高階思維教學的“三重門”
——芻議核心素養視域下的數學思維教學

洪 玲 林 風

（福州第三中學，福建 福州 350025）

數學是思維的體操，但是教學中常常有些教師自覺或不自覺地把“思維的體操”窄化為“解題的體操”.把數學學習停留在思維的低層次上，使得活躍的思維不斷地萎縮、鈍化，常常被異化為玩弄技巧和套路，成為應對考試的一種技術.窄化或淺表化數學思維的原因有種種，其中對低階思維和高階思維的概念、價值和意義的認知缺失無疑是一個重要原因.

當下數學教學常常受限于現成性、實體性的知識信念，強化和強調陳述性知識和程序性知識的記憶和訓練，大量的死記硬背、套題刷題，題海戰術，加課加時的做法，數學教學停滯于低階思維的“圍城”里，增量不提質，缺乏真正意義上思維教學，陷入越教越困惑、越教越沉重的“死循環”，難以構成促進學生自覺運用、遷移的知識的能力和意愿.當前課程改革強調要著眼于培養學生適應個人終身發展和社會發展所需要的人的思維品質與關鍵能力，其中思維教學無疑是數學育人最具學科性、特質性的要素之一.教學實踐表明思維的含金量和高低層次決定了數學教學的質量和品質，高中學生思維比較活躍，樂于思考、喜歡挑戰，思維具有很強的可塑性，是培養高階思維的最佳時期.要突破應試教育的“窠臼”，促進數學教學質量的提升，必須從低階思維走向高階思維，讓高階思維成為具有超越課堂和知識之外的持久價值和遷移效應，在數學教學轉型和變革時期數學教學貫穿高階思維的培養符合新課程標準理念和學生認知規律和水平，是適應時代發展的應有之舉.

高階思維教學著眼于將知識視為現成概念或客觀實體的知識信念，把知識從客觀符號、規律定理轉化為具備資源活力、能夠遷移與運用的工具、資源，通過個體情境性、問題性的知識遷移、靈活運用解決復雜問題，實現知識的價值.［1］高階思維不是一個時尚的概念新詞，也不是一種新瓶裝舊酒的炒作，而是觀念的一次更新和重構，要讓它落地開花必須開啟教學“三重門”——問題教學、核心素養和深度學習.

一、問題教學：開啟高階思維的動力

無須諱言，問題是數學的心臟，也是數學思維的底色，沒有問題便沒有數學.當下的數學教學受制于應試需求，囿于各種考核指標，把數學習題等同于問題解決，數學課程三年并作兩年，以教輔頂替教材，重解法輕概念，重結果輕過程，忽視學習情境的作用，忽視數學自身的學科特性，課堂缺乏真實、復雜和生動的學習情境，知識的活力與思維的張力受制于課時、考試的羈絆，生吞硬咽、囫圇吞杏.記憶、累積、模仿、重復的低階思維的學習方式成為數學學習的“不二法門”，思維的嚴謹性被異化為試題的挖坑設陷，思維的靈活性異化為解法的作秀魔法，思維的創新性異化為解題的奇技淫巧.

