綜合電機特性的柔性關節空間機器人全階滑?？刂?/h1>
2019-12-21 01:59朱安，陳力
福州大學學報（自然科學版） 2019年6期
朱 安，陳 力
(福州大學機械工程及自動化學院，福建 福州 350108)
0 引言
隨著人類對太空探索的不斷深入，必然出現大量如空間站的組裝、故障衛星的回收、太空垃圾的清理等太空任務，利用空間機器人來完成上述太空任務已被各國研究人員認為是一種行之有效的方案.因此，對空間機器人系統動力學與控制的研究被越來越多的學者關注[1-6].由于空間機器人的關節諧波減速器及傳動機構等存在固有的柔性，因此其關節不可避免地存在柔性.繼續用純剛性關節假設的空間機器人系統顯然已經達不到太空任務的要求，如何對關節存在柔性的空間機器人進行精確控制已被眾多研究者重視.
Ulrich等[7]對柔性關節空間機器人系統的動力學方程進行了推廣，且提出了一種擴展卡爾曼濾波策略.Steve 等[8]對柔性關節空間機器人的自適應反饋控制進行了研究，提出一種基于分散自適應控制的復合控制方案；Zarafshan等[9]將空間機器人系統劃分為剛性和柔性兩部分，得到了其精確的動力學模型，且基于虛擬阻尼參數的變化規律，提出一種自適應混合抑振算法；張奇等[10]根據關節驅動電機的動力學特性建立了柔性關節機器人系統動力學模型，且得出了柔性關節等效剛度和關節力矩的非線性關系.但上述研究人員均未考慮電機特性，而在空間機器人系統的動力學模型中，考慮電機的動力學特性，以表現特別是在高速力矩、高變化負載、摩擦和電機飽和等因素下完整的動力學特性及實現高精度的軌跡跟蹤是至關重要的.此外，電機的動力學特性會影響系統的動態特性和穩定性，甚至在機器人動力學模型中占主導.因此，本研究在建模過程中嘗試將電機特性考慮到動力學模型中，從而表現空間機器人完整的動力學特性與軌跡的高精度跟蹤.
滑?？刂埔蚓哂辛己玫聂敯粜远@得了大量關注[11-13]，但因傳統滑?？刂破髦泻星袚Q項，其不可避免地存在抖振問題.若不消除或抑制抖振，其會激發系統建模時忽略的高頻動力學特性，進而使得控制性能下降，甚至造成機械部件的磨損.近年來全階滑?？刂苽涫軐W者關注[14-15]，相較于傳統滑?？刂?，其不存在切換項，可以在保持傳統滑模魯棒性強、結構簡單等優點的同時，有效地克服抖振問題，并保證系統收斂到平衡點.由于空間機器人在工作的過程中不斷消耗液體燃料，且惡劣的太空環境使空間機器人系統參數攝動.因此，一般情況下，空間機器人系統的參數難以準確獲得，而徑向基(radial basis function，RBF)神經網絡能以任意精度逼近非線性項，故采用其對因系統未知參數而產生的非線性項進行逼近.因此，基于奇異攝動理論，將柔性關節空間機器人系統分解為由柔性關節引起的系統柔性運動部分的快變子系統和系統剛性運動部分的慢變子系統.針對快變子系統，采用了速度差值反饋控制方案主動抑制空間機器人關節的柔性振動；針對慢變子系統，提出了基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂品桨竵磉M行空間機器人機械臂的軌跡跟蹤.最后，通過系統的數值仿真結果來證明所提的控制方案對柔性關節空間機器人具有良好控制效果.
1 系統動力學方程
圖1 自由漂浮柔性關節空間機器人系統Fig.1 Free-floating flexible joint space robot system
不失一般性，自由漂浮柔性關節空間機器人系統的幾何模型如圖1所示.其中XOY為平動的慣性參考坐標系，X0O0Y0為固定在載體質心上的坐標系，XiOiYi(i=1，2)是固定在關節鉸中心上的坐標系.其他符號定義如下：m0、I0、d0分別為載體質量、轉動慣量、質心到第一個關節鉸中心的距離；mi、Ii、Li、di(i=1，2)分別為第i個機械臂的質量、轉動慣量、長度、質心到第i個關節鉸中心的距離；Iαi(i=1，2)為各電機轉子的轉動慣量；ki(i=1，2)為各柔性關節的等效扭轉剛度；θ0、θi、θαi(i=1，2)分別為載體姿態角、機械臂轉角和電機轉角.
