從數學史角度比較數學教材中的課例選擇
——以勾股定理為例

■洛陽師范學院 數學科學學院 王眾杰 來 靚

一、問題背景

勾股定理是中學課本中基礎的幾何定理，它的歷史源遠流長。在中國古代的商朝時期，商高率先提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，因此勾股定理也被稱為商高定理。在古代西方國家，最早提出并證明勾股定理的是公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他的學派創始人畢達哥拉斯用演繹法證明直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。經過幾千年數學史的發展，人們已經發現400余種證明方法。勾股定理在人類的數學發展史中占據了重要地位，它不僅僅是個簡單的定理，更蘊含了千百年來數學發展的艱辛與挫折。

二、問題提出

勾股定理作為初中階段一個基礎的定理，在后續數學的學習中都發揮著重要的輔證作用，本文從習題配置、數學史背景知識兩方面分析八個版本教材對于數學史知識融入課本的程度，以達到優化教學課堂的目的。

三、教材分析

（一）教材選擇與分析

我國現行中學數學教材種類繁多，人教版、北師版、華師版、滬科版、冀教版、魯教版、青島版、蘇科版、湘教版、浙教版、上海版、京教版十二個版本的教材，下面篩選出八個版本的教材供參考。

本文通過文本比較分析的方法對人教版、北師大版、華師版等八個版本的教材中“勾股定理”的內容從數學史習題配置以及背景知識融入方面進行了比較分析。

（二）教材解讀習題配置

1.《九章算術》關于“引葭赴岸”的敘述?！敖裼谐厮环?，葭生其中夾，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何”。引葭赴岸問題流傳甚廣，類似題目在史書《張邱建算經》《四元玉鑒》中也曾出現。相似問題在國外史學典籍中也有跡可循，例如，印度古代數學家婆什迦羅的《麗羅瓦提》中 的“風動紅蓮”問題；阿拉伯數學家阿爾?卡西的《算術之鑰》中的“池中長茅”問題；歐洲《十六世紀的算術》一書中又有“圓池蘆葦”問題。 在現代中學數學教材中，人教版、滬教版、冀教版、魯教版、蘇科版均出現了這道題，五個版本對“引葭赴案”問題的譯文僅有細微差別，采用的語言通俗易懂，學生易于理解。這五個版本中，冀教版比較特殊，稱此題為“池葭出水”引用古典不同，但實質相同，均可取。

2.趙爽出入相補法證明勾股定理。我國古代數學家趙爽根據此圖巧妙運用面積拆分挪移證明了勾股定理。人教版“出入相補法”與魯教版“青朱出入圖”以及意大利畫家達芬奇的證明方法均是運用面積增補進行證明，但人教版教材中這部分內容安排在正文部分，魯教版中安排在閱讀材料部分，學生很大程度上會忽略這一部分的證明。所以，兩者相比起來，人教版教材在內容安排上略勝一籌。

3.《原本》中歐幾里得的面積證明法。北師版和蘇科版教材的閱讀材料中出現了此法。北師版文字描述證明過程略詳盡，蘇科版數學符號更多，兩者在敘述語言上都秉承簡潔清晰的原則，均可取。

4.數學史背景知識融入。人教版教材關于數學史材料的引入是畢達哥拉斯的思考與證明、勾股定理、費馬大定理；北師版采用《原本》證明；華師版采用《周髀算經》中“弦圖”和勾股定理簡介、勾股定理無字證明；滬教版采用趙爽的敘述、勾股定理簡史；冀教版是《周髀算經》勾股定理的記載；魯教版采用勾股數與費馬大定理、古哥倫比亞時期泥板文字；青島版采用《周髀算經》勾股定理、勾股數組；蘇科版采用商高與勾三股四弦五、趙爽“弦圖”、普林頓322。

人教版教材在勾股定理的安排中數學史出現七處，章主題頁、節頭、習題和閱讀與思考欄目均涉及；北師版教材對于數學史涉及的內容有三處，出現在習題和讀一讀欄目；華師版教材對于數學史涉及的內容有三處，出現在讀一讀與閱讀材料中，著重介紹了中國古代對于勾股定理的發現與研究；滬教版教材中出現兩處，著重介紹了趙爽的“弦圖”，以及《周髀算經》中周公與商高關于勾股定理的介紹；冀教版教材中的一處是周公商高、大禹、趙爽、畢達哥拉斯關于勾股定理的研究；魯教版的三處介紹分別是中國古代商高、古巴比倫人的數學泥板、畢達哥拉斯的相關證明，這個版本的精彩之處在于介紹了費馬大定理與勾股數的關系以及給出了中國（青朱出入圖）、印度、意大利（畫家達芬奇）的三種無字版證明；青島版的兩處點睛之筆在于介紹了古巴比倫人記載的勾股數組并且拓展介紹了計算勾股數組的公式；蘇科版教材不同于其他七個版本教材之處在于點名了古巴比倫泥板的編號“普林頓322”，但實際上也是勾股數組的記載。

（三）研究結論與建議

1.習題配置分析。從數學史選材范圍對比，北師版教材選用西方數學史內容較多，選取國內史料較少，這些西方史料大都安排在自主學習部分，另外七種教材中對于我國古代數學史資料引用比較多。從數學史具體內容上對比，人教版內容占6處，魯教版內容占7 處，蘇科版內容占6 處，相對于其他無個版本教材而言，人教版、魯教版和蘇科版教材選材范圍比較豐富，出現的位置多樣化，分布比較廣泛。從知識編排分布上比較，華師版、滬教版、冀教版將數學史內容巧妙融合進了練習題當中，另外的五種教材中數學史內容則多是安排在課后閱讀材料當中。

2.史料結合分析。從知識編排分布比較人教版、華師版、滬教版、冀教版、蘇科版這五個版本比較注重新知識的融地與結合，通過簡單的生活例子引出課題，循序漸進加深知識難度。人教版教材中關于費馬大定理的引入點到為止，考慮到學生的接受能力并未過多涉及疑難問題。北師版、魯教版、青島版這三個版本教材將數學史內容安排在課外閱讀上比較多，節省學生課堂時間，學生可以自由選擇。

從知識選材范圍比較北師版的材料略顯單薄，人教版、華師版、魯教版、蘇科版內容比較詳盡，除了簡要介紹基礎的勾股定理相關知識以外，華師版給出的三種無字證明可以很好地鍛煉學生的思維能力；魯教版、蘇科版、青島版均提到了“普林頓322”泥板，也就是勾股數組，史料結合，有力地證明了勾股定理出現的年代。

3.結論與建議。研究的八個版本的教材中，人教版教材是目前國內中小學使用范圍最廣的一種教材，人教版教材在數學史方面的引入非常到位，從知識的選材范圍、編排分布、具體內容三個角度考核比較平衡，既涉及了國內外的史料，也突出了我國在勾股定理發現探究的領先地位，但是美中不足的一點是缺少勾股數組和勾股樹知識點的介紹。

北師版教材內容清晰簡潔，在勾股定理的知識編排上省略很多繁文末節，學生進行學習時比較有條理，但是在略去的內容中，有一些我國重要史料沒有呈現在課本上，所以選用這版教材的學校中關于我國勾股定理的發展歷史相對而言掌握較少，可以適當考慮多引入我國史料。其他六版教材在國內通行度略低，但也是各有千秋，魯教版在史料較為豐富；華師版在編排上比較嚴謹；滬教版、冀教版、青島版、蘇科版在各方面比較平衡，結合數學史內容，可以達到靈活運用勾股定理解決后續各種相關問題的目標。