錯解總結　能力提升

趙佳佳

一、概念模糊不清

例1 江蘇省某校食堂銷售三種午餐盒飯的有關數據如圖所示，求該食堂銷售午餐盒飯的平均價格為。

【錯解】6.3元。

【錯解原因】用[8+5+63]作為答案，對加權平均數的概念不清楚。這里并不是簡單地求三個數據的平均值，應考慮每個數據的重要程度，即所占權重。

【正解】8×15%+5×25%+6×60%=6.05。

二、審題不仔細

例2 求下列一組數據的中位數：2，5，3，4，7。

【錯解】3。

【錯解原因】審題不清楚，錯誤地認為一組數據最中間的數據就是該組數據的中位數。

【正解】求一組數據的中位數，應先將數據按大小順序排列，如果有奇數個數據，取最中間一個，有偶數個數據，取中間兩個數據的平均數。因此排序后是2，3，4，5，7，中間數據（中位數）是4。

例3 某校對部分參加夏令營的中學生的年齡（單位：歲）進行統計，結果如下表：

[年齡 13 14 15 16 17 人數 1 2 2 4 1 ]

則這些學生年齡的中位數和眾數分別是。

【錯解】15、4。

【錯解原因】沒能認清年齡和對應的人數，錯誤地只取五個年齡的中間值。眾數是年齡而不是人數。

【正解】先將數據按順序排列可得13，14，14，15，15，16，16，16，16，17。共十個數據，中間兩個是15和16，中位數則取它們倆的平均數15.5;眾數是一組數據中出現次數最多的數據，而不是出現最多的數據的次數，年齡為16的人數最多，因而年齡的眾數是16。另外，根據眾數的意義，一組數據有時不止有一個眾數，也可以沒有眾數。如數據“5，6，7，6，8，8”的眾數是6和8;數據“12，18，46，56，100”沒有眾數。

三、計算錯誤，方法不優化

例4 某舞蹈隊12名隊員身高如下（單位：cm）：165，167，169，166，168，164，163，164，165，167，166，162。求她們的平均身高。

【錯解】計算錯誤的各種答案。

【錯解原因】計算方法繁瑣，基礎計算不過關。

【正解】優化方法，簡化計算過程，通過觀察我們發現，這組數據中的每個數據都較大，并且都接近一個數165，可以用以下方法：將每組數據同時減去165，得到一組新數據0，2，4，1，3，-1，-2，-1，0，2，1，-3。再計算新數據的平均數是[0+2+4+1+3-1-2-1+0+2+1-312]=0.5。所以原數據的平均數是165.5（cm）。

四、跟著感覺走

例5 一組數：1，2，2，3，若再添加一個數據2，則發生變化的統計量是（）。

A.平均數B.中位數

C.眾數D.方差

【錯解】A。

【錯解原因】沒有通過計算來說明問題，憑直覺，增加一個數平均數就變了。

【正解】通過計算可知原先四個數據的平均數是2，現增加一個數據2，那么現5個數據的平均數依然是2。原先的方差是：[1-22+2-22+2-22+3-224]=[12]，

現在的方差是：

[1-22+2-22+2-22+3-22+2-225]

=[25]。故選D。

例6 測試五名學生的“一分鐘跳繩”成績，得到五個各不相同的數據。在統計時，出現一處錯誤：將最高成績寫得更高了。計算結果不受影響的是（）。

A.平均數 B.中位數

C.眾數 D.方差

【錯解】C或D。

【錯解原因】不能很好地理解四個名詞的概念。

【正解】個數不變，總和增加，平均數變化;前后都是五個不同的數據，都沒有眾數;只改變一個數據，平均數變化，方差也發生了變化;五個數據大小排列，最中間第三個數據不變，所以中位數不變。故選B。

五、答題不嚴謹

例7 （2017·溫州）數據1，3，5，12，a，其中整數a是這組數據的中位數，則該組數據的平均數是。

【錯解】5。

【錯解原因】答題不嚴謹，排序后片面地認為a只能等于4。

【正解】由題意先將數據大小排列成1，3，a，5，12。由此可知a可以是3，4或者5。由此可求得平均數，一個都不能少。

故答案為：4.8或5或5.2。

六、理解偏差，公式不熟

例8 （2018·南京）某排球隊6名場上隊員的身高（單位：cm）是：180，184，188，190，192，194?，F用一名身高為186cm的隊員換下場上192cm的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高（）。

A.平均數變小，方差變小

B.平均數變小，方差變大

C.平均數變大，方差變小

D.平均數變大，方差變大

【錯解】B。

【錯解原因】不能很好地理解方差的含義。

【正解】關于平均數：個數不變，其中一個數變小，總和變小，平均數也變小。也可通過計算得平均數由188變成187。

方差和平均數息息相關，它集中描述了一組數據中的每個數據偏離平均數的大小，方差越大，越偏離平均數。替換前平均數是188，替換后平均數是187，由此看出替換后的隊員身高更靠近平均數，所以方差變小。當然也可以通過計算得方差前后分別是[683]和[593]。故選A。

例9 （2018·張家界）若一組數據a1，a2，a3的平均數是4，方差是3，則數據a1+2，a2+2，a3+2的平均數和方差分別是（）。

A.4，3 B.6，3 C.3，4 D.6，5

【錯解】D。

【錯解原因】想當然地認為每個數據加上相同的數，平均數和方差都應該增加，不能深刻理解平均數和方差的計算過程。

【正解】根據平均數的定義a1+a2+a3=12，那么a1+2，a2+2，a3+2的平均數是：

[a1+2+a2+2+a3+23]

=[a1+a2+a3+63]

=[183]=6，

數據a1+2，a2+2，a3+2的方差是：

[a1+2-62+a2+2-62+a3+2-623]

=[a1-42+a2-42+a3-423]。

這樣的計算結果和原數據a1，a2，a3的方差計算公式一致，所以數據a1+2，a2+2，a3+2的方差也是4。這里同學們也可以記住，這種情況下平均數相應增加，而方差不變。

故選：B

同學們，這些錯誤你都了解了嗎？或許你還有不一樣的錯誤，及時整理出來吧。錯誤并不可怕，只要我們認真總結反思，它將成為我們成功的見證。讓我們正確認識錯誤，消滅錯誤，一起進步，加油吧。

（作者單位：蘇州工業園區青劍湖學校）