思維大師杜威認為：高階思維不是自然發生的，它是由“難題和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發的.思維起于問題、貫穿于求解于探究之中，問題教學無疑是開啟高階思維的最大動力.［2］沒有問題思維就難起波瀾，要引爆學生思維的燃點，就必須做好“四立”，立足學生，立足課堂，立足教材，立足問題.概念、公式、性質、問題都是激活思維的素材和燃點，面對新的情境、新的知識、新的視角、新的思維，學生必然產生許多新的思考，新的挑戰，新的困惑，新的問題，似是而非的問題必然引發許多“為什么”“是什么”“怎么辦”的糾結與追問.數學教學表明，大量概念變式、公式變化、性質應用以及課堂上發生的種種意外問題“事故”等的最能引發學生探究的興趣和思維的挑戰，充分利用典型知識、核心內容、困惑問題的可以提升課堂思維的“熱度”，問題的“挑戰性”能吸引眼球，問題的“開放性”能大開腦洞，問題的“層次性”讓思維“跳起來夠得著”.教學中需要讀懂讀透教材，讓問題來自教材高于教材，在教材字里行間揭示問題的切入點和思維連接點.以人教社（選修2-1 橢圓）為例，教材沒有簡單地羅列知識“清單”和解題的“降龍十八掌”，沒有簡單地呈現橢圓定義、方程、解題要點，更沒有大量的題型和解法范式，而是通過設計一系列圍繞知識內容和學習任務的引導性材料，一段導言、一個提示、一個場景和一個思考，問、探、思、行，漸行漸遠，讓學生在體驗中學習、在探究中實踐、在思考中辨析：（1）通過《探究》讓學生動筆實踐，并說出移動筆尖（動點）滿足的幾何條件，強調知識始于實踐、重于體驗，思考的起點因體驗實踐而生發.（2）《思考》觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使得橢圓的方程簡單，引發學生思考如何從具象的橢圓走向抽象的橢圓方程表示以及坐標系的選擇與優化，分析、綜合、評價和創新等高階思維方式穿插其間，潛移默化.（3）《思考》觀察橢圓圖形，從中找出表示的線段，數形結合思想方法逐漸滲透.（4）《思考》已知焦點在y 軸上，且焦點坐標分別為（0，-c），（0，c），那么橢圓的方程是什么？數學的多元表征，形式多樣促進思維的多樣性和嚴謹性的自然合理地生成.（5）《思考》你還能用其他方法求它的方程么？哪種方法簡單？你有什么體會？在知識的遞進過程中，學會思考，學會優化，提升思維的品質.（6）你能發現橢圓與圓之間的關系？?新舊聯系，比較中深化思維的廣度.（7）《探究與發現》為什么截口曲線是橢圓？欣賞數學家Germinal Dandelin 巧妙、極具創造性的證明方法，品鑒思維的深刻性和創新性.生發于問題、生長于求解、升華于思考，每個新知識、新概念、新知識、新方法都會激發從“0 到1”的追問，點燃從“1 到∞”的聯想，在教材旁注的字里行間進行“補白”“填空”“稀釋”“鉛華”的知識被“活化”為思想的種子，碎片化的內容被律動成思維的彩練，知識鏈、問題鏈、思維鏈明暗交錯，三線并行，彼此滲透，相互推進.課堂變成充滿對話互動，你問我辯，思維碰撞的“課本劇”，處處激蕩著思考的火花，時時洋溢著思維的波浪.

當然，更多的問題需要教師在“用教材教”的過程中細心鉆研，深入挖掘，讓固化的知識“解凍”為思維的因子.例如在等差數列教學中，從定義出發，形如an+1-and（d為常數），抓住數列問題的“結點”和思維的“盲點”，“項、相鄰項、差、常數、遞推關系、幾何背景”等雖是只言片語，深入其間就會撩起思維之火.例如，（1）d> 0,d=0,d< 0 表明數列具有怎樣的性質；（2）把遞推關系an+1-and(d為參數）的任意前后兩項差轉化為任意一項與首項的關系（即an=a1+(n-1)d）；（3）任意兩項之間是什么關系，即an-am(n-m)d，（4）an f(n)即通項視為n 的函數，那么等差數列的通項的幾何意義是什么（一條直線上的離散點；d 的幾何意義為點列所在直線的斜率）；它的表達形式是什么，……從橫的拓展看，（1）an-an+1=d（常數）與等差數列定義有何差別；（4）若把下標從相鄰n+1,n 改為n+2,n,即an+2-an=d(d為常數），這時{an}與等差數列有何區別和聯系；（3）把相鄰兩項an+1+an做數學化處理，由相鄰兩項的“差”改為“和，積、商”等，會得到怎樣的數列，即an+1+an=d（等和數列），an+1·an=d(d≠0)（等積數列）；=q(q≠0）（等比數列）；（4）如果把an+1-an=d(d為常數)中的d 改為變量n，如an+1-an=n，則{an} 具有怎樣的特征（二階等差數列）……從常數到常數的符號；從常量到變量；從前后兩項關系到任意兩項關系；從“等差”到“等和”“等商”“等積”……這些問題不是作為一種題型、一個知識、一種技法，簡單地、碎片化地羅列和疊加，而是從知識的發生、發展、深化的邏輯順序自然合理地進行問題化、數學化的鏈接和推進.對知識的特性和規律不斷進行比較、歸納、抽象、變式和概括，從“表象特征”走向“內在價值”，知識與問題情境相生相融，數學與現實合理對接，內在的數學邏輯與學生認知感覺相融相合，各種思維活動，發散思維、聚合思維、形象思維、抽象思維等在問題的發生、轉化、解決和拓展中慢慢滋生和孵化，數學課堂便會充滿勃勃生機.

