積分中值屈服準則解析厚板軋制橢圓速度場

姜興睿，章順虎，王春舉，李寅雪，田文皓

(1.蘇州大學 沙鋼鋼鐵學院，江蘇 蘇州 215021； 2.蘇州大學 機電工程學院，江蘇 蘇州 215021;3.哈爾濱工業大學 金屬精密熱加工國家級重點實驗室，哈爾濱 150001)

屈服準則是判別材料是否發生塑性變形的基本方程，也是求解材料成形所需外力必須求解的方程，它的開發與應用一直是塑性成形領域中一項基本而重要的研究內容.1864年，在沖裁和擠壓實驗的基礎上，Tresca提出了最大剪應力理論[1]，為材料的屈服特性提供了基本的理論解釋.Tresca屈服準則數學表達簡單，取得了廣泛應用，但其忽略了中間主應力的影響，通常會給出偏低的力學參數結果.1913年，von Mises認為偏差應力二次不變量達到一定值，金屬將從彈性變形過渡到塑性變形[2-3]，并基于這一假設提出了Mises屈服準則.然而，該準則的表達式是非線性的，不便于復雜力學方程的聯解計算.1951年，Drucker和Prager[4]將靜水壓力的影響添加到Mises公式中，從而提出了一種他們自己的屈服準則.Haigh和Westgarrd[5]為了在三維應力空間中統一以上各種形式的屈服準則，提出了三維應力空間的概念，實現了屈服準則的幾何學表示.1983年，俞茂宏[6]提出了雙剪應力(TSS)屈服準則.該準則假定當兩個較大的主剪應力之和達到臨界值時，材料發生屈服，通常被用來預測力學參數的上限[7].2005年，俞茂宏等[8]認為雙剪應力屈服準則雖然考慮了中間主應力的影響，但忽略了最小剪應力對材料強度的影響，繼而又提出了三剪應力屈服準則.最近，Zhu[9]通過平均Tresca屈服準則的最大剪應力和Mises屈服準則等效剪應力，提出一種加權平均屈服準則，稱為平均剪應力(ASSY)屈服準則.為了解釋延性和脆性材料的屈服條件，Barsanescu[10]將最大應變能和最大畸變能作為修正系數，提出了修正后的Mises屈服準則.對于均質各向同性材料，Gu[11]對于拉伸和壓縮不同情況提出了兩種屈服公式.他認為形狀變化和體積膨脹會導致材料失效，而體積收縮(如靜水壓力)會阻礙失效.Pei等人[12]在應力坐標系中引入了一個由三個法向應力組成的法向應力空間來表示應力張量和材料結構之間的相互作用，并在此基礎上提出了基于幾何因子而非代數張量的各向異性準則來描述巖石的各向異性抗剪強度.基于以上研究可見，Tresca屈服準則通常給出下限解，TSS屈服準則通常給出上限解；Mises屈服準則的精度高，但其公式是非線性的，很難用于獲得的力學參數的解析解.因此，尋求逼近Mises圓的線性屈服準則，并進行工程應用具有很重要的意義.

厚板廣泛應用于工程機械、輸油管道、海洋平臺等結構的承載件，如何精確獲得厚板軋制力、軋制力矩關系到工藝的設計與優化，具有重要的研究價值.非線性軋制功率泛函積分求解困難是造成目前軋制力解析困難的根源，早在1973年小林史郎[13]就對三維軋制過程建立了總功率泛函的積分框架，但未求出解析結果，只給出了相應的數值結果.1980年，Kato等[14]提出一種簡化的加權速度場，也僅獲得了相應的軋制力與軋制力矩的數值解.王振范等[15]采用三維流函數法解析了塑性加工問題，分析和建立了考慮寬展的平輥軋制模型.李濤等[16]采用了Hill屈服準則研究了正交異性材料平面應力問題的應力場和速度場，得出應力場和速度場的特征線處處重合的結果.趙德文等[17]提出一種簡化的二維流函數速度場，通過應用應變矢量內積法以及共線矢量內積法，獲得了軋制過程中各項功率以及軋制力與軋制力據的解析解.章順虎等[18]提出一種考慮了軋制滲透率的新型速度場來分析特厚板軋制.研究表明，考慮軋制滲透率可以使軋制力與軋制力矩模型更加精確.根據以上研究可見，通過解析法建立速度場可以對厚板軋制問題進行有效的分析，且有利于軋制參數的優化處理.然而，已有速度場未能準確描述厚板軋制時縱橫流動特性(即變形金屬沿軋制方向和寬度方向的速度分布規律)，相應的力能參數解析也鮮見報道.

