顆粒沖擊形式對阻尼器能量損耗影響的研究

宋曉宇， 尹忠俊， 陳 兵

(北京科技大學 機械工程學院，北京 100083)

生活中，人們常用“一盤散沙”來形容一些渙散的、無組織的系統或者群體。但對于受振顆粒體系，顆粒之間的運動并不是互不相關的，而是通過顆粒間的摩擦與碰撞表現出整體性或協同性。顆粒阻尼器就是利用顆粒與顆粒以及顆粒與腔壁之間的非彈性碰撞和摩擦消耗系統的能量，從而達到減振的目的[1-2]。

由于顆粒阻尼復雜的非線性耗能機理，關于顆粒的研究主要以實驗與數值仿真為主要手段。Yang[3]設計了多項試驗，細致研究了激振頻率、振幅、顆粒填充率、尺寸等因素對顆粒阻尼有效質量和損耗功率的影響規律。Wong等[4]采用離散元的方法，在充分考慮顆粒的質量和轉動慣量的前提下，使用彈簧、阻尼以及滑動摩擦界面來建立模型，并測量恢復力系數以及界面摩擦因數來預測其能量損耗，具有較高的精度和計算效率。毛寬民等[5-6]從顆粒微觀力學角度研究了非阻塞性微顆粒阻尼(Non-Otstructive Particle Damping,NOPD)的作用機理，并對顆粒與主結構之間的能量傳遞及該過程中的能量損耗進行了定量的分析，發現NOPD的摩擦耗能量與沖擊耗能量具有相同的量級。姚冰等[7-8]對顆粒的減振機理以及在直升機葉片上的應用[9]等多方面進行了深入研究并取得了一些有意義的成果。胡溧等[10-11]對顆粒阻尼的動態特性以及影響顆粒阻尼的內外因素進行了比較系統的研究。

近年來，顆粒阻尼在建筑領域也越來越被重視。魯正等[12-13]將調諧質量阻尼器與顆粒阻尼器相結合，擴大了減振頻帶，增加了減振的魯棒性，并將其引入高層建筑風振控制領域，通過風洞試驗以及近似的數值模擬方法對這種新型阻尼形式的阻尼特性進行了深入的研究。趙玲等[14]以空心柱為研究對象，通過自由振動試驗系統研究了顆粒參數(顆粒材料、填充率、質量比等)和結構參數的變化對結構減振效果的影響。

然而，目前對顆粒阻尼的研究主要集中在外界激勵和顆粒本身參數對阻尼效果的影響，關于顆粒對系統沖擊方式造成的能量耗散差異的研究仍沒有深入展開。振動顆粒間存在著非彈性碰撞和摩擦，導致顆粒體系能迅速耗散掉顆粒自身及外界輸入的動能，這也使得顆粒的運動具有整體性，體現為顆粒對容器底部的沖擊力呈現窄脈沖式[15]。在不同的振動強度下，顆粒對系統的沖擊力會表現出沖擊分岔現象[16-17]。

隨著計算機性能的提升以及離散單元法[18]的完善，該方法已經成為研究顆粒運動的重要方法?；陔x散單元法的EDEM仿真可以跟蹤區域內每個顆粒的受力狀態與速度矢量，極大地突破了實驗中由于測量手段單一所帶來的局限性。

為探究沖擊形式與損耗功率之間的依賴關系。本文采用離散單元法對圓柱形和圓臺形兩類容器(共6種)的顆粒阻尼器進行了不同工況的研究。首先將圓柱Ⅰ與圓臺Ⅳ進行對比復現顆粒間的相互作用過程，通過分析沖擊形式解釋產生能耗差異的微觀本質。然后研究腔壁傾角的漸變過程，得出腔壁傾角、沖擊形式以及能量耗損之間的相互關系。

1 仿真模型及參數

1.1 離散單元法

接觸模型是離散單元理論的核心。本文的仿真實驗均采用軟顆粒接觸模型，該模型中將顆粒單元的接觸過程進行法向和切向分解，其法向接觸力方程為

(1)

顆粒單元的切向運動可分解為切向滑動與顆粒單元的滾動

(2)

(3)

式中：mij為顆粒單元i，j的等效質量；Iij而為顆粒單元的等效轉動慣量；s為旋轉半徑；un，us分別為顆粒單元的法向和切向相對位移；θ為顆粒單元自身的旋轉角；Fnij，Fsij分別為顆粒單元所受外力的方向和切向分量；Mij為顆粒所受外力矩；cn，cs分別為接觸模型中的法向和切向阻尼系數；Kn，Ks分別為接觸模型中法向及切向剛度系數。

由Hertz[19]接觸理論顆粒之間與作用力之間的關系為

(4)