圖2 柔性關節示意圖Fig.2 Schematic of flexible joint
圖2為柔性關節示意圖，其中ταi(i=1，2)為各電機輸出力矩，τLi(i=1，2)為各電機軸負載力矩，τRi(i=1，2)為各關節輸入力矩，ni(i=1，2)為關節諧波減速器減速比.
由圖1可以導出在慣性參考坐標系XOY下的系統總質心矢徑rC、載體質心矢徑r0、機械臂i(i=1，2)質心矢徑ri分別為
rC=[xC，yC]T
(1)
r0=[x0，y0]T
(2)
(3)
式中:xC，yC、x0，y0分別為系統總質心、載體質心的坐標值；ai(i=0，1，2)為xi軸的基矢量.
系統總質心的定義為
(4)
式中：M=m0+m1+m2.由式(1)～(4)可解出
(5)
式中：λ00=-(m1+m2)L0/M，λ01=-(m1d1+m2L1)/M，λ02=-m2a2/M；λ10=L0+λ00，λ11=a1+λ01，λ12=λ02；λ20=λ10，λ21=L1+λ01，λ22=a2+λ02.
(6)
(7)
(8)
在忽略太空環境微重力的影響下，空間機器人系統動量矩守恒，假設系統初始動量矩為零，即
(9)
(10)
式中:Ξ?、Ξα∈R2×2為系統動力學參數及系統廣義坐標的函數.因此，結合式(8)、(10)可得完全驅動形式的柔性關節空間機器人動力學方程
(11)
2 控制器的設計
2.1 快變子系統控制器的設計
基于奇異攝動理論，把電機輸出力矩τα分為主動抑制關節柔性振動的快變子系統控制力矩τf和保證機械臂軌跡跟蹤性能的慢變子系統控制力矩τs
τα=τf+τs
(12)
令柔性關節簡化的線性彈簧彈力z?=K(qα-q?)為快變量，機械臂轉角q?為慢變量.定義正比例因子ε及正定對角矩陣K1∈R2×2，并使其取值滿足如下關系
(13)
通過式(13)可將式(11)的第二、三式合并為如下形式
(14)
若設計如下形式的快變子控制力矩
(15)
式中:Kf=K2/ε，K2∈R2×2為正定對角矩陣.則將式(12)、(15)代入式(14)得快變子系統動力學方程
(16)
(17)
由文獻[13]知τα=Kαia，結合式(12)得
(18)
式中:Kα∈R2×2為電機靈敏度矩陣.結合式(16)～(18)可得電流形式的快變子和慢變子系統動力學方程為：
(19)
2.2 慢變子系統控制器的設計
性質1正定慣性矩陣Dsα?滿足有界性，即
(20)
(21)
(22)
基于式(22)設計如下全階滑模變量：
(23)
式中:ηi=diag(ηi1，ηi2)(i=1，2)為正定常數矩陣，且ηi的選取應保證多項式p2+η2jp+η1j(j=1，2)的特征根具有負實部.
控制器采用類似一階低通濾波器的形式
(24)
式中：Λ=diag(Λ1，Λ2)為正定常數矩陣；iL∈R2×1為濾波后虛擬控制列向量，其具體形式由下文給出.
將式(24)代入式(19)第二式并整理得
(25)
對式(23)求導可得
(26)
ρ=W*Tφ(y)+δ
(28)
(29)
(30)
式中:β1>δN，β2>0，is?定義如下
(31)
(32)
因此，基于上述分析，針對綜合電機特性的柔性關節機器人系統，采用圖3所示的控制結構.
