基于旋量理論的并聯機構過約束分析步驟的改進

汪建曉

（佛山科學技術學院機電工程學院，廣東佛山528225）

并聯機構是由基座、動平臺以及聯接它們的若干分支所組成的多閉環機構，具有剛度大、精度高以及動態響應快等特點，因而在運動模擬、取放作業、組裝以及多軸加工等許多場合得到廣泛應用。

在進行并聯機構的分析與綜合時計算其自由度是最基本內容之一。當采用傳統的機構自由度計算公式即Grübler-Kutzbach（G-K）公式對并聯機構進行分析時，常會由于機構的特殊幾何形狀而不能得到正確解，特別是對于一類所謂過約束并聯機構。其原因在于G-K公式將所有約束都當成有效約束，即使那些不影響機構自由度的冗余約束（或虛約束）也不例外。

旋量是具有旋距要素的線矢量（也稱為螺旋）。旋量可以表示運動學中的一般剛體運動或者靜力學中的廣義力（包括力和力偶）。旋量理論可以追溯到18世紀的Mozzi瞬時運動軸及19世紀初葉的Poinsot合力中心軸與Chasles位移軸。至1876年，Ball完成了對這一理論的系統研究，并體現在其1900年的著作當中。

并聯機構的運動和約束情況較為復雜，因而最適宜采用旋量理論進行描述。20世紀80年代以來陸續有學者開始用旋量來表達Stewart平臺和6-6R并聯機構等的分支運動，用旋量理論研究少自由度并聯機構的型綜合，以及用互易旋量研究一些并聯機構自由度的計算方法。

戴建生、黃真等人［1-2］系統研究了并聯機構的一系列旋量系，創建了并聯機構旋量系分析的理論體系，揭示了這些旋量系與機構運動和約束之間的內在聯系，并提出了一種修正的G-K公式，為并聯機構的自由度和過約束分析計算奠定了理論基礎，引起國際上機構學界的廣泛關注［3-5］。近十余年來這一理論體系得到豐富和完善［6］，已逐步普及到相關專業研究生或高年級本科生教材中去了［7-8］。

文獻［1-2］重點研究了各旋量系之間的關系，并用多個示例驗證了修正的機構自由度計算方法的正確性，然而并未給出條理化的機構自由度與過約束（包含虛約束和公共約束）分析的步驟，這對于初學者掌握這一方法有些不便。文獻［7-8］給出的機構自由度與過約束分析步驟除部分變量符號不同外，步驟的內容都是一致的，然而當筆者按這些步驟進行并聯機構自由度計算時，卻發現過約束的分析步驟中存在公式表達不準確、不完善的問題。

本文的目的在于針對上述問題，提出一種改進的機構過約束分析的步驟，以便于基于旋量理論的并聯機構自由度計算方法的推廣應用。

1 機構自由度計算的G-K公式及其修正

自1869年Chebychev提出第一個機構自由度計算公式至今的150年里，很多學者一直在找尋通用的機構自由度計算公式，提出的公式在40種以上［3，9］。其中，較為傳統的、最具代表性的、應用也最為普遍的要屬Grübler-Kutzbach公式［10-11］，即

其中，F為機構的自由度數；d為機構的階數，d=6-λ，λ為公共約束數；n為構件數（包含機架）；g為運動副數；fi為第i個運動副的自由度數目。

不過，目前已證明，對于很多機構的自由度，利用該公式計算的結果都不正確，因此提出了許多修正公式。戴建生、黃真等人提出的修正的G-K公式為［1-2，6］

其中，ν為機構的冗余約束（或虛約束）數。

當考慮機構的局部自由度時，式（2）進一步修改為［12］

其中，ζ為機構的局部自由度數。

應用式（2）或（3）計算機構自由度的難點在于公共約束和虛約束的判定，而基于旋量理論的并聯機構過約束分析方法能有效地解決這個難題。

2 基于旋量理論的并聯機構自由度和過約束分析方法

如圖1所示，并聯機構中包含3個基本互易旋量系對，分別是：1）與單個從基座到動平臺的分支（ii=1，2，…，p，其中p為分支數）對應的分支運動旋量系Sbi和分支約束旋量系。2）與動平臺對應的平臺運動旋量系Sf和平臺約束旋量系Sr。3）與整個機構對應的機構運動旋量系Sm和機構約束旋量系Sc。此外，還有分支補約束旋量系和平臺補約束旋量系等。

圖1 并聯機構中的幾對基本旋量系

假定每個分支的旋量是線性獨立的，則冗余自由度和奇異在每個分支中都被排除。這些旋量系的定義與相互關系詳見文獻［1-2，6-7］。為敘述方便，下文主要以文獻［6-7］為代表進行闡述。

這里先給出基于旋量理論的通用自由度分析過程［7］，這也是機構過約束分析的前序步驟，具體步驟如下。

（1）判斷機構是否含有局部自由度，并計算出具體數值ζ。

（2）構造各個分支的運動旋量系Sbi。

（5）根據SfΔSr=0，計算得到動平臺的運動旋量系Sf。

（6）觀察Sf的特點，進一步確定機構的自由度分布情況。

（7）改變機構的位形，重復上述步驟，以驗證所求得的自由度是否為全周自由度。如果前后自由度性質不變，則為全周自由度；否則為瞬時自由度。

需要指出的是，在文獻［7］中旋量系和旋量系的矩陣表示采用相同的符號，例如分支運動旋量系和分支約束旋量系分別用Sbi和表示，而上述步驟3的矩陣方程為，這容易造成混淆。本文對其進行了區分，旋量系與旋量集的符號均用空心體表示，而旋量系的矩陣用對應字母的黑斜體表示。在上述矩陣方程中，為進行旋量系互易運算的矩陣，由3×3分塊矩陣組成，E為單位矩陣。運，n為運動旋量系的階數，各旋量均采用列陣表達。