(5)

(6)

式中：a為接觸圓半徑；α為法向疊合量；q0為最大接觸壓力；F為顆粒之間的總壓力；Ri和Rj分別為兩接觸顆粒的半徑；ki，kj分別為顆粒的壓力分布比例尺。

(7)

(8)

式中：vi，vj分別為兩接觸顆粒的泊松比；Ei，Ej為兩接觸顆粒的彈性模量。則法向剛度系數表達式為

(9)

根據Mindlin切向接觸力求解方法[20]，得到切線剛度計算公式

(10)

式中：Gi，Gj分別為兩顆粒單元的剪切模量。

由牛頓第二定律，可以得到顆粒的運動方程為

(11)

利用中心差分法[21]對式(11)進行數值積分，得到以兩次迭代步長的中間點的更新速度為

(12)

式中： Δt為時間步長。

對式(12)進行積分處理，則可以得到位移等式

(13)

進行再次積分則可以得到位移更新表達式

(14)

由此，可以得到新的位移，然后帶入力-位移關系式運用牛頓第二定律計算新的作用力，實現跟蹤每個顆粒在任意時刻的運動。

1.2 仿真模型

本文建立的3D NOPD顆粒系統仿真模型，如圖1所示。包括圓柱形容器和圓臺形容器兩類(共6種)。

圖1 DEM顆粒阻尼仿真模型Fig.1 DEM model of the NOPD

所有容器的高H均為40 mm，下端面直徑D2為14.2 mm(除圓柱Ⅱ外)，容器形狀參數見表1。文中涉及的所有顆粒阻尼器除形狀外，其它參數設置(包括材質參數、顆粒參數等)均嚴格一致。其中圓柱Ⅰ的模型及材料等參數都是基于姜澤輝等研究中所用實驗材料而設定，相關參數設置如表2所示。在仿真過程中阻尼器受到豎直向上的正弦激勵，保持振動頻率f=60 Hz不變，振動強度Γ分別為2.63，3.83，8.06，8.75，9.64，11.72，12.61，14.56，15.72，具體選取原則見姜澤輝等的研究。

表1 DEM仿真容器形狀參數

表2 DEM仿真材料特性及參數

2 結果與討論

2.1 模型驗證以及沖擊形式的比較

通過分析圓柱Ⅰ內顆粒對系統的沖擊結果(見圖2)發現，在Γ=9.64和Γ=14.56時，沖擊信號內分別存在20 Hz和15 Hz的諧波，說明在Γ=9.64和Γ=14.56時容器內顆粒產生周期分岔現象(分別為三倍周期分岔和四倍周期分岔)。而在Γ=2.63時并沒有諧波的出現，所以此時顆粒并沒有產生分岔。以上結果與姜澤輝等所得的結論一致。通過圖3也發現仿真結果與姜澤輝等研究中(文獻中圖1)的實驗結果基本一致，所以本文中仿真模型以及相關參數設定比較可靠。

圖2 圓柱Ⅰ內顆粒對系統沖擊力信號的FFT頻譜圖Fig.2 FFT spectrogram of particle-to-system impact in cylinder Ⅰ

為了突出對比結果，本文首先將傾角最大的圓臺Ⅳ與圓柱Ⅰ進行對比。仿真結果顯示，在振動強度以及其它參數一定的條件下，兩種容器內的顆粒對系統呈現出截然不同的沖擊方式(見圖4)。在振動強度較低時(Γ=2.63,Γ=3.83)，顆粒對兩種容器的沖擊次數以及沖擊力度基本相同。但是隨著振動強度的提高，圓柱Ⅰ內的顆粒出現了非常規律的周期分岔現象(表現為沖擊脈沖稀疏)，而圓臺Ⅳ內顆粒對系統的沖擊次數要遠遠多于圓柱形。也就是，隨著振動強度的提高，圓臺Ⅳ對沖擊力的分岔現象表現出明顯的抑制作用。

由圖4可知，當Γ=14.56時，在0.2 s內圓臺Ⅳ內顆粒對系統的平均沖擊力為2.04 N，沖擊次數為8次；圓柱Ⅰ內顆粒對系統的平均沖擊力為4.2 N，沖擊次數為4次。在該強度下，圓臺形容器內顆粒每次對系統的平均沖擊力僅為圓柱形的51%，但沖擊次數幾乎是其二倍。所以本文中將圓臺Ⅳ內顆粒對系統的這種沖擊形式稱為“小而密”型，圓柱Ⅰ內顆粒對系統的沖擊形式稱為“大而疏”型。研究發現造成二者沖擊形式不同的原因主要與容器內顆粒的運動形式有關。

