基于改進BBO算法的分數階PID控制器設計

吳正平　尹凡　汪昊

摘? ?要：針對分數階PID（Fractional-Order Proportional-Integral-Derivative，FOPID）控制器參數整定，提出了一種改進生物地理學優化（Biogeography-Based Optimization，BBO）算法。該算法改進點主要包括：遷移操作中保留精英個體;變異操作中引入差分進化（Dtferential Evolution，ED）算法的變異策略;消除重復樣本。仿真結果表明：在分數階PID控制器參數整定中，與原始的BBO算法、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）和粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）比較，提出的改進BBO算法具有超調量小、誤差小，收斂更快的特點。

關鍵詞：分數階PID控制器;參數整定;生物地理學優化算法;差分進化算法

中圖分類號：TP273;TP301.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

Design of Fractional-order PID Controller Based

on Improved BBO Algorithm

WU Zheng-ping1，YIN Fan1？覮，WANG Hao2

（1. China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China;

2. State Grid Hubei DC Inspection and Transportation Company，Wuhan，Hubei 430050，China ）

Abstract：An improved Biogeography-Based Optimization（BBO） algorithm is proposed for parameters tuning? of fractional-order proportional-integral-derivative（FOPID） controller. The main improvement points of this algorithm include： retaining elite individuals in migration operation; introducing mutation strategy of differential evolution（DE） algorithm into mutation operation; eliminating duplicate samples. The simulation results show that compared with the original BBO algorithm，genetic algorithm（GA） and particle swarm optimization（PSO） algorithm，Improved BBO algorithm proposed in this paper has the characteristics of small overshoot，small error and faster convergence in parameter tuning of fractional order PID controller.

Key words：fractional-order PID controller;parameter tuning;BBO algorithm;DE algorithm

近年來，由于大量的實際控制系統可以用分數階微分方程來表示，一些研究學者對分數階控制器給予了極大的關注[1]。對比傳統的PID控制器，分數階PID控制器增加了兩個可調節參數，使得控制器調節的范圍增加，系統的穩定性和魯棒性能夠得到更好的控制。

由于附加的兩個參數使得控制器參數優化變得更加復雜，國內外圍繞FOPID控制器參數整定進行了大量研究。Bingul等人在文獻[2]中使用粒子群算法（PSO）和人工蜂群算法（ABC）對FOPID控制器進行參數整定，仿真結果表明人工蜂群算法優化的分數階控制器魯棒性更好，在各種評價函數下展現出更良好的優越性。文獻[3]提出了一種基于無人機滾轉角控制的改進平面相位裕度的FOPID控制器設計方法。文獻[4]在粒子群優化算法的變異操作中加入加速度因子，改進的MPSO算法可以有效地整定FOPID控制器參數。文獻[5] [6]中，高嵩和金滔等人均對粒子群算法的慣性權重系數的改進，改進后算法優化FOPID的參數較PSO算法具有更高的收斂速度和精度。文獻[7]提出將變異算子F和交叉算子CR進行自適應調整，提高了差分進化算法的參數優化速率和收斂性能，優化后的伺服系統具有良好的動態響應。楊博等人引入最優無源分數階PID控制機制，采用改進的群灰狼優化算法優化控制器參數，提高了控制器的控制精度[8]。

給出了一種改進的生物地理學優化算法來優化FOPID控制器參數。將該算法與其他智能算法進行了仿真對比分析，仿真結果表明，該FOPID控制器的控制效果具有收斂速度快、誤差小的特點。

1? ?分數階PID控制器設計

1.1? ?分數階微積分

對于給定函數f（t）， Grünwald-Letnikov定義的分數階導數公式為：

（1）

式中，α為導數階次，區間[a，t]為積分上下限，h為步長，[（t - t0）/h]表示取整。由Gamma函數可知二項式系數：

1.2 控制器設計

分數階PIλDμ控制器由斯洛伐克學者Podlubny教授在1999年提出[9]，其典型控制器Gc（s）表達式如下：

相比傳統的PID控制器，分數階PID控制器增加了兩個可調參數λ和μ，λ為控制器積分項指數，μ為微分項指數，且0 < λ，μ < 2?？刂破髡▍稻S度增加到5個，其形式更加靈活，相對傳統PID控制器控制效果更好，同時增加了參數整定的復雜性。

圖1? ?分數階PID單位負反饋系統模型

對于FOPID控制器的設計，其中不確定參數 Kp，Ki，Kd，λ，μ的整定是關鍵。

2? ?分數階PID參數整定

2.1? ?生物地理學優化算法

生物地理學優化（BBO）算法是在粒子群算法（PSO）[10-11]、遺傳算法（GA）[12]基礎上發展起來的，由美國學者Dan Simon最先提出[13]。生物種群棲息地的地理區域具有較高的適宜度指數（Habitat suitability index，HSI），影響其大小的因素稱為適應性指數變量（Suitability index variable，SIV）。與所有進化算法相似，生物地理學優化算法的兩個主要步驟是：遷移和變異。

（1）遷移操作

BBO算法的遷移操作指的是通過不同群體之間的遷入和遷出操作進行信息共享。棲息地物種數量的大小會影響種群數量的遷入率和遷出率。物種遷入遷出的數學模型主要有線性、二次、余弦和指數等四種模型。由于余弦模型更符合自然界的客觀規律，使得算法性能更優越，所以本文選擇了余弦遷移模型[14]。

圖2? ?物種遷移余弦模型

物種遷移余弦模型如圖2所示，I為最大物種遷入率，E為最大物種遷出率，S0為平衡態時的物種數。當遷入率為零時，棲息地能容納的最大物種數為Smax。遷入率λi和遷出率μi（i = 1，2，…，n）的表達式如式（4）：