為了解決以上問題，本文擬開發一逼近非線性Mises屈服準則的線性屈服準則，并計算其相應的比塑性功率.隨后，利用導出的比塑性功率解析提出的厚板軋制橢圓速度場.通過能量計算，獲得了相應的內部變形功率、摩擦功率以及剪切功率，再經變分獲得了軋制力矩與軋制力的解析解，并與實驗數據進行對比分析.

1 積分中值屈服準則

1.1 屈服準則表達式

Mises屈服準則的軌跡是一個在π平面上的圓，它的外接六邊形(TSS)和內接六邊形(Tresca)之間的十二邊形可用作對Mises圓的線性逼近.如圖1所示，設線段BF上有一動點E，B′F與B′E之間的夾角∠FB′E設為θ，則當θ=0°時，對應Trasca屈服軌跡B′F；當θ=30°時，對應TSS屈服軌跡B′B.

圖1 π平面上的屈服軌跡

由積分中值定理，可得平均化后的新軌跡長度為

基于上式，可得

Mises屈服軌跡上的偏差矢量模長為

積分中值屈服準則的偏差矢量模長為

OE=0.837σs,

所以兩者之間的誤差為

可見，積分中值準則的偏差矢量模長較Mises屈服準則增加了2.46%，即E點在B、D之間，如圖2所示.

圖2 積分中值屈服準則在誤差三角形內軌跡

Fig.2 Locus of the integral mean value yield criterion in the error triangle

下面建立圖1中直線A′E、B′E的應力方程.圖3為主應力分量σ1在π平面上的投影，其中E點的應力狀態為

假定A′E線滿足如下方程

σ1-a1σ2-a2σ3-c=0.

(1)

圖3 σ1在π平面上的投影

當材料屈服時有c=σs、a1+a2=1，代入應力分量式可得

a1=0.309,a2=0.691.

(2)

將式(2)代入式(1)，可得A′E的方程為

(3)

同理，軌跡B′E的方程可確定為

(4)

式(3)、(4)即為新的屈服準則的數學表達式，它是主應力分量的線性組合.因該準則的軌跡邊長B′E由積分中值定理計算而得，故稱為積分中值屈服準則，簡稱IM屈服準則.

由圖2可知，積分中值屈服準則的軌跡在π平面上與Mises圓相交，各頂角計算如下：

(5)

由圖1和式(5)表明，積分中值屈服準則的軌跡是與Mises圓相交的等邊非等角的十二邊形，軌跡的6個頂點在Mises圓上，內接點頂角為155.196°，另外6個頂點位于Mises圓的外側，相距0.02σs，頂角為144.804°；十二邊形的邊長為0.428σs.

1.2 比塑性功率

(6)

假設有λ≥0，μ≥0，由式(3)與(6)得

λ∶(-0.309)λ∶(-0.691)λ.

同理，由式(4)與(6)得

0.691μ∶0.309μ∶(-μ).