圖3 圓柱Ⅰ內顆粒對系統的沖擊力隨時間的變化Fig.3 The impact force of particles-to-system in cylinder Ⅰover time

注：由下到上振動強度依次為2.63，3.83，8.06，9.64，11.72，12.61，14.56，15.72圖4 顆粒對系統的沖擊力隨時間的變化Fig.4 The impact force of particles-system over time

以Γ=9.64為例，在一個周期內(見圖5)，顆粒的運動基本可以分為四個階段，分別是上升階段、過渡階段、下降階段和沖擊階段。每個周期開始顆粒都會以振動臺的速度被彈起，顆粒進入上升階段。

在圓柱Ⅰ內顆粒運動有很強的整體性，顆粒被彈起后以一個比較大的整體速度向上飛行。由于在該振動強度下顆粒的飛行時間大于振動臺的振動周期且顆粒的向上位移較大，所以在顆粒的上升階段、第一個過渡階段和下降過程中振動臺已經做了2次“空載”運動，在沖擊階段顆粒被再次彈起時，振動臺恰好完成了三個周期的運動。

圖5 容器內顆粒運動形式隨時間變化Fig.5 The form of particle movement in the container changes over time

反觀圓臺Ⅳ內的顆粒則有明顯的區域運動形式。由于在運動過程中容器底部靠近內壁處的顆粒一直受到側壁與中心區域顆粒的強烈擠壓，使其向上運動的速度分量比較小，在整個飛行過程中運動位移也比較小，所以在過渡階段顆粒群底部的顆粒有機會與處于上升階段的容器底部進行沖擊，在該過程中容器隨振動臺運動了兩個周期所以底部顆?？梢栽谶^渡階段與容器底部沖擊兩次(圖帶黑點圖表示顆粒與系統底部沖擊瞬時)。隨后顆粒群整體進入下降階段，在沖擊階段時，顆粒群再次有容器底部發生第三次沖擊。

在其它振動條件下，同樣也是由于圓臺Ⅳ內位于顆粒群底部的顆粒因為受側壁與中心區域顆粒的擠壓而使其向上的位移分量較小，從而有機會與處于上升階段的容器底部發生沖擊。相比圓柱Ⅰ，圓臺Ⅳ內顆粒的這種運動形式使其對沖擊力的分岔現象有了一定的抑制作用。在相同的振動條件下，圓臺Ⅳ內顆粒的沖擊次數要多于圓柱Ⅰ內的顆粒。

2.2 沖擊形式對能量損耗的影響

顆粒阻尼器的耗能主要是通過阻尼器內顆粒之間的摩擦、碰撞所引起的。由圖6可知，顆粒沖擊與能量

圖6 圓臺Ⅳ內顆粒瞬時能量損耗以及沖擊力隨時間的變化(振動條件：f=60 Hz, Γ=3.83)Fig.6 Instantaneous energy dissipation and impact force of particles in conical container Ⅳ over time(vibration conditions: f=60 Hz, Γ=3.83)

損耗具有一定的同步性。顆粒每次沖擊容器底部時都會造成顆粒間比較強烈的碰撞與摩擦從而產生大的能量耗散。并且沖擊力的大小與能量損耗量也有一定的正比關系，大沖擊力對應的瞬時耗能也大，反之亦然。

通過圖7可知，顆粒的能量損耗累積圖呈現階梯型，當顆粒處于飛行過程時，顆粒的能量損耗幾乎為零。當顆粒與容器底部發生沖擊時，在圖中的能量損耗累積線就會出現一個比較明顯的階梯[22]，并且階梯的大小與沖擊力的大小存在一定的正比關系，沖擊力度大能量損耗就大。在振動強度較小(Γ=2.63)時，兩種容器內的能量損耗幾乎相同(見圖7)。但是，隨著振動強度的提高，圓柱Ⅰ內顆粒出現了分岔現象，沖擊力呈現“大而疏”的沖擊形式，能量損耗累積階梯也相應的呈現階梯“大而少”型。相比于圓柱Ⅰ，圓臺Ⅳ由于其顆粒運動的獨特性，顆粒對系統的沖擊呈“多而密”型。同樣，其能量損耗累積也呈現相應的階梯“小而多”型。值得注意的是，兩種不同的沖擊方式所對應的能量耗散量是不同的。圓臺Ⅳ內顆粒的“小而密”的沖擊方式所產生的能量損耗要遠遠大于圓柱Ⅰ內顆粒的能量損耗，這顯示了“小而密”型沖擊形式的優越性。

圖7 0.2 s內圓臺Ⅳ和圓柱Ⅰ內顆粒的能量損耗累積Fig.7 Accumulation of energy dissipation of particles in cylinder container Ⅰ and conical container Ⅳ within 0.2 s

