構造等比型數列求遞推數列的通項

王洪信

(甘肅省合水縣第一中學 745400)

解決遞推數列問題，求出通項是關鍵.而求遞推數列的通項，方法多樣靈活，不易掌握.本文就幾類常見的遞推數列，總結出一種統一的方法——用待定系數來構造出等比數列.這種方法簡便，易于掌握，實用性強.下面分類說明.

一、an+1=pan+q(p、q為常數，p≠1,q≠0)型

這是最常見的一階遞推數列.用待定系數法，設遞推式可化成等比數列的形式：

an+1+x=p(an+x),整理成an+1=pan+(p-1)x.

例1 (見2014年課標Ⅱ卷17題)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1，求數列{an}的通項公式.

解設遞推式可化成等比型數列an+1+x=3(an+x)，即an+1=3an+2x.

例2 (見課標教科書數學5P35)設a1=1,an=2an-1+1(n>1),求通項an.

略解設遞推式可化為an+x=2(an-1+x),即an=2an-1+x,與原遞推式比較系數，得x=1.可知{an+1}是公比為2，首項為a1+1=2的等比數列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.

二、an+1=pan+f(n)(常數p≠1)型

其中的f(n)是我們熟知的數列，如等差數列、等比數列等.

1.{f(n)}是等差數列，即f(n)=An+B.

此時設遞推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x(n+1)y=p(an+xn+y),即

an+1=pan+(p-1)xn+(p-1)y-x.

例3 設a1=1,an+1=2an+2n+1,求an.

解設遞推可化為an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),即an+1=2an+xn+(y-x).

可見{an+2n+3}是公比為2，首項為a1+2+3=6的等比數列，故

an+2n+3=6×2n-1,得an=3×2n-2n-3.

2.{f(n)}是等比數列，即f(n)=rqn.

設遞推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p(an+xqn),即an+1=pan+x(p-q)qn.

與原遞推式比較系數有x(p-q)=r,解出x，從而知{an+xqn}是公比為p的等比數列.

例4 設a1=1,an+1=3an+2n,求an.

解設遞推式可化為an+1+x2n+1=3(an+x2n),即an+1=3an+x2n.

與原遞推式比較系數，得x=1.故{an+2n}是公比為3，首項為a1+2=3的等比數列，所以

an+2n=3×3n-1,得an=3n-2n.

點評從上述兩例可以看出，當f(n)是關于n的一次式(即等差數列)，那么設出的待定式也是一次式(如xn+y);當f(n)是關于n的指數式(即等比數列)，那么設出的待定式也是指數式(如xqn).簡言之，設出與f(n)同型的待定式.

三、an+2=pan+1+qan(常數pq≠0)型

這是二階遞推數列，用待定系數法，設遞推式可化成等比數列的形式：

an+2+yan+1=x(an+1+yan),即an+2=(x-y)an+1+xyan.

例5 (見課標教科書數學必修5 P696題)設a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，求an.

解設遞推式可化成等比數列形式

an+yan-1=x(an-1+yan-2),即an=(x-y)an-1+xyan-2.

由an+an-1=3(an-1+an-2)(n≥3)，可知數列{an+1+an}是公比為3，首項是a2+a1=7的等比數列，故an+1+an=7×3n-1①.

又由an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3)，知數列{an+1-3an}是公比為-1，首項為a2-3a1=-13的等比數列，故an+1-3an=-13×(-1)n-1②.

例6 (見2009年全國卷Ⅱ第19題)設數列{an}前n項和為Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2，求數列{an}的通項公式.

解由a1+a2=S2=4a1+2,得a2=5.

由an+2=Sn+2-Sn+1,可得an+2=4an+1-4an.

設上式可化為an+2+xan+1=y(an+1+xan)，即an+2=(y-x)an+1+xyan.

所以有an+2-2an+1=2(an+1-2an)，知{an+1-2an}是公比為2的等比數列，它的首項是a2-2a1=3,所以an+1-2an=3×2n-1.

點評本例由待定系數的方程組只得一組解，雖然只能得到一個含有an+1與an的關系式，無法解得an，但這個關系式可轉化成等差數列的問題，可方便地求出an.