二、核心素養：夯實高階思維的落點

高中數學新課程六大數學核心素養提出“三會”，即“會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界”.數學核心素養應當成為高階思維教學的落腳點.對數學知識（問題）的本質的理解程度決定了數學思維的品質、深度和高度，思維的品質不只局限于知識的容量、技能的高低和刷題的速率，更需要關注的是要超越表層的文本解讀、符號推演和解題套路，深入理解和應用數學的邏輯和意義自然、有序、逐步深入剖析問題、發現問題和解決問題，將知識內隱的、微觀和特質的挖掘出來，發揮知識內容的核心價值發揮其“核裂變”作用.教學中經常發現不少學霸可以秒殺難題，笑傲題海，但深究其因卻常常閃爍其詞，“數競做過”“感覺應該如此”“憑直覺靈感”等都是常見的說辭，雖知數學“器”之用，卻不知數學“道”之理，雖有高超的解題技法，卻無高階思維的素養，知其然不知其所以然者為數不少.沒有高階思維的數學學習難以抵達思考的深度，就難有思想的縱深感和靈動感.

從概念的生成、公式的引入、模型的建構到問題的解決、知識的應用，從潛意識到顯意識，從無序到有序，從經驗到理性，無一不伴隨著思維從低階走向高階，從具象—形象—抽象—心象映射出認知深化的趨勢，核心知識—核心問題—核心能力—核心素養詮釋著內隱其間的學科教育價值和思維品質，通過比較、聯想、歸類、遷移、創新可以促進高階思維的形成和培養.以《基本不等式》解題教學為例，如果止步于講考題類型、公式變形、應用技巧，什么拼湊法、常量代換法、多次應用法、一正二定三等，積要最大和要定值，積要最小和要定值等等，可以有益于短時提分，有助于一時之用，而疏于從數學的本質意義在詮釋和展開，弱化蘊含的思想內涵，難免“以其昏昏使人昭昭”，知識只會“雁過無痕”，思維只是“鏡中觀花”.事實上(a> 0,b> 0)，看似簡單，內涵雋永，蘊含著豐富的數學意蘊.事實上（1）借助圓中的直角三角形射影定理的“無字證明”，數形結合，彰顯的是跨界思維（見教材人教版必修5）；（2）基本不等式公式是齊次式的一種放縮關系，是透過表象直達本質的一種深刻性思維的表現，由此產生“等冪轉化”求最值，如，設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是_______（解法：通過平方(2x+y)2=…達到齊次的目的，即等次冪轉化法）；（3）要從兩數之和的算術均值大等于這兩個數的幾何均值，從兩數到兩式是公式的一種升華，生發于發散思維，如，設x>0，函數y=x+的最小值是_____，通過換元t=x+是一種轉化思維的應用，起到四兩撥千斤的作用；（4）從二元到n 元，即b+的最小值的求解就會舉步維艱，不易想到b+=(b-a) -a+≥3…在解題過程中的變式教學，一題多變、一題多解、多解同質等不只是一種簡單的記憶喚醒和強化、一種技能的“肌肉”訓練、一種題型的范式再現，而是充滿觀察、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、聯想等一系列豐富的和高層次的心智活動和思考能力的過程，應當是一次次思維拔節成長的歷練，是數學素養熏陶和數學意識自覺自醒的提升過程.

