小推力航天器的地球—火星轉移軌道混合設計方法

彭坤 曾豪 田林 侯振東

小推力航天器的地球—火星轉移軌道混合設計方法

彭坤 曾豪 田林 侯振東

（中國空間技術研究院載人航天總體部，北京 100094）

小推力航天器由于其推進系統的高比沖特性，變軌過程可節省大量推進劑，可用于未來火星探測的地球—火星軌道轉移任務中。文章提出一種混合設計方法對小推力航天器的地球到火星的轉移軌道優化問題進行求解。根據極大值原理確定小推力發動機的最優控制律，舍棄橫截條件，將終端狀態量誤差和終端質量作為評價指標，采用人工免疫算法對伴隨變量和飛行時間進行尋優；混合法、間接法和直接法求解結果表明，混合法比直接法的尋優時間縮短33%，推進劑消耗相當；混合法與間接法在推進劑消耗和狀態量方面一致性好，表明混合法的結果接近最優。

地球—火星轉移軌道 小推力 混合法 人工免疫算法 火星探測

0 引言

在太陽系內，火星與地球相似度最高且距離較近，是進行載人星際探測的首選目標天體。自20世紀60年代起，人類就開始發射無人探測器對火星進行研究[1]，并開展載人火星航行先期技術研究[2]和后續載人火星探測任務規劃[3]，以最終實現載人火星探測和駐留?；鹦翘綔y任務中的一個關鍵環節是地球—火星轉移軌道設計，若采用高比沖的小推力推進系統則可大幅減少推進劑消耗，從而降低運載火箭的發射質量[4-5]。

小推力航天器的地火轉移軌道設計的重點是求解最優控制問題，按照使用極大值原理的程度可分為間接法、直接法及混合法[6-7]。間接法是利用極大值原理，引入哈密頓函數和伴隨變量，將最優控制問題轉化為兩點邊值問題，并采用打靶法對伴隨變量初值進行求解，通過求解伴隨變量從而得到最優小推力轉移軌道[8-9]。間接法初值難以估計，收斂半徑較小。直接法[10]是利用配點法和模擬函數法等方法對最優控制問題的狀態變量和控制變量直接進行離散化，將最優控制問題轉化為非線性規劃問題，并采用SOCS算法[11]、偽光譜法[12]、SQP方法[13]、遺傳算法[14]、人工免疫算法[15]以及Ordinal Optimization方法[16]對非線性規劃問題進行求解。直接法對初值不敏感，但計算量隨計算精度提高而大幅增加，且不嚴格保證其求解結果的最優性?；旌戏╗17-18]是將間接法和直接法結合起來，保留間接法的最優控制律，采用多重打靶法[19]和SQP方法[20]對伴隨變量初值進行尋優，從而得到最優小推力地火轉移軌道?；旌戏ㄓ嬎懔勘戎苯臃ㄐ?，收斂性比間接法好。

本文根據地球和火星的軌道特性建立歸一化的二維極坐標動力學模型，由極大值原理確定小推力發動機的最優控制律，將伴隨變量和飛行時間作為待優化變量，采用終端質量和終端狀態量誤差作為評價指標，形成小推力地球—火星轉移軌道混合法優化模型，并采用智能優化算法——引導型人工免疫算法（Guiding Artificial Immune Algorithm，GAIA）進行優化求解。并將混合法求解結果與直接法和間接法進行比對，驗證混合法求解結果的最優性及其尋優性能。

1 系統模型

地球和火星繞太陽旋轉的軌道均為近圓軌道且軌道面相近，可簡化為共面圓軌道。在二維極坐標系下描述小推力航天器的地火轉移過程，期間忽略地球和火星引力攝動，并以小推力航天器從地球出發時刻的日心距0和質量0作為參考量，建立地球—火星轉移軌道的歸一化動力學方程[15]（物理量上方橫線表示歸一化）

最大則表示推進劑消耗最小，即為最優地球—火星轉移軌道。

2 最優控制律

3 混合優化模型

3.1 待優化變量

3.2 狀態方程

3.3 評價函數

將地球—火星轉移軌道的終端約束作為罰函數的形式加入評價指標aff中，如式（10）[15]所示

3.4 優化算法

建立混合優化模型后，需要選取優化算法對其進行求解。由于待優化變量中存在伴隨變量初值，仍存在一定敏感性，若采用非線性規劃算法則收斂性較差。本文采用智能優化算法——人工免疫算法[15]對優化模型進行求解，增加尋優過程的收斂性。

人工免疫算法是模擬生物免疫系統智能行為而提出的仿生算法，抗體對應待優化變量。其特點是通過激勵度計算綜合評價抗體親和度和濃度，并采用種群刷新操作引入新的抗體替換激勵度低的抗體，保持抗體多樣性，防止陷于局部最優。此外，該算法通過引導型免疫操作快速搜索次優解附近區域，提高局部收斂速度。該算法步驟如下：

