基于馬爾科夫隨機場的改進FCM圖像分割算法

王 燕，亓祥惠，段亞西

蘭州理工大學 計算機與通信學院，蘭州730050

1 引言

圖像分割是圖像分析的預處理階段[1]，就是將圖像根據不同的屬性分成不同的區域，從而為后續的圖像分析做準備[2]。Dunn等提出模糊C均值算法（Fuzzy CMeans，FCM）。Bezdek首次將模糊聚類算法應用到圖像分割領域[3]。Scherrer等人[4]利用馬爾科夫隨機場模型對局部強度進行估計，提高算法在處理磁共振（Magnetic Resonance，MR）圖像時的抗噪性，但該算法沒有考慮整體性，抗噪性提升不明顯。Zhao等人[5]利用相鄰子域關系提高對MR圖像分割的抗噪性，但是應用于其他類型圖像時，無法有效分割圖像。Wang等人[6]將深度學習的先驗信息作為馬爾科夫模型的能量函數，但是無法有效處理背景復雜的圖像。王少宇等人[7]提出一種條件隨機場模型約束下的模糊C均值聚類算法（CRF-FC），利用先驗概率對模糊聚類算法進行約束，有效提高算法的抗噪性，但處理背景復雜的圖像時存在明顯不足。Memon等人[8]提出一種改進的m維特征數據空間的模糊聚類算法（GKWFLICM），通過引入局部模糊因子提高算法的抗噪性，但無法有效分割灰度不均勻圖像。

為了提高模糊聚類算法的抗噪性，本文提出一種基于馬爾科夫隨機場的改進FCM圖像分割算法（Improved FCM image segmentation algorithm based on Markov Random Field，Kernel Function and Mahalanobis Distance，FKMFCM）。通過引入馬爾科夫隨機場先驗概率，修正FCM算法的目標函數，提高算法的抗噪性。通過對比實驗證明，本文提出的算法能有效提高模糊聚類算法的抗噪性。

2 FKMFCM算法

2.1 FCMKM算法

FCMKM算法將待分割圖像像素點非線性映射到高維空間，然后將歐式距離替換為馬氏距離，提高算法抗噪性。FCMKM算法目標函數如式（1）、式（2）、式（3）所示。對式（1）利用拉格朗日乘數法進行運算，求得隸屬度迭代公式如式（4）所示，聚類中心迭代公式如式（5）所示。

式中，G為目標函數，uik為隸屬度矩陣U的元素，vi為聚類中心V的元素，σ表示樣本元素集X的標準差，m為模糊系數，c為聚類中心數目，n為樣本個數，MK(xk,vi)表示樣本元素集X的第k個元素到聚類中心集V的第i個聚類中心在高維空間的馬氏距離，Σ表示樣本元素集X與聚類中心集V之間的協方差矩陣。

2.2 馬爾科夫隨機場

馬爾科夫隨機場模型是統計學與圖像處理相結合的產物[5]，利用該模型對圖像進行先驗概率求解，得到圖像的聯合分布概率[9]。為解決馬爾科夫隨機場實際應用問題，Geman等人[10]證明了吉布斯隨機場與馬爾科夫隨機場的等效關系，Xie等人[11]給出了計算馬爾科夫隨機場的先驗概率公式。

式中，h為標號場Ω的元素，U(h)為吉布斯能量，C為所有勢團集合，Vc為勢團勢能。β為勢團參數，通過β值來調節圖像分割的細膩程度，取值范圍是[0，1]，數值越小，圖像分割越細膩。