三、深度學習：彰顯高階思維的張力

高中數學新課程提出要通過數學學習逐步形成有數學特征的關鍵能力、必備品格與價值觀念，促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，數學在形成人的理性思維、科學精神，促進人的智力發展中發揮著不可替代的作用.蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處.都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者.從“記憶”“理解”與“應用”的低階思維的累積與發展必然呼喚和催生“分析”“評價”和“創造”的高階思維，從知識教學、解題教學、應試教學走向問題教學，走向核心素養，進而走向深度學習，使數學知識、方法和價值觀真正與學生內部心理認知體驗有機結合起來.近年來，應試教育廣受詬病，大量重復訓練、機械灌輸的教學方式造成的慣性思維、定勢思維、惰性思維的弊端比比皆是，考場上是學霸，能力卻很低，缺乏發現思維、創新思維和批判精神和思考能力，缺乏可持續發展的學習力，缺乏適應未來發展所需要的學習力和創新力.

“教育的本質是成長和解放”“人因思想而偉大”，深度教學強調“以人為本”，關注高中生對理性精神、自主探究的心智訴求，將教育目標中的學生個體意義凸顯出來，通過思維的高度參與和批判性思辨來激發學生內在的思維能量，打破從教材到教輔，從解題到考題的邊界，追求學生對知識的深度體驗、深度理解、深度探究，從而促進高階思維在學生內心深處“扎根”“生長”，讓學習上升為學習成長和發現探索的過程.

近年來，高考試題設置新穎的問題情境（如：維納斯、金字塔，太極圖，新冠病毒防治等），到數學知識產生諸多的新概念、新問題（如準周期、等和數列、部分奇函數等），以及開設的高中數學研究性學習，等等，著眼于讓數學學習不再是簡單的知識積累和遞進，更強化的是知識的轉化和思維的裂變與升華，從傳統簡單的知識“復制”走向思辨和發現創新，走向探究與發現，從單一的“窄化”知識走向“寬度”的自主探究和學以致用.在教學中要有意識地留出時間讓學生思考，體驗和探究，以慢時間換取思維的“大空間”.例如，有一次在復習基本不等式時，筆者講評問題：已知曲線=1 上任意一點P(x,y)，則點P 到原點的最小距離為____，從到x+y再到x2+y2是“基本不等式鏈”求解的一條明晰的“路線圖”，也是熟悉的解題套路……講評完畢，突然有位學生換個角度思考，提出二元變量關系本質是曲線性質的一種表征，可以在同一坐標系觀察、想象曲線簇x2+y2=1,x+=1 的演變過程，合情推理它們的規律應該從凸到平再到凹的漸變過程，根據圖象特征只要求出y=x與=1 的交點為，因 此“一花引來萬花開”，話音剛落，另一位學生提出，根據對這簇曲線的漸變趨勢觀察，是否可以合情推理出得出圓角正方形的方程為x20+y20=1(n∈N*)，它的一般形式為x2n+y2n=1(n∈N*)，……此類“節外生枝”的案例在教學中比比皆是.在課外開展的校本研究性學習更是學以致用、深度學習和自主探索的新型學習方式，學生研修了的諸多小微課題（如：《窗戶的面積與采光量的問題》《數列在銀行利率計算中的應用》《病毒檢測中逐份檢驗與混合檢驗的選擇及其概率原理》等，表明這種學習方式是倡導學生自我深度學習的一種新模式，學生學在當下，自主探究，發現創新，是促進思維生發、生長和發展的有效途徑，也是一個學會學習、學會轉化，學會遷移、學會創新的自主發展的有效方式.

高階思維不是高難度、高技巧、快進度的“高大上”代名詞，也不是簡單地追求某種“達標”的一時之舉，也不是一種應景的時尚熱詞，它不局限于一種知識、技巧和方法的獲得，更專注培養一種“自成長”的思維方法和學習智慧，同時它不能一蹴而就，而應該像“熏鍋底”一樣是一個慢成長的過程.同時，高階思維不是一成不變的，低階思維到高階思維是一個不斷更迭換代的變遷過程，學習中的每一次的挑戰、每一種探索和每一次的跨越都需要思維的不斷解法、不斷更新、不斷超越，這樣才有思維的生命力和生長力，真正實現“知而獲智，智而遠達”，登臨學習的“智”高點.