基于數學模型的木瓜濃縮汁流變學特性研究*

謝三都，陳惠卿，陳奎

（閩南科技學院，福建 泉州 362332）

濃縮果蔬汁的流變學特性主要是指果蔬汁的流體型態、流變參數與其溫度、濃度的變化規律[1]，其與濃縮果蔬汁的貯運、食用品質、后續加工所涉及的工藝設計、設備選型、能量消耗、產品質量控制等有關，能幫助了解食品的組成、分子形態以及內部結構等特征[2-6]。目前，濃縮果蔬汁流變學特性的研究主要有慈姑濃縮汁[7]、黑豆酸奶[8]、金柑濃縮汁[9]、海棠濃縮汁[10]、苦瓜復合飲料[11]、柚子濃縮汁[12]、青梅濃縮汁[13]、橄欖濃縮汁[14]、葡萄濃縮汁[15]、芒果渾汁[16]等，對這些果蔬的生產設計起到的積極的作用。到目前，未見木瓜濃縮汁流變學特性的研究性報道。

本文選用木瓜濃縮汁為研究對象，采用NDJ-5S數顯粘度計和MCR301高級流變儀，探討木瓜濃縮汁的濃縮終點，測定其流變學特性；并分別研究了溫度、濃度對木瓜濃縮汁粘度的影響，在此基礎上，分析了溫度與濃度對木瓜濃縮汁的綜合影響，以期豐富果蔬汁流變學領域及指導木瓜濃縮汁的生產實踐。

1 材料與方法

1.1 材料

木瓜濃縮汁：福建綠泉食品有限公司，可溶性固形物含量為32 °Brix。

1.2 儀器與設備

NDJ-5S數顯粘度計：邦西儀器科技（上海）有限公司；

Physica MCR301高級流變儀：奧地利安東帕公司；

SHB-III型循環水式多用真空泵：上?，斈醿x器設備有限公司；

IKA RV10 V/V-C型旋轉蒸發器：艾卡（廣州）儀器設備有限公司；

WYA-2S數字阿貝折射儀：上海精科儀器有限公司。

1.3 試驗方法

1.3.1 不同濃度木瓜濃縮汁的制備

以32 °Brix木瓜濃縮汁為基料，通過真空旋轉蒸發儀（真空度：0.85 MPa、溫度60 ℃、旋轉速度：120 r/min）進行濃縮，獲得40、50、60、70 °Brix的木瓜濃縮汁，備用；將32 °Brix木瓜濃縮汁梯度稀釋為30、20 °Brix木瓜濃縮汁，備用。

1.3.2 木瓜汁濃縮終點的判斷

采用NDJ-5S數顯粘度計在室溫（25 ℃）下測定木瓜濃縮汁的粘度，研究木瓜濃縮汁濃度與粘度的對應關系，木瓜濃縮汁的濃度分別為20、30、40、50、60、70 °Brix，尋找木瓜濃縮汁粘度突增的躍變點，該躍變點所對應的濃度即為木瓜濃縮汁的濃縮終點。

1.3.3 木瓜濃縮汁的流變學特性

采用MCR301高級流變儀測定木瓜濃縮汁（60 °Brix）在溫度為25 ℃時的剪切應力（τ，Pa）與剪切速率（γ，s-1）之間的關系曲線，根據流變學原理，通過回歸分析獲得木瓜濃縮汁的流變學特性參數，并判定其流變類型。

1.3.4 溫度對木瓜濃縮汁粘度的影響

采用NDJ-5S數顯粘度計測定不同濃度（20、30、40、50、60 °Brix）的木瓜濃縮汁在溫度分別為20、30、40、50、60 ℃的粘度，繪制木瓜濃縮汁粘度與溫度的關系圖，通過回歸分析獲得反映溫度對木瓜濃縮汁粘度影響的數學模型。

1.3.5 濃度對木瓜濃縮汁粘度的影響

采用NDJ-5S數顯粘度計測定不同溫度（20、30、40、50、60 ℃）的木瓜濃縮汁濃度分別為20、30、40、50、60 °Brix時所對應的粘度，繪制木瓜濃縮汁粘度與濃度的關系圖，通過回歸分析獲得反映溫度對木瓜濃縮汁粘度影響的數學模型。

1.3.6 溫度和濃度對木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

為了更準確預測木瓜濃縮汁在不同溫度和濃度時的粘度，研究并確定溫度和濃度對粘度綜合影響的數學模型。

2 結果與分析

2.1 木瓜汁濃縮終點的判斷

由圖1可知，當木瓜濃縮汁的濃度從20 °Brix上升到60 °Brix時，其粘度相應增加但增加較慢，由0.00343 Pa·s變為0.0391 Pa·s；但木瓜濃縮汁的濃度達到70 °Brix時，其粘度相應達到0.336 Pa·s，顯著高于60 °Brix時木瓜濃縮汁的粘度（P＜0.01），即其粘度突變點為60 °Brix。因此，可選擇木瓜濃縮汁濃度為60 °Brix作為生產中的濃縮終點。