2.3 初始聚類中心選取

為了提高FCM算法性能，將圖像灰度值進行映射，得到灰度值變化折線圖，將折線圖局部極值作為聚類中心，局部極值的個數作為聚類數。

具體的計算步驟為：

（1）計算目標圖像的灰度直方圖，進一步得到灰度變化折線圖；

（2）計算灰度變化折線圖局部極值；

（3）將局部極值作為聚類中心，局部極值的個數作為聚類數。

2.4 評價指標

為防止主觀評價因素的影響，現引入Bezdek劃分系數[12]、Xie_Beni系數[13]、運行時間和迭代次數4個指標作為評測指標。

（1）Bezdek劃分系數是分類模糊系數。分類越分明時，值越大，分類越模糊，值越小，計算公式如式（9）所示。

式中，c為聚類數目，n為樣本數，uij為隸屬度矩陣U的元素。

（2）Xie-Beni系數計算公式如式（10）所示。

式中，uij為隸屬度矩陣U的元素，vi、vj、vk為聚類中心矩陣V的元素，xj為實驗對象的元素。Xie-Beni系數越小聚類的內聚度越高，耦合度越低，分類效果越明顯。

（3）運行時間是算法執行的時間，通過對比運行時間，可以清楚地比較算法的時間復雜度。

（4）迭代次數是指算法的迭代運行次數，通過計算迭代次數，可以有效地評價算法的收斂性。

2.5 FKMFCM算法

Ghosh等人[14]通過對FCM目標函數進行改進，添加修正項，如式（11）所示，提高模糊聚類算法的抗噪能力。

式中，m為模糊系數，?為調整系數，n為樣本數目，c為聚類中心數目，vi為聚類中心矩陣V的元素，y為樣本矩陣，b為偏移場矩陣，uik為隸屬度矩陣U的元素，d(yk-bk,vi)為yk去掉偏移場后與聚類中心vi之間的歐式距離。

FKMFCM算法將馬爾科夫隨機場先驗概率作為目標函數的修正項，利用馬爾科夫隨機場模型描述像素間空間局部相關性，提高算法的抗噪性，改進的目標函數如式（12）所示。

式中，MK(xj,vi)表示第j個元素到第i個聚類中心在高維空間的馬氏距離（如式（2）），λ為調整系數，P為馬爾科夫隨機場圖像分割先驗概率。根據拉格朗日乘數法，求得隸屬度迭代公式如式（13）所示，聚類中心迭代公式如式（5）所示。

FKMFCM算法具體流程如下：

（1）通過初始聚類中心算法，求得聚類數目c和初始聚類中心V(0)，設定迭代終止閾值ε及迭代計數器b=0。

（2）更新隸屬度矩陣U(b)，更新聚類中心矩陣

（3）根據得到的隸屬度矩陣U(b)和聚類中心矩陣V(b)，計算標號場Ω，計算圖像分割的先驗概率，如果ε，則迭代終止，若未達到終止閾值或者迭代計數器未達到最大值，則重復步驟（2）和步驟（3）。

（4）迭代終止后，得到目標函數最小的最佳隸屬度U和最佳聚類中心V。

（5）對于任意像素點xi，計算其對應的最佳隸屬度矩陣Ui中元素的最大值uij，將uij對應的最佳聚類中心vj的灰度值作為像素點xi的灰度值。重復此過程，直至所有像素點灰度值都更新完畢，算法終止。

FKMFCM算法流程圖如圖1所示。

3 實驗結果及分析

為驗證本文提出算法的抗噪性，實驗采用Berkeley圖像庫圖像，并對傳統FCM算法、GKWFLICM算法、CRF-FC算法進行抗噪性比較。實驗環境為英特爾i5處理器，主頻為2.6 GHz，8 GB內存，Windows 10系統的PC機，采用Matlab編譯語言實現。

3.1 參數設置

為確定本文算法中調整系數λ的取值，對Berkeley圖像庫#15088圖像進行實驗，選取[0.1，1.1]之間的11個數作為實驗數據，實驗結果如圖2所示。

圖1 FKMFCM算法流程圖

圖2 調整系數λ選取實驗

對圖2的分割效果進行分析，當λ=0.3和λ=0.5時算法得到較好的分割結果，因此圖2（a）分割的最佳聚類中心為[51，84，90，171]，算法在λ=0.4時聚類中心為[51，84，151，171]，聚類中心產生了誤差，致使FKMFCM算法的分割結果產生了波動。為確定最佳λ取值方案，對4個評價指標進行對比，結果如表1所示。