將以上兩式所得結果進行線性組合有

(-0.691λ-μ),

(7)

在頂點E處，注意到σ2=(σ1+σ3)/2，所以可由式(10)和式(11)得

(8)

因此，從式(7)和式(8)可得積分中值屈服準則比塑性功率為

(9)

Tresca與TSS屈服準則的塑性功率表達式分別為[19]

(10)

(11)

將式(20)與式(21)、(22)進行比較，比塑性功率誤差為

可見，使用積分中值屈服準則比塑性功率的計算值較Tresca屈服準則提高了18.20%，而比TSS屈服準則降低了11.29%.

1.3 實驗驗證

在主應力狀態為σ1≥σ2≥σ3時，Lode引入了應力狀態參數用以對比不同的屈服準則，并評價了中間主應力對屈服的影響，該參數為[20]

將上式分別代入Tresca準則、Mises準則、TSS屈服準則和IM屈服準則可得它們的Lode參數表達式如下：

基于以上方程，結合不同實驗數據[20-23]，可以得到對比圖4.

圖4 屈服準則實驗結果對比

Fig.4 Comparison between various yield criteria and experimental data

由圖可知，Tresca屈服準則提供了實驗數據的下界，而TSS屈服準則提供了上界；IM屈服準則計算值則介于TSS準則與Tresca準則之間，相交于Mises準則.可見，IM屈服準則與實驗數據較一致，提供了較合理的中間結果.

2 軋制力解析

2.1 橢圓速度場

對于厚板軋制，當軋板寬度b與其厚度h的比值大于10時，寬度方向的金屬流動可以忽略，軋制過程可以視為二維平面變形問題[24].

圖5 厚板軋制變形示意

如圖5所示，h0為軋件入口厚度，h1為出口厚度，R為軋輥半徑，O點為軋輥中心，v0為入口速度，v1為出口速度.θ為接觸角，α為中性角，x為中性點位置距變形區入口長度，hx為中性點處軋件厚度.中性點處軋件切向速度與此處軋輥的切向速度相等，切向速度不連續量與摩擦功均為零.根據圖中的幾何關系，接觸弧方程、參數方程以及其一階及二階導數可表示為

(12)

l-x=Rsinαdx=-Rcosαdα,

由式(12)可知邊界條件如下:

對于展寬軋制，由于l/h≤1、b/h≥10，入口至出口的寬度函數bx可看作常數，因此

y=bx=b1=b0=b.

本文假定軋制時金屬流動水平速度分量從入口到出口按橢圓方程分布，則可提出如下二維速度場：

這一速度場既考慮了軋件寬向速度近似為0的特點，又考慮了水平速度分量逐漸增大的特點.根據體積不變條件v0h0b=v1h1b，故可令h0/h1=η，即v1=ηv0.因此，該速度場可以簡寫成如下形式：

(13)

式中，vx、vy、vz分別是軋制方向、展寬方向以及壓下方向的速度分量.根據幾何方程，可得

(14)

U=vxhxb=vnhnb=vRcosαnb(R+h1-Rcosαn)=v1h1b.

(15)

2.2 內部變形功率

代入式(9)表示的IM屈服準則比塑性功率至下式，可得軋制時內部變形功率為

(16)

2.3 摩擦功率

上式可寫成共線矢量內積形式，即

(17)

由圖5知，Δvf與坐標軸之間的方向余弦分別為

(18)

將式(18)代入到式(17)中，得

(19)

2.4 剪切功率

由于在出口截面上不消耗剪切功率，因此入口截面上消耗的剪切功率即為總剪切功率

(20)

2.5 總功率泛函及其變分

總功率泛函Φ等于

Φ=Nd+Nf+Ns.

因此，將式(16)、式(19)與式(20)相加可得

由式(15)、式(16)、式(19)與式(20)，對中性角αn求導可得：

vRb(R+h1)sinαn=N,

因此，對于總功率有

(21)

求解上式可得摩擦因子m的理論表達式為

(22)

將式(21)確定的αn及式(22)確定的m代入到下式可得軋制力矩、軋制力和應力狀態系數解析解：

(23)

式中力臂參數χ可以參考文獻[25]，一般對于熱軋大約為0.5，冷軋大約0.45.