圖3 基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂艶ig.3 Full order sliding mode control based on RBF neural network
定理1對于給定的慢變子系統動力學方程式(19)，假如全階滑模變量采用如式(23)所示形式，控制率采用如式(30)所示形式，徑向基神經網絡自適應率采用如式(32)所示形式，則可保證系統漸進收斂.
證明 選取如下形式的Lyapunov函數
(33)
對V求導得
(34)
結合式(27)、(28)、(30)、(34)，并利用性質2得
將式(32)代入式(35)得
(36)
(37)
3 數值仿真
圖4 所提策略的載體姿態角變化情況Fig.4 Attitude angle change of the proposed strategy
圖5 所提策略的兩機械臂轉角跟蹤情況Fig.5 Two manipulators' angle tracking of the proposed strategy
圖6 所提策略的兩關節電機輸出電流情況Fig.6 Two joints motor current of the proposed strategy
圖7 關閉快變子系統控制電流后機械臂轉角跟蹤情況Fig.7 Two manipulators’ angle tracking after closing the controlcurrent of fast subsystem
圖8 傳統滑?？刂撇呗缘膬申P節電機輸出電流情況Fig.8 Two joints motor current of the traditional sliding mode control strategy
由圖5的結果可以看出，所提的控制策略在系統參數未知且具有較大的初始誤差的情況下，仍具有較好的跟蹤效果；由圖5、7的對比可以看出，速度差值反饋控制器對柔性振動主動抑振的效果明顯；由圖6、8的對比可以看出，所提的控制策略可以使輸出信號變得光滑，說明其很好地克服了傳統滑?？刂撇呗灾写嬖诘亩墩駟栴}.
4 結語
研究利用系統動量、動量矩守恒關系及第二類Lagrange法，并綜合考慮關節驅動電機特性，建立了基于電機電流的柔性關節空間機器人系統動力學方程.基于奇異設動理論將系統動力學方程分解為快變子系統和慢變子系統，針對快變子系統采用了速度差值反饋控制方案，針對慢變子系統設計了基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂品桨?從仿真結果可以看出，所提控制方案對柔性振動主動抑制效果明顯，既保留了傳統滑?？刂品桨傅聂敯粜?，又克服了其存在的抖振問題.
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朱 安，陳 力
(福州大學機械工程及自動化學院，福建 福州 350108)
0 引言
隨著人類對太空探索的不斷深入，必然出現大量如空間站的組裝、故障衛星的回收、太空垃圾的清理等太空任務，利用空間機器人來完成上述太空任務已被各國研究人員認為是一種行之有效的方案.因此，對空間機器人系統動力學與控制的研究被越來越多的學者關注[1-6].由于空間機器人的關節諧波減速器及傳動機構等存在固有的柔性，因此其關節不可避免地存在柔性.繼續用純剛性關節假設的空間機器人系統顯然已經達不到太空任務的要求，如何對關節存在柔性的空間機器人進行精確控制已被眾多研究者重視.
Ulrich等[7]對柔性關節空間機器人系統的動力學方程進行了推廣，且提出了一種擴展卡爾曼濾波策略.Steve 等[8]對柔性關節空間機器人的自適應反饋控制進行了研究，提出一種基于分散自適應控制的復合控制方案；Zarafshan等[9]將空間機器人系統劃分為剛性和柔性兩部分，得到了其精確的動力學模型，且基于虛擬阻尼參數的變化規律，提出一種自適應混合抑振算法；張奇等[10]根據關節驅動電機的動力學特性建立了柔性關節機器人系統動力學模型，且得出了柔性關節等效剛度和關節力矩的非線性關系.但上述研究人員均未考慮電機特性，而在空間機器人系統的動力學模型中，考慮電機的動力學特性，以表現特別是在高速力矩、高變化負載、摩擦和電機飽和等因素下完整的動力學特性及實現高精度的軌跡跟蹤是至關重要的.此外，電機的動力學特性會影響系統的動態特性和穩定性，甚至在機器人動力學模型中占主導.因此，本研究在建模過程中嘗試將電機特性考慮到動力學模型中，從而表現空間機器人完整的動力學特性與軌跡的高精度跟蹤.