表1 調整系數λ取值實驗結果表

從表1中可以看出，λ取值0.5與λ取值0.3相比，Bezdek劃分系數較大，Xie-Beni系數較小，迭代次數與運行時間都有所減少。顯然，λ取值0.5時的性能要優于λ取值0.3。綜合分割效果與評價指標，調整系數λ取值0.5時，能有效提高算法的性能。

設置模糊系數m=2，勢團參數β=1，迭代終止閾值ε=10-4，設置最大迭代次數為100次。

3.2 抗噪性能實驗

對編號#41004（如圖3）、#24063（如圖4）圖像進行算法抗噪性實驗，分別添加高斯噪聲和椒鹽噪聲，實驗結果如圖5、圖6所示。

圖3 #41004噪聲實驗圖像

圖4 #24063噪聲實驗圖像

圖5 #41004圖像分割結果

圖6 #24063圖像分割結果

圖5（a）分別為傳統FCM算法、CRF-FC算法、GKWFLICM算法、FKMFCM算法處理原圖像結果，圖5（b）分別為四種算法處理高斯噪聲圖像的結果，圖5（c）為四種算法處理椒鹽噪聲圖像的結果。

FKMFCM算法能有效地將麋鹿的身體和角分割出來，且能做到目標邊緣清晰，與未添加噪聲的圖像分割結果相近。其他三種分割算法雖然能將麋鹿的身體分割出來，但是都無法有效地將麋鹿的角分割出來，造成分割不完整，對于添加噪聲的圖像都無法有效地去除噪聲。對四種算法處理原圖像的結果進行評價指標對比，結果如表2所示。

表2 #41004圖像分割實驗評價指標對照表

從表2數據可以看出，相較于其他算法，FKMFCM算法Bezdek劃分系數平均提高79.2%，Xie_Beni系數平均減少48.2%，迭代次數平均減少23.6次，運行時間平均減少4.6 s。FKMFCM算法能通過少量的迭代次數和運行時間，達到較好的圖像分割結果。

圖6（a）分別為傳統FCM算法、CRF-FC算法、GKWFLICM算法、FKMFCM算法處理原圖像的分割結果，圖6（b）分別為四種算法對添加高斯噪聲圖像進行分割的結果，圖6（c）分別為四種算法處理添加椒鹽噪聲后圖像的分割結果。

傳統FCM算法、CRF-FC算法能有效地將教堂分離出來，但是邊界不清晰，GKWFLICM算法無法有效地分割教堂。對添加了噪聲的圖像，FKMFCM算法則能有效地屏蔽噪聲干擾，將教堂分割出來，并且與原圖像分割效果無明顯差別，其他三種算法都無法有效處理噪聲圖像。從圖中分割結果明顯可以看出，FKMFCM算法能有效地處理添加噪聲的圖像。對四種算法處理原圖像進行評價指標對比，對比結果如表3所示。

表3 #24063圖像分割實驗評價指標對照表

通過表3可以看出，相較于其他算法，FKMFCM算法利用更少的時間和迭代次數，得到最佳的聚類結果。Bezdek劃分系數平均提高54.4%，Xie_Beni系數平均減少75.0%，迭代次數平均減少41.6次，運行時間平均減少6.17 s。通過算法抗噪性實驗發現，FKMFCM算法能有效地提高模糊聚類算法的抗噪性，在處理添加噪聲后圖像時分割效果較好。

4 結束語

本文提出了一種基于馬爾科夫隨機場的改進FCM圖像分割算法，即FKMFCM算法。利用馬爾科夫隨機場先驗概率修正模糊聚類的目標函數，從而提高算法的抗噪性。通過對比實驗發現，本文算法能有效地提高圖像分割算法的抗噪性，但該算法也存在不足，算法采用單一固定變量調節先驗概率，在處理醫學圖像時算法自適應性有一定缺陷。下一步的研究重點是動態調整λ的取值，提高算法在不同應用場景的抗噪性。