1）進行抗原識別，定義親和度評價函數；2）設置種群中抗體個數，并根據抗體的范圍限制隨機產生一個初始種群；3）計算抗體的親和度；4）判斷是否滿足算法終止條件，如果滿足，則終止尋優并輸出計算結果，否則繼續尋優計算；5）計算抗體的濃度，并進一步計算激勵度；6）進行免疫處理，包括免疫選擇、克隆、變異和克隆抑制；7）進行種群刷新，并轉至第3）步。

4 仿真分析

采用GAIA混合法進行10次搜索，9次收斂最優值，1次收斂到最優值附近。將混合法搜索到的最優結果與間接法和GAIA直接法結果[15]進行對比，如表1和圖1~圖4所示。

表1 間接法、直接法和混合法的尋優結果

Tab.1 Optimization results obtained by indirect, direct and hybrid method

圖1為GAIA混合法求得的最優小推力地球—火星轉移軌道在日心黃道慣性系中的軌跡示意。軸指向春分點方向，軸指向地球公轉軌道角動量方向，軸由右手定則確定。圖1中紫色箭頭為軌道轉移過程中推力方向。由圖1可知，小推力航天器先沿著徑向正向加速，后沿著徑向負向加速，直到航天器到達火星軌道。整個飛行過程耗時215.269天，推進劑消耗為初始質量的31.194%。

將GAIA混合法的歸一化結果轉化到真實模型，并與GAIA直接法和間接法的結果進行對比。圖2為三種方法的狀態變量曲線對比。由圖2可看出，GAIA混合法求得的4個狀態變量曲線與間接法曲線完全重合，證明了其理論最優性。而GAIA直接法的徑向速度和橫向速度曲線與間接法均有一定偏差，說明其不是理論最優解。圖3為三種方法的推力方向角曲線。由圖3可知，GAIA混合法由于采用最優控制律，與間接法曲線完全重合；而GAIA直接法由于多項式函數無法完全擬合最優控制律而造成一定偏差，這也造成了其所求解不是理論最優解。

圖1 小推力航天器最優地球–火星轉移軌道飛行軌跡

圖2 間接法、GAIA直接法和GAIA混合法的狀態變量變化曲線

圖3 間接法、GAIA直接法和GAIA混合法的推力方向角變化曲線

圖4 間接法和GAIA混合法的歸一化伴隨變量變化曲線

5 結束語

本文針對小推力航天器地球—火星軌道轉移過程建立一套混合優化模型，并采用人工免疫算法進行求解，得到了最優小推力地球—火星轉移軌道。該混合設計方法比直接法尋優速度快，其單次尋優時間比直接法縮短33%；同時其尋優結果比直接法更優，推進劑消耗比直接法少1.5%。此外，該混合設計方法的狀態變量、推力方向角和終端質量與間接法幾乎相同，證明了其尋優結果的理論最優性；同時，伴隨變量初值不同不影響混合設計方法的尋優正確性，且采用隨機優化算法進行優化，有效降低了初值敏感性，收斂性比間接法更好。

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Hybrid Design Method of Earth-Mars Transfer Trajectory for Low-thrust Spacecraft

PENG Kun ZENG Hao TIAN Lin HOU Zhendong

（Institute of Manned Space System Engineering, China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China）

Due to the high specific impulse of the propulsion system, low-thrust spacecraft can save a lot of propellant in orbit maneuvers, which can be used in the Earth-Mars orbit transfer in the future Mars exploration. A hybrid design method is proposed to optimize Earth-Mars transfer trajectory for low-thrust spacecraft in this paper. Optimal control law of low-thrust engine is determined via maximum principle, the transversality condition is abandoned, the terminal state variables errors and terminal mass are chosen as evaluation index, and artificial immune algorithm is applied to optimize the adjoint variables and flight time. The solving results of hybrid method, indirect method and direct method show that the optimization time of the hybrid method is 33% shorter than direct method, and the propellant consumptions of the hybrid method and direct method are almost the same. Furthermore, the propellant consumption and state variables of hybrid method are well consistent with the indirect method, which proves the solving results of hybrid method is very close to the optimal solution.

Earth-Mars transfer trajectory; low-thrust; hybrid method; artificial immune algorithm; Mars exploration

V412.4

A

1009-8518(2020)01-0010-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2020.01.002

2019-12-11

載人航天預先研究項目（010201）；中國空間技術研究院杰出青年人才計劃

彭坤, 曾豪, 田林, 等. 小推力航天器的地球—火星轉移軌道混合設計方法[J]. 航天返回與遙感, 2020, 41(1): 10-17.

PENG Kun, ZENG Hao, TIAN Lin, et al. Hybrid Design Method of Earth-Mars Transfer Trajectory for Low-thrust Spacecraft[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2020, 41(1): 10-17. (in Chinese)

彭坤，男，1984年生，2010年獲北京航空航天大學飛行器設計專業博士學位，高級工程師。研究方向為航天器總體設計、任務規劃與軌道設計優化。E-mail：bhkpeng@126.com。

（編輯：王麗霞）