為了充分說明沖擊形式與損耗功率之間的依賴關系，本文在以上對圓柱Ⅰ與圓臺Ⅳ內顆粒運動形式深入對比的基礎上，進一步對比分析了不同阻尼器內顆粒床的振動與耗能特性。圖8中列舉了6種不同容器的顆粒阻尼器在各個振動強度下的損耗功率，并且以圓柱Ⅰ的沖擊次數為基數1，得出在相同振動條件下其它形狀容器內顆粒沖擊次數與圓柱Ⅰ內沖擊次數的比值曲線。

首先，圓柱Ⅰ和圓柱Ⅱ的曲線變化顯示，盡管容器高徑比發生了變化(導致顆粒填充率發生變化)，但是二者在相同振動條件下的沖擊次數比值基本接近1，損耗功率在較小范圍內波動。即該變化并沒有對二者的沖擊形式以及相應的損耗功率造成顯著影響。本文中其它種類容器內顆粒的填充率均介于圓柱Ⅰ與圓柱Ⅱ的填充率之間，所以由傾角變化引起的填充率的較小波動并不是造成兩類容器沖擊形式以及損耗功率差異的主導因素。

總體上看，損耗功率與沖擊次數比的曲線具有相同的變化趨勢。在振動水平較低時(Γ=2.63，Γ=3.83)，6種阻尼器的沖擊形式基本相同(沖擊次數比基本為1)，損耗功率也都穩定在約0.005 W。但是，隨著激振強度的提高(Γ>3.83)，圓臺形容器抑制沖擊力周期分岔的能力逐漸顯現，圓臺形與圓柱形容器所對應的沖擊形式以及損耗功率也開始出現分化。尤其是在?！?.64時，除圓臺Ⅰ外所有圓臺的沖擊次數都是相同振動條件下圓柱Ⅰ內顆粒沖擊次數的二倍以上，此時圓臺形阻尼器相對應的損耗功率也遠大于圓柱形阻尼器所對應的損耗功率。并且隨著振動強度的繼續增強，這兩類容器的沖擊形式以及損耗功率之間的差異將進一步擴大。

圓臺形容器傾角的漸變(上端面直徑的變化)引起了損耗功率的改變，但這種改變是基于沖擊形式的變化(見圖8)。例如，圓臺形Ⅰ傾角較小，沖擊次數介于圓柱Ⅰ、圓柱Ⅱ與圓臺Ⅱ、圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ之間，顆粒床對沖擊力周期分岔的抑制能力較弱，所以其損耗功率雖然高于圓柱形容器但明顯小于圓臺Ⅱ、圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ。不過值得注意的是，雖然圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ的傾角比圓臺形Ⅱ要大，但是由于傾角的變化并未導致沖擊形式的顯著變化(沖擊次數與圓臺Ⅱ相差較小)，所以其損耗功率仍沒有本質的變化。綜上，圓臺形傾角的變化對損耗功率的影響取決于傾角的改變是否導致沖擊形式的變化，進一步說明，沖擊形式才是導致損耗功率發生顯著變化的根本原因。

3 結 論

本文基于離散單元法理論，結合NOPD中顆粒的運動形態對不同形狀容器中顆粒所產生的沖擊形式進行對比分析，探究不同沖擊形式對能量損耗的影響，得到的主要結論如下：

(1) 圓柱形容器與圓臺形容器由于其內顆粒的運動形式不同，導致顆粒對系統的沖擊形式也不同。當振動強度較大時，圓柱形容器內顆粒出現了明顯的分岔現象，其沖擊力呈現“大而疏”型。而圓臺形容器內顆粒對沖擊力的分岔現象具有一定的抑制作用，其沖擊力呈“小而密”型。

(2) 顆粒阻尼器中顆粒的能量損耗累積呈“階梯”型，且階梯形態與沖擊形式具有較高的同步性。沖擊力度大則階梯大，沖擊次數多則階梯多。不同的沖擊形式會表現出不同的能量損耗，“小而密”型沖擊形式表現出更加優異的耗能能力。

(3) 圓臺形容器的抑制周期分岔的能力與其傾角在一定范圍內呈正相關。但傾角大于某個值后，沖擊形式也會趨于穩定，相應的損耗功率基本保持穩定。

綜上，作為能量從振動設備向顆粒床轉移的關鍵環節，沖擊形式將直接影響顆粒阻尼器的能耗效果。因此，在以后顆粒阻尼器研究中應充分重視由沖擊形式不同而引起的能量耗散的差異，同時也可將改變顆粒床對系統的沖擊形式作為優化顆粒阻尼器阻尼特性的重要方向之一。