淺談高等數學課程教學改革

金中秋

(浙江工商大學統計與數學學院)

高等數學是高等教育中一門重要的基礎課程。它不僅是一門非常好的數學課程，而且是一門非常好的工具學科，在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學中都有著非常廣泛的應用。同時它在提高學生的抽象思維能力和嚴密的邏輯思維能力方面起著重要的作用。

當前的高等數學教材基本上是一個嚴格的演繹體系，總體上是由“概念—公式—范例”組成的純數學系統。隨著互聯網的發展，教師在教學過程中的教學模式變得多樣化。如混合式教學、慕課、SPOC等。這些教學模式的引入是為了更好地適應時代的發展，激發學生的學習興趣，同時使更好的教學方式得到推廣。但在教學過程中仍然注重知識的結論而忽略知識的探索過程。在教學中給學生灌輸抽象的定理證明及計算，對數學的創新思維認識不足，弱化了對學生應用能力的培養。

這門課程主要包含了一元函數及多元函數的極限、微分、積分等基本理論及其相關知識。知識點之間具有一定的相關性。為了能讓學生不僅熟練地掌握這些基本概念和方法，還能進一步理解這些概念的存在意義，并強化學生的應用意識，培養學生的應用能力和創新能力，筆者認為從看圖說話、還原問題的形成過程為線索來展開高等數學的教學內容是十分有必要的。

下面筆者通過具體的實例來說明基于看圖說話、還原問題的形成過程的教學方法在高等數學學習中的作用。

一、數形結合，貫徹到底，加深對概念的理解

高等數學不同于線性代數，其中許多概念有相應的幾何意義。在教學過程中，不能一帶而過，要充分發揮這個優勢。要數形結合，看圖說話，讓學生更為直觀地感知到所學的知識，從而拉近學生與數學的距離。例如探討函數的連續性，對應的直觀圖形是曲線或曲面是連續不斷的；函數的可導性，相應的直觀圖形是曲線或曲面有切線或切平面存在，給人的直觀感覺是用手摸上去，曲線或曲面是光滑的，不戳手。故若給定光滑曲線，則其對應的函數為可導函數。通過這樣的講解，學生更容易理解并接受這些概念。

在給出直觀的定義后，還要用數學語言去描述，這就是對學生抽象思維、邏輯思維的訓練。此時仍然要在圖形上進行探討，看圖說話，把探討的每一步轉換成相應的數學語言。通過這樣的過程使得抽象的數學具體化，使學生掌握抽象的數學語言，體會到數學不僅具有簡潔美，還具有實質的內涵。

二、每個概念舉例時，前后范例之間要有關聯，以拓展的形式呈現

大學里的教學通常是定義—定理—舉例的過程。在課堂中，考慮到學生需要熟悉不同的函數，故針對不同的概念選用不同的函數舉例說明。但是對學生而言，這些例子是以比較突兀、孤立的形式呈現在他們面前的，不能激發他們的學習興趣與積極性，只能被動接受。有學生甚至懷念初中、高中的數學課，覺得那時候的數學課很有意思。此時我們不僅要考慮到初等知識的簡單易學，而且更要考慮是否有值得我們借鑒、能夠激發學生積極性的教學方法。前后例題之間要有關聯性，在變變變中激發學生的學習興趣就是其中一種教學方法。比如在原有典型的范例的基礎上加以改進，通過改變函數系數甚至部分函數、增加或減少零因子及互換分子分母等手段，獲得包含新知識點的新范例，這樣得到的范例更能激發學生的解題興趣和探索欲，甚至可以讓學生通過模仿，對新范例進行進一步拓展，激發學生的創造性思維和求知的渴望。當然，這樣的范例變化有一定的局限性，其涉及的函數類型會比較單一。為了彌補這個不足，可以讓學生課后針對不同的函數類型進行適當的練習。

三、講解定理時還原定理的形成過程，引導學生進行探究式教學

通常講解一個定理或命題時，要先分析它的條件和結論，再進行證明。學生會覺得很枯燥，覺得數學很抽象很難，即使看了好幾遍還是一知半解的。此時可以引領學生看圖說話，進行探究式教學。

首先，盡量從圖形出發，鼓勵學生看圖說話，大膽猜測，得出一些直觀的結論。

其次，引導學生探討，得出這些結論所需要滿足的條件。例如若需要圖形連續不間斷，則添加“函數連續”；若需要圖形光滑、曲線的切線存在，就添加“函數可導”。接著帶領學生回顧這些條件涉及的相關概念，根據它們之間的關系進行整合。比如，函數可導可以推出函數連續，那么具有連續且可導條件的函數就可以用可導函數代替。

再次，讓學生把這些整合后的條件作為已知條件，將之前由看圖得出的結論作為定理的結果，于是一個定理的形成過程就很好地呈現在學生的面前。

最后，對定理進行證明。由于看圖說話時，圖形既具有普遍性又有局限性，是否存在與結論相違背的特殊情況呢？根據數學的嚴謹性，必須對這個定理進行證明，確保結論的正確性。此時面臨兩個問題：①如何證明？②經此構造出來的定理是否和教材中的定理的條件、結論相吻合？針對第一個問題，學生會發現證明過程實質上就是前面得出條件的探討過程，只不過書寫過程相反。研究問題時是先有結論，再得出條件，而證明時是先有條件，再推出結論。上述的探究過程使學生掌握了一個定理是如何形成的，并且發現其證明沒有想象中困難，但是只會證明定理是不夠的。若只是看懂定理的證明過程，看的過程好像是被人牽著鼻子走，沒有自己的想法，甚至有的證明方法很特殊，好像是憑空出現的，除了讓人贊嘆此人真聰明，徒增自卑。故要鼓勵學生深入思考定理的形成過程，提高學生的創新能力和應用能力。對于第二個問題，若構造出的定理與教材里的定理完全相同，則大力贊賞學生，贈予“若你早點出生，那么這個定理將以你的名字命名!”以此激發學生學習數學的信心和積極性。若構造出的定理與教材里的定理有差異，則引導學生通過對差異的討論判別自己構造的定理與教材里的定理哪個更好。若教材中的定理更加精確，則讓學生分析在之前的探討過程中哪些地方分析不到位，哪些知識點沒有掌握。通過這樣的探究式教學使學生溫故而知新，在潛移默化中掌握數學知識，提高他們對這門課程的學習興趣，提升他們的應用能力和創新能力。

四、結束語

本文總結了筆者多年的教學經驗，提出了以看圖說話、還原問題的發現過程為線索的高等數學教學改革。希望通過這種課堂教學改革，不僅能讓學生熟練掌握和深入理解有關的數學知識，而且可以激發他們學習這門課程的興趣，提高他們的應用能力和創新能力，并用這些能力來解決實際問題。