λi = I/2 × [cos（πSi /Smax） + 1]μi = E/2 × [-cos（πSi /Smax） + 1]? ? ? ?（4）

（2）變異操作

突發事件的出現可能會改變棲息地的種群數量變化，BBO算法定義為變異，變異操作可以提高棲息地的HSI。 表示種群規模， 表示種群數量為 時的概率， 滿足如條件式（5）：

Pi′=-（λi + μi）Pi + μi+1Pi+1，i = 0-（λi + μi）Pi +λi-1Pi-1+ μi+1Pi+1，1≤i≤N-（λi + μi）Pi +λi-1Pi-1，i = N? （5）

BBO算法對應種群中每個解HSI的變異率 與物種數量概率 成反比：

gi = gmax（1 - Pi /Pmax），i = 1，2，…，n? ? （6）

式中，gmax為最大突變率，Pmax指棲息地最大物種數量概率。這種突變模式會增加種群的多樣性，使低HSI的解決方案可能發生突變，可以提高算法的有效性。

2.2? ?改進BBO優化方法

BBO算法在迭代后期階段會出現收斂速度變慢，動力不足的現象，故對該算法進行如下改進。

（1）保留精英個體

在使用遷移算子之前選出適應度最大的個體，直接傳遞給下一代，這樣避免遷移算子破壞其優良性，加快算法收斂的速度。

（2）消除重復樣本

算法在迭代的過程中隨機出現的重復個體需要進行重復運算，延長了迭代的時間。IBBO算法進行了消除重復樣本的操作，增強了種群多樣性。

（3）差分進化變異策略

采用差分進化算法的變異策略，在IBBO算法的變異操作中加入縮放因子F，使算法的尋優能力增強。具體而言，本文選取文獻[15]中的DE/best/2變異策略，在第g次迭代中，從種群中隨機選取4個種群個體Xp1（g）、Xp2（g）、Xp3（g）、Xp4（g），且種群關系滿足p1≠p2≠p3≠p4≠i，Xbest（g） 則是其中最優的個體。生成的變異向量如式（7）所示。

Vi（g）=Xbest（g）+F（Xp1（g）-Xp2（g））+

F（Xp3（g）-Xp4（g）），（0≤F≤2）? ? ?（7）

2.3? ?改進BBO算法步驟

通過對基本的BBO算法的改進得到IBBODE，圖3所示為IBBODE算法的流程圖，其主要步驟如下：

（1）初始化基本參數，這些參數主要包括：最大遷入率I，最大遷出率E，最大物種數為Smax，待求參數取值范圍，棲息地數量N，遷移概率Pmodify，變異概率Pmutate。在此基礎上計算適應度指數變量SIV。

（2）計算評價指標：計算并排序物種適應度指數HSI。

（3）遷移操作：進化開始，選取精英個體，計算棲息地遷入率、遷出率，進行遷移操作。

（4）變異操作：選擇DE變異策略進行變異操作。

（5）終止條件：判斷是否達到迭代次數，若是，則轉到（6）;反之，轉到步驟（2）。

（6）輸出結果：輸出優化參數向量和最優適應度指數值。

圖3? ?IBBODE算法的流程圖

3? ?仿真實例研究

假設被控對象為二階系統，其傳遞函數為：

G0 = ■? ? （8）

選取ITAE性能準則作為目標函數F（x），其定義如下：

F（x） = min（s）? ? ? ?（9）

ITAE ： s = ■te（t）dt? ? ? ?（10）

FOPID整定參數為Kp，Ki，Kd，λ，μ，其取值范圍定義為：

0≤Kp，Ki，Kd≤100≤λ，μ≤2? ? ?（11）

仿真條件為：對于改進BBO、GA、PSO三種算法，種群大小均取為60，為了便于比較，設最大迭代次數為50。對于GA，取交叉概率Pc為0.9;對于PSO，學習因子c1、c2為1.5，慣性權重Weight取為0.8;對于BBO，遷移概率Pmodify設為1，變異概率Pmutate設為0.05，精英個數取2，個體的最小遷入率lambdaL為0，最大遷入率lambdaU為1，步長dt為1，每個棲息地的最大遷入率I和最大遷出率E均為1; 對于IBBODE，取差分縮放因子F為0.6，變異概率C為0.2。

仿真結束，圖4（a）、4（b）分別為不同優化算法下，系統的響應曲線和誤差曲線，性能指標如表1所示。

綜合圖4（a）和圖4（b）和表1可以看出，在分數階PID參數尋優的過程中，GA和PSO算法超調較大，有明顯的局部收斂;在算法迭代過程中，IBBODE算法的最小誤差最小，說明其HSI最優。由表2可知，IBBODE算法的調節時間最短，說明系統更快速地達到了穩定。對比BBO和IBBO，IBBODE算法在快速性和穩定性都表現得更優越。

time（s）

圖4（a）? ?不同優化算法的單位階躍響應曲線

進化次數

圖4（b）? ?不同優化算法最小誤差迭代過程曲線

4? ?結? ?論

針對分數階PID控制器參數整定問題，提出了使用改進生物地理學優化算法IBBODE來進行參數整定的方案。相比其他算法，本算法有如下改進優點：①在原有BBO算法的遷移策略中保留了精英個體;②消除重復樣本的操作保證了種群多樣性;③變異操作中使用了差分進化算法的變異策略，其縮放因子避免了算法陷入局部最優，提高了尋優速度。

通過仿真分析，改進的BBO算法與BBO算法、GA算法和PSO算法相比，在分數階PID控制器參數整定時，所設計的控制器具有更快的收斂速度和更高的收斂精度。

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