本文著重討論機構過約束的分析。文獻［6］在論述各旋量系的定義與相關定理的基礎上，給出了機構公共約束數λ和虛約束數ν的計算公式，分別為動旋量系的矩陣為，約束旋量系的矩陣為

其中，dim（）表示旋量系的階數，card（〈〉）表示旋量系多重集（旋量集）中元素的個數。

文獻［7］給出的對機構進行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析的步驟如下。

集合中的元素個數記作card（〈Sr〉）。

（2）根據Sm＝Sb1∪Sb2∪…∪Sbp，求取整個機構的運動旋量系Sm。

（3）根據SmΔSc=0，求取整個機構的約束旋量系Sc。

（4）根據λ=dim（Sc），確定機構的公共約束數λ。

（5）根據d=6-λ，確定機構的階數d。

3 過約束分析步驟存在的問題及改進

由上述可知，文獻［7］給出的機構自由度和過約束分析的步驟較為清晰，容易實施，特別對于那些初學者來說就有了一個求解過程的指南。但是當利用該步驟進行機構過約束分析時，不難發現它存在以下兩個問題。

（1）其步驟1求出的card（〈Sr〉）閑置，沒有用于其他計算或分析。

對于第2個問題，文獻［6］給出以下關系式

顯然，根據這個條件去分解旋量集，重復元素只能存在于一個旋量集中，因而求解具有確定性。

對于第1個問題的解決就稍顯復雜。經研究，發現在文獻［6］中定義了表征機構公共約束數λ和虛約束數ν總體大小的一個參數，稱為綜合約束冗余因子。綜合約束冗余因子c的計算公式為

綜合約束冗余因子c也可以由card（〈Sr〉）與dim（Sr）表示為

由于前序步驟4已求出Sr，即dim（Sr）確定，因此可以用式（8）把上述步驟1求出的card（〈Sr〉）與dim（Sr）相減，求得綜合約束冗余因子c，再與式（7）求出的同一參數進行比較，若兩者相同，則驗證了過約束分析的正確性。

針對這兩個問題進行改進后，對機構進行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析的步驟如下。

（2）根據Sm=Sb1∪Sb2∪…∪Sbp，求取整個機構的運動旋量系Sm。

（3）根據SmΔSc=0，求取整個機構的約束旋量系Sc。

（4）根據λ=dim（Sc），確定機構的公共約束數λ。

（5）根據d=6-λ，確定機構的階數d。

（9）計算綜合約束冗余因子c=（p-1）λ+ν，若與前面求出的c一致，則表示過約束分析正確。

與改進前的過約束分析步驟相比，可知改進后步驟1與7有修改，且增加了一個新的步驟9。

4 算例

為了便于對照，這里分別從文獻［1］和［7］中找出其有代表性的1個算例，并對改進后的機構過約束分析步驟加以驗證。

例1分析圖2所示Sarrus機構［7］的自由度和過約束。圖2中每個分支中轉動副（R）的軸線相互平行，但兩個分支的運動副軸線相互垂直。

解該機構可看成是由2個分支組成的單環機構，機構自由度分析的步驟如下。

（1）判斷可知機構無局部自由度，即ζ=0。

（2）建立如圖2所示的坐標系，各分支的運動旋量系Sbi為

圖2 Sarrus機構及其運動旋量

（6）通過分析Sf的特點，很容易判斷出來該機構的自由度為單自由度平動。

（7）由于機構位形改變后，各分支運動副間的幾何關系未發生變化，因此計算結果仍然有效。由此可以判斷該機構所具有的移動自由度為全周自由度。

通過以下步驟還可進一步對該機構進行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析。

（1）求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉，確定機構的綜合約束冗余因子c，分別為

（2）根據Sm=Sb1∪Sb2，求取整個機構的運動旋量系Sm，有

由此可知，計算結果與前面分析得到的自由度一致，表明分析正確。

例2用旋量理論分析圖3所示3-RRRH并聯機構［1］的自由度和過約束。圖3中每一分支均由3個轉動副（R）和一個螺旋副（H）組成，而且它們的運動副軸線相互平行。在基座上3個轉動副軸線位于同一平面，且對稱布置。

圖3 3-RRRH并聯機構及其運動旋量

解該機構可看成是由3個分支組成的多環機構，機構自由度分析的步驟如下。

（1）判斷可知機構無局部自由度，即ζ=0。

（2）建立如圖3所示的坐標系，確定各分支及運動副旋量的符號。各分支的運動旋量系Sbi為

（6）通過分析Sf的特點，很容易判斷出來該機構的自由度為沿3個坐標軸的移動。

（7）由于機構位形改變后，各分支運動副間的幾何關系未發生變化，因此計算結果仍然有效。由此可以判斷該機構所具有的移動自由度為全周自由度。

通過以下步驟還可進一步對該機構進行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析。

（1）求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉，確定機構的綜合約束冗余因子c，即

由此可知，計算結果與前面分析得到的自由度一致，表明分析正確。

從例2過約束分析的步驟7還可以得出機構的約束旋量集為

5 小結

本文指出基于旋量理論的機構過約束分析方法或步驟存在的問題，根據權威文獻的理論公式，給出了改進后的分析步驟，并以算例加以驗證。結果表明，改進后的分析步驟邏輯清晰，公式嚴謹，便于數據相互驗證，使機構過約束分析的方法得到進一步完善，有利于基于旋量理論的機構自由度和過約束分析方法的推廣應用。