滑?？刂埔蚓哂辛己玫聂敯粜远@得了大量關注[11-13]，但因傳統滑?？刂破髦泻星袚Q項，其不可避免地存在抖振問題.若不消除或抑制抖振，其會激發系統建模時忽略的高頻動力學特性，進而使得控制性能下降，甚至造成機械部件的磨損.近年來全階滑?？刂苽涫軐W者關注[14-15]，相較于傳統滑?？刂?，其不存在切換項，可以在保持傳統滑模魯棒性強、結構簡單等優點的同時，有效地克服抖振問題，并保證系統收斂到平衡點.由于空間機器人在工作的過程中不斷消耗液體燃料，且惡劣的太空環境使空間機器人系統參數攝動.因此，一般情況下，空間機器人系統的參數難以準確獲得，而徑向基(radial basis function，RBF)神經網絡能以任意精度逼近非線性項，故采用其對因系統未知參數而產生的非線性項進行逼近.因此，基于奇異攝動理論，將柔性關節空間機器人系統分解為由柔性關節引起的系統柔性運動部分的快變子系統和系統剛性運動部分的慢變子系統.針對快變子系統，采用了速度差值反饋控制方案主動抑制空間機器人關節的柔性振動；針對慢變子系統，提出了基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂品桨竵磉M行空間機器人機械臂的軌跡跟蹤.最后，通過系統的數值仿真結果來證明所提的控制方案對柔性關節空間機器人具有良好控制效果.
1 系統動力學方程
圖1 自由漂浮柔性關節空間機器人系統Fig.1 Free-floating flexible joint space robot system
不失一般性，自由漂浮柔性關節空間機器人系統的幾何模型如圖1所示.其中XOY為平動的慣性參考坐標系，X0O0Y0為固定在載體質心上的坐標系，XiOiYi(i=1，2)是固定在關節鉸中心上的坐標系.其他符號定義如下：m0、I0、d0分別為載體質量、轉動慣量、質心到第一個關節鉸中心的距離；mi、Ii、Li、di(i=1，2)分別為第i個機械臂的質量、轉動慣量、長度、質心到第i個關節鉸中心的距離；Iαi(i=1，2)為各電機轉子的轉動慣量；ki(i=1，2)為各柔性關節的等效扭轉剛度；θ0、θi、θαi(i=1，2)分別為載體姿態角、機械臂轉角和電機轉角.
圖2 柔性關節示意圖Fig.2 Schematic of flexible joint
圖2為柔性關節示意圖，其中ταi(i=1，2)為各電機輸出力矩，τLi(i=1，2)為各電機軸負載力矩，τRi(i=1，2)為各關節輸入力矩，ni(i=1，2)為關節諧波減速器減速比.
由圖1可以導出在慣性參考坐標系XOY下的系統總質心矢徑rC、載體質心矢徑r0、機械臂i(i=1，2)質心矢徑ri分別為
rC=[xC，yC]T
(1)
r0=[x0，y0]T
(2)
(3)
式中:xC，yC、x0，y0分別為系統總質心、載體質心的坐標值；ai(i=0，1，2)為xi軸的基矢量.
系統總質心的定義為
(4)
式中：M=m0+m1+m2.由式(1)～(4)可解出
(5)
式中：λ00=-(m1+m2)L0/M，λ01=-(m1d1+m2L1)/M，λ02=-m2a2/M；λ10=L0+λ00，λ11=a1+λ01，λ12=λ02；λ20=λ10，λ21=L1+λ01，λ22=a2+λ02.
