郭 婧 李 強
(1.山東省青島西海岸新區第一高級中學 266510;2.山東省青島大學 266000)
求離心率或離心率范圍是日常教學的重點和難點,這也是高考中的必考題型.我們一定見過這道題目:
如圖1,在桌面上有一點A1,它正上方有一個光源A,將半徑為2的球放置在桌面上,使得AA1與球相切,AA1=6,光線照在球上,會在桌面上產生投影,請問投影是什么形狀?離心率是多少?
事實上,這道題的解答可以回歸到橢圓的來源——平面與圓錐曲線的截線上去.
追根溯源:人教A版選修2-1在第二章章頭圖中,如圖2,形象地展示了從不同的角度截圓錐面可以得到橢圓、雙曲線、拋物線三種不同的曲線,因此這三種曲線被稱為圓錐曲線.但這種聯系在后面給出圓錐曲線的兩種定義中,均未體現,直到42頁的“探究與發現”,教材提出Dandelin雙球,利用切線長相等,證明了圓錐被一個平面截得的截口曲線是橢圓的結論.本文將主要研究這個橢圓的離心率如何求解,下面圖3展示的就是Dandelin雙球.
如圖3,設平面π′與小球相切于點F1,與大球相切于點F2,兩球與圓錐的交線分別為S1和S2,平面π和δ分別過S1和S2,π′和π交于直線m,π′和δ交線為m,連接點P和圓錐頂點O,與S1和S2分別交于Q1和Q2.P是平面π′與圓錐的截線上任取的一點,連接PF1,PF2.利用切線長相等,可以得到PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值,從而截口曲線是橢圓.
在Rt△APB中,PB=PAcosβ.
在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα.
結論1:在空間中,已知圓錐O是由l′圍繞l旋轉得到的,我們把l稱為軸.用平面π截圓錐,得到的截口曲線取決于平面與圓錐軸l所成的線面角β(顯然,當π與l平行時,β=0),具體關系如下:
如圖5,AD、BC為圓柱母線,EF為圓柱斜截面橢圓的長軸,設EF與母線所成銳角為β,過E作EG∥CD,則EG為圓柱的底面直徑,亦即橢圓的短軸長.從而得到平面截圓柱所得橢圓的離心率e=cosβ,β即為截面和圓柱的軸的交角.
綜合結論1和結論2,平面截圓錐所得橢圓的扁平程度不同,從而離心率不同.當圓錐軸截面頂角一定時,離心率由圓錐母線與截面所成角來確定;平面截圓柱所得橢圓離心率的大小,由圓柱母線與截面所成角唯一確定.這兩個結論的獲得亦可通過建系,借助于向量的數量積得證,同時可以進一步得到圓錐曲線的方程.
俗話說“萬變不離其宗”,盡管高考題目一直在推陳出新,千變萬化,不可預測,但它的根只有一個——教材.我們只有緊緊抓住這個根,才能在高考中出奇制勝,處變不驚.實際上,在教材中每一章章尾都設置了“探究與發現”、“信息技術與應用”、“閱讀與思考”等欄目,目的就是希望增長學生見識,拓寬學生視野,了解知識的產生背景和本源,知其然并知其所以然,同時也增強了學生學習數學的興趣,了解數學來源于生活并服務于生活,樹立“數學是有用的”意識.從高考的角度,高考命題也來源于此.這就要求教師在任何時候都不能脫離課本,必須回歸教材,以本為本,對課本資源進行深度挖掘、鉆研,多琢磨、多整合,善于一題多解和多題一解.