k+1時,c1+c2+···+ck+ck+1＜+要證當n=k+1時不等式成立,只要證c1+c2+···+ck+ck+1＜＜故只要證

而所以得證!

這里,我們利用分析法將這類數列不等式的證明問題化歸為證明其成立的一個充分條件,思路顯得非常自然、順暢,易被學生接受.

例1(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數

分析(3)設則不等式的左邊是數列{an}的前n項和.記不等式的右邊為Tn=ln(n+1)+看作是數列{bn}的前n項和,則當n≥2時,bn=Tn-Tn-1=當n=1時,b1=T1=也滿足上式,故因此只要證an＞bn,即也就是證即可.用換元法:令則,只要證

評注本題是2010年高考湖北理科卷的壓軸題,第(3)問難度很大,命題者的立意是想利用第(2)問的結論來解決第(3)問,但問題是將第(2)問不等式的中的x賦哪個與n有關的值才恰當呢?這里,我們通過分析法進行一步一步地轉化,將解題思路暴露無遺,遠比參考答案中提供的“帽子里變出兔子”的方法容易理解和掌握!

例2(2012年高考天津卷理科第20題)已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a＞0.

分析(3)原不等式即為2+ln(2n+1)(n∈N*),等價于證明:ln(2n+1)(n≥2),因為所以只要證ln(2n+1)(n∈N*),設,則不等式的左邊是數列{an}的前n項和.記不等式的右邊為Tn=ln(2n+1)看作是數列{bn}的前n項和,易得因此只要證an＜bn,也就是證即可.用換元法:令則只要證

例3(2008年高考陜西卷理科第22題)已知數列{an}的首項n=1,2,···.

(1)求{an}的通項公式;

(2)略.(3)證明:a1+a2+···+

分析(過程略);(2)略.

(3)不等式的左邊是數列{an}的前n項和.記不等式的右邊為看作是數列{bn}的前n項和,易得因此只要證an＞bn,也就是證即可.只要證3n+2＞2n(n+1),即證

注意到:當n=2時,不等式(*)不成立.因此考慮對原不等式分類討論證明:當n=1時,左邊=右邊;當n=2時,左邊=右邊;所以,當n=1,2時原不等式成立.

評注本題是2008年高考陜西理科卷的壓軸題,參考解答中第(3)問的證明如下:由(2)知,對任意的x＞0,有

以上證明過程盡管非常精妙,讓人嘆為觀止,但試問在緊張的高考場上有幾個考生能想到對第(2)問中的賦這樣“古怪”的值呢?此外,為了證明第(3)問,命題者“處心積慮”創造出第(2)問這個不等式作為鋪墊,可謂用心良苦!但如果沒有了第(2)問這一“絕技”,筆者的解題思路將顯得更加平實.

例4(2012年廣州一模理科第21題)設f(x)=ex(e為自然對數的底數),gn(x)=1+x++···+

(1)證明:f(x)≥g1(x);

(2)當x＞0時,比較f(x)與gn(x)的大小,并說明理由;

分析(1)略;(2)用數學歸納法或作商構造函數求導后由單調性得f(x)＞gn(x);

(3)由(2)知,gn(1)＜f(1)=e,只要再證

證法3由n元均值不等式,得即兩邊n次方,得證!

例5在數列{an}中,已知a1= 2, an+1=

(1)求數列{an}的通項公式;

分析(過程略).

例6(1)求證:＜ln(n+1)＜

分析(1)記Tn=ln(n+1)看作是數列{bn}的前n項和,易得記,則只要證an＜bn＜cn,用換元法:令則只要證移項構造函數,求導后利用單調性即可證之(過程略).

設An和Bn分別為數列{an}和{bn}的前n項積,顯然,若0＜an＜bn(n∈N*),利用不等式的“正數同向可乘性”這一基本性質,則有An＜Bn.這啟發我們,要證明不等式,如果記Bn=f(n)看作是數列{bn}的前n項積,則那么只要證其通項滿足0＜an＜bn(充分條件)即可.

例7(2009年高考山東卷理科第20題)等比數列{an}的前n項和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(n,Sn)均在函數y=bx+r(b＞0且b/=1,b,r均為常數)的圖像上.

(1)求r的值;

分析(1)r=-1(過程略).(2)當b=2時an=2n-1, bn=2n,則不等式的左邊是數列{cn}的前n項積,記不等式的右邊為看作是數列{dn}的前n項積,則當n≥2時,當n=1時,也滿足上式,故因此只要證cn＞dn,即證只要證由基本不等式,得得證!

評注以上分析思路清晰,比參考答案中用數學歸納法證明要簡潔得多,比挖空心思用“放縮法”少了技巧,降低了思維的起點,也充分暴露了“放縮法”的思維過程.

例8(2009年高考廣東卷理科第21題)已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,···).從點P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn＞0)的切線ln,切點為Pn(xn,yn).

(1)求數列{xn}與{yn}的通項公式;

例9(2008年高考福建卷理科第22題)已知函數f(x)=ln(1+x)-x.

(1)求f(x)的單調區間;

(2)記f(x)在區間[0,n](n∈N*)上的最小值為bn,令an=ln(1+n)-bn.

分析(1)略;(2)an=n,1○略.前n項和,記不等式的右邊為看作是數列{dn}的前n項和,易得dn=因此只要證cn＜dn,而故只要證記,則cn是數列{xn}的前n項積,設看作是數列{tn}的前n項積,則易得因此只要證xn＜tn,即證例8分析(2)已證.

例10(2012年深圳一模理科第21題)已知數列{an}滿足:n∈N*,(其中e為自然對數的底數).

(1)求數列{an}的通項an;

(2)設Sn=a1+a2+···+an, Tn=a1·a2·a3·····an,求證:

分析(1)an=(過程略).

(2)記Bn=看成是數列{bn}的前n項和,易得因此,要證只要證an≤bn,

只需證en-1≥n(n∈N*).構造函數f(x)=ex-1-x(x≥1),則f′(x)=ex-1-1≥0,故f(x)在[1,+∞)上是增函數.因為n≥1,所以f(n)≥f(1)=0,移項得en-1≥n,得證!記Cn=e-n2看成是數列{cn}的前n項積,易得cn=e-(2n-1)(n∈N*).因此,要證Tn＞e-n2,只要證an＞cn,只需證(n+1)en-1＜e2n-1,即證en＞n+1(n∈N*).因為n+1＞1,所以f(n+1)＞f(1)=0,移項得en＞n+1,得證!

結束語

數學解題教學既要為學生的學習創設情境和想象的空間,也要為學生的學習創設思維的空間,引導學生如何去思考、去分析、去發現、去感悟、去創造,進而提升學生的數學核心素養.如果老師的解題講解只是一味地照搬參考答案,讓學生錯誤地以為數學解題就是追求一些只可意會不可言傳甚至是虛無縹緲的高超技巧,忽視了通性通法,不知來龍去脈,也不知從何想起,沒有從學生的角度去思考、分析問題,沒有暴露解題的思維過程,那么學生就很可能只有欣賞的份—-心有余而力不足.

數學核心素養的提升是一個綜合持續發展的過程,它并非單純地通過被動接受數學事實來實現,而是更多地需要通過對數學思想方法的領悟,對數學知識的自我構建等活動來實現.因此課堂上師生、生生多探討交流,多暴露思維的過程,這對培養學生數學思維的靈活性、創造性等都有積極的作用.