(6)
(7)
(8)
在忽略太空環境微重力的影響下，空間機器人系統動量矩守恒，假設系統初始動量矩為零，即
(9)
(10)
式中:Ξ?、Ξα∈R2×2為系統動力學參數及系統廣義坐標的函數.因此，結合式(8)、(10)可得完全驅動形式的柔性關節空間機器人動力學方程
(11)
2 控制器的設計
2.1 快變子系統控制器的設計
基于奇異攝動理論，把電機輸出力矩τα分為主動抑制關節柔性振動的快變子系統控制力矩τf和保證機械臂軌跡跟蹤性能的慢變子系統控制力矩τs
τα=τf+τs
(12)
令柔性關節簡化的線性彈簧彈力z?=K(qα-q?)為快變量，機械臂轉角q?為慢變量.定義正比例因子ε及正定對角矩陣K1∈R2×2，并使其取值滿足如下關系
(13)
通過式(13)可將式(11)的第二、三式合并為如下形式
(14)
若設計如下形式的快變子控制力矩
(15)
式中:Kf=K2/ε，K2∈R2×2為正定對角矩陣.則將式(12)、(15)代入式(14)得快變子系統動力學方程
(16)
(17)
由文獻[13]知τα=Kαia，結合式(12)得
(18)
式中:Kα∈R2×2為電機靈敏度矩陣.結合式(16)～(18)可得電流形式的快變子和慢變子系統動力學方程為：
(19)
2.2 慢變子系統控制器的設計
性質1正定慣性矩陣Dsα?滿足有界性，即
(20)
(21)
(22)
基于式(22)設計如下全階滑模變量：
(23)
式中:ηi=diag(ηi1，ηi2)(i=1，2)為正定常數矩陣，且ηi的選取應保證多項式p2+η2jp+η1j(j=1，2)的特征根具有負實部.
控制器采用類似一階低通濾波器的形式
(24)
式中：Λ=diag(Λ1，Λ2)為正定常數矩陣；iL∈R2×1為濾波后虛擬控制列向量，其具體形式由下文給出.
將式(24)代入式(19)第二式并整理得
(25)
對式(23)求導可得
(26)
ρ=W*Tφ(y)+δ
(28)
(29)
(30)
式中:β1>δN，β2>0，is?定義如下
(31)
(32)
因此，基于上述分析，針對綜合電機特性的柔性關節機器人系統，采用圖3所示的控制結構.
圖3 基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂艶ig.3 Full order sliding mode control based on RBF neural network
定理1對于給定的慢變子系統動力學方程式(19)，假如全階滑模變量采用如式(23)所示形式，控制率采用如式(30)所示形式，徑向基神經網絡自適應率采用如式(32)所示形式，則可保證系統漸進收斂.
證明 選取如下形式的Lyapunov函數
(33)
對V求導得
(34)
結合式(27)、(28)、(30)、(34)，并利用性質2得
將式(32)代入式(35)得
(36)
(37)
3 數值仿真
圖4 所提策略的載體姿態角變化情況Fig.4 Attitude angle change of the proposed strategy
圖5 所提策略的兩機械臂轉角跟蹤情況Fig.5 Two manipulators' angle tracking of the proposed strategy
圖6 所提策略的兩關節電機輸出電流情況Fig.6 Two joints motor current of the proposed strategy
圖7 關閉快變子系統控制電流后機械臂轉角跟蹤情況Fig.7 Two manipulators’ angle tracking after closing the controlcurrent of fast subsystem
圖8 傳統滑?？刂撇呗缘膬申P節電機輸出電流情況Fig.8 Two joints motor current of the traditional sliding mode control strategy
由圖5的結果可以看出，所提的控制策略在系統參數未知且具有較大的初始誤差的情況下，仍具有較好的跟蹤效果；由圖5、7的對比可以看出，速度差值反饋控制器對柔性振動主動抑振的效果明顯；由圖6、8的對比可以看出，所提的控制策略可以使輸出信號變得光滑，說明其很好地克服了傳統滑?？刂撇呗灾写嬖诘亩墩駟栴}.
4 結語
研究利用系統動量、動量矩守恒關系及第二類Lagrange法，并綜合考慮關節驅動電機特性，建立了基于電機電流的柔性關節空間機器人系統動力學方程.基于奇異設動理論將系統動力學方程分解為快變子系統和慢變子系統，針對快變子系統采用了速度差值反饋控制方案，針對慢變子系統設計了基于徑向基神經網絡的全階滑?？刂品桨?從仿真結果可以看出，所提控制方案對柔性振動主動抑制效果明顯，既保留了傳統滑?？刂品桨傅聂敯粜?，又克服了其存在的抖振問題.
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