2.6 實驗驗證與分析討論

在國內某廠開展了現場軋制實驗.軋機的工作直徑為1 120 mm，連鑄坯的尺寸為219 mm×3 200 mm×2 290 mm.從第1～第5道次由于軋件寬厚比>10，所以這些軋制道次的軋件寬度不變，滿足平面變形條件.第1～5道次的軋制速度分別為2.29 m/s，2.45 m/s，2.57 m/s，2.75 m/s和2.91 m/s；力臂系數χ分別取0.62，0.63，0.61，0.66和0.63；相應的軋制溫度分別為919℃，911℃，903℃，896℃和890℃.每道次軋件的出口厚度以及每道次軋制力可以在線實測.材料為Q345R鋼，其變形抗力模型為[26]

σs=3 583.195e-2.233×10-3T·ε0.424 37·

T=t+273.

上述道次的軋制力矩和軋制力可由式(23)計算.解析計算結果與實測結果如表1所示.

表1 解析軋制力、力矩與實測結果比較

在表1中，Δ1為實測軋制力FM與由本文速度場計算的解析軋制力FA的相對誤差，最大誤差為5.3%；Δ2為實測軋制力矩MM與由本文速度場計算的解析軋制力矩MA的相對誤差，平均誤差為6.04%，僅有一組誤差為13.7%.以上的各誤差均小于工程允許的15%要求，具有較好的預測精度，能夠為工藝優化提供理論指導.

3 分析與討論

圖6表示了中性點位置Xn/l與摩擦因子m以及壓下率ε(真應變)之間的關系.如圖所示，隨著m的增加，中性點位置逐漸向入口處移動，但隨ε的增加，中性點向出口移動.

圖6 中性點位置與摩擦因子以及壓下率的關系

Fig.6 Relationship among the neutral point position, the friction factor, and relative reduction

圖7表示了應力狀態系數nσ與形狀因子l/2hm以及摩擦因子m之間的關系.可以看出，隨著形狀因子的增加，nσ有明顯減小.而摩擦因子m對nσ的影響較小，說明摩擦功率對總功率的影響很小.

圖8表示了解析軋制力FA與厚徑比h0/R以及壓下率ε之間的關系.可以看出，軋制力隨著壓下率的增加以及厚徑比的增加而增加.

圖7 應力狀態系數與形狀因子以及摩擦因子的關系

Fig.7 Relationship among the stress state coefficient, the shape factor, and the friction factor

圖8 軋制力與厚徑比以及壓下率的關系

Fig.8 Relationship among the rolling force, the thickness to diameter ratio, and relative reduction

4 結 論

1)本文提出的積分中值屈服準則是關于主應力分量的線性組合，它的屈服軌跡為一個相交于Mises圓的等邊非等角十二邊形，邊長為0.428σs，頂角為155.196°與144.804°.通過對比實驗數據，發現IM屈服準則的結果與實驗數據吻合程度高，給出了合理的中間結果.

2)本文建立了一種新型的二維軋制速度場，該速度場滿足運動許可條件，它能反映厚板軋制時軋件的縱橫流動特點.通過運算，獲得了內部變形功率、摩擦功率以及剪切功率的表達式，并獲得了軋制力、軋制力矩的解析解.通過對比實測數據，理論軋制力與軋制力矩與實測值吻合較好，軋制力誤差不大于5.3%，軋制力矩誤差在6%左右，最大誤差為13.7%.由此可見本文采用IM屈服準則解析橢圓速度場的方法是可行的.

3)對各種軋制參數的變化規律對比發現，摩擦因子m增加，中性點向入口移動；壓下率ε的增加會導致中性點位置向出口方向移動，也會導致軋制力的增加；變形區形狀因子l/2hm的增加會降低應力狀態系數，而軋板厚徑比h0/R的增大會引起軋制力增加.