2.2 木瓜濃縮汁的流變學特性

一般情況下，濃縮果蔬汁的剪應力（τ，Pa）與剪切速率（γ，s-1）之間的關系一般可表述為[17]：

式中：

τ為濃縮果蔬汁的剪應力，Pa；

α為濃縮果蔬汁的粘度系數，Pa·s；

γ為濃縮果蔬汁的剪切速率，s-1；

n為木瓜濃縮汁的流變指數。

當n=1時，流體為牛頓流體；當n＜1時，流體為假塑性流體；當n＞1時，流體為脹塑性流體。

由圖2可知，木瓜濃縮汁所受剪應力隨著剪切速率增加而變大，但增大速率逐漸放緩，曲線的斜率即為粘度，且粘度逐漸變小，呈剪切稀化現象。

目前，全市主要有租賃、轉包、轉讓、入股、托管等五種土地流轉形式。從具體實踐看，90%以上采用的是租賃、轉包和轉讓這3種形式。租賃主要是大面積連片集中流轉，租金一般在每畝800-1000元，也有少數的超過1000元或低于800元的。

采用Ostwald模型對圖2中曲線進行回歸分析，得到回歸方程 τ= 0.0517·γ0.6843。其中，回歸系數α=0.0517 Pa·s，即為木瓜濃縮汁的粘度系數；木瓜濃縮汁的流變指數n=0.6843＜1，說明木瓜濃縮汁（60 °Brix，25 ℃）為假塑性流體；相關性系數R2=0.9911，回歸方程能較好地表達木瓜濃縮汁剪切速率與剪應力之間的關系。

2.3 溫度對木瓜濃縮汁粘度的影響

由圖3可知，增加木瓜濃縮汁的溫度，不同濃度的木瓜濃縮汁的粘度均呈下降趨勢，且濃度越高其粘度下降速率越大。

一般情況下，可用阿累尼烏斯方程[7]反應濃縮果蔬汁的粘度與溫度之間的關系：

式中：

η為流體粘度，單位：Pa·s；

k為頻率因子，單位：Pa·s；

Ea為流體的活化能，單位：kJ/mol；

R為氣體常數，單位：8.314 J/（kg·K）；

將公式⑵兩邊取自然對數，得：

通過對圖4關系線的回歸分析，得到了不同濃度下溫度與粘度關系的回歸方程和k值和活化能Ea值，如表1所示。

由表1可看出，隨著木瓜濃縮汁濃度的上升，其活化能Ea相應增大，說明隨著木瓜濃縮汁中可溶性固形物含量的增加，流動能耗增大，不利于濃縮汁的流動，可通過升溫加以改善，提升其流動性。由表1相關系數R2可知，R2＞0.9700，表明預測值與實際值比較一致，回歸方程有效性高。

表1 木瓜濃縮汁的阿累尼烏斯方程的參數和相關系數

2.4 濃度對木瓜濃縮汁粘度的影響

從圖5可以看出，增加木瓜濃縮汁濃度，其粘度相應增加，在相同溫度下，木瓜濃縮汁的濃度越高，其粘度越高。由此可見，木瓜汁濃縮物中可溶性固形物的含量對粘度的影響較大，溫度越低，效果越明顯。

根據文獻[18]，濃縮果蔬汁反應濃度與粘度之間關系的方程主要有以下2種：

式中，M和N均為常數；C為濃度。運用公式⑷和⑸分別對圖5中的曲線進行回歸分析，其相關系數分別為R12、R22，不同溫度相關系數見表2。由表2可知，不同溫度情況下，均有R12＞R22，說明公式⑷比公式⑸更適合作為方程反應不同溫度條件下木瓜濃縮汁的粘度與濃度之間關系。因此，圖5的測量值按式⑷進行分析，結果見表3。

由表3可知，溫度升高，常數N減小，說明溫度升高減緩了由于濃度增加所引起的粘度增加。因此，濃縮果蔬汁的實際生產中，宜事先判斷其粘度突變點防止因濃度增加引起粘度上升明顯而不利于生產操作。其中，R12＞0.8800，說明預測值與實際值吻合度較好。

2.5 溫度、濃度對木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

近年來，隨著果蔬濃縮汁流變學特性研究的深入，預測木瓜濃縮汁溫度和濃度對其粘度影響的主要數學模型[19]：

式中：

C為木瓜濃縮汁濃度，單位：°Brix；

K1、K2、K3為常數。

表2 不同模型表達濃度對木瓜濃縮汁粘度關系的比較

表3 濃度對木瓜濃縮汁粘度的影響

表4 溫度和濃度對木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

利用數據處理軟件Matlab R2014a對式⑹進行多元非線性回歸分析的結果如表4所示。由表4可以看出，由式⑹回歸擬合得到的相關系數R2=0.9682，說明數學模型η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2）能預測木瓜濃縮汁的粘度與溫度和濃度之間的關系，其T∈（20 ℃，60 ℃），C∈（20 °Brix，60 °Brix）。

3 結論

一般情況下，果蔬汁濃度高其粘度則大，反之則小。果蔬汁濃縮有利其貯存與運輸，但果蔬汁濃縮時其濃度不宜太高，濃度太高導致其粘度過大，其流動性能會變差反而對貯藏與運輸不利，木瓜濃縮汁的濃縮終點為60 °Brix。

木瓜濃縮汁在溫度為25 ℃、濃度為60 °Brix時，木瓜濃縮汁為假塑性流體，其流變學特性曲線為 τ=0.0517·γ0.6843，相關性系數R2=0.9911。

數學模型：η=M·EXP（N·C） 反映了木瓜濃縮汁的濃度與粘度之間的關系，不同濃度時其相應的回歸方程如下：

數學模型：η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2），R2=0.9682，該數學模型適用范圍為：溫度20～60 ℃、濃度30～55 °Brix，反映了溫度和濃度對木瓜濃縮汁粘度的綜合影響。