再談“弧度制”教學

石志群

筆者在1994 年曾經寫過一篇關于“弧度制”教學的文章，提出了一個弧度制教學的建議，現在想來，還是存在一些問題，而且是比較重要的問題。下面是筆者經過多年的學習和研究后的一點體會。

一、對“角度制”的認識

角度制是一種常用的角的度量制，究其原因，可能與其產生的背景有一定關系。據查相關數學史料，角度制起源于古巴比倫，可能與歷法有關。我國數學史專家李文林認為，取圓周的三百六十分之一弧所對圓心角為角度制的單位（1°）的原因可能是因為“360”的因子較多，便于細分，其中角度制的進位標準“60”就是其因子之一。

應該說，角度制能夠解決與角有關的很多問題，這種制度已經深入我們生活的方方面面，以否定角度制的價值作為引入弧度制的理由是不恰當的。不僅如此，角度制反而是引入弧度時說明其合理性的理論依據，是思維的基礎，并且通過角度制與弧度制的互化，也可以進一步強化學生對弧度制的認識與認同。

二、為什么要引入“弧度制”

首先，作為度量制，本身就應該是豐富多樣的，以適應不同狀態下使用的方便。比如，長度的單位有毫米、厘米、分米、米和公里，這是現實生活中常用的長度單位；而在微觀世界，卻需要納米這樣的長度單位，在天文學中又需要光年作為度量距離的單位。因此，在角的度量方面也需要不同的度量制，以適應不同狀態下的使用便利。事實上，度量角的制度并不是只有角度制和弧度制兩種，比如密位制、百分制都是角的度量制度。

其次，在弧度制下，許多數學結論的結構形式顯得非常簡單，而在角度制下卻比較復雜，而且從推導過程看，前者也比后者要容易得多。比如，在弧度制下，我們有下面的結論：

而在角度制下，對應的關系是

而像sinx，cosx 等三角函數的泰勒展開的級數表示式，角度制下的形式比弧度制的形式更加復雜，推導的難度也更大。

出現上述區別的原因就在于，在兩種不同的度量制下，式子中出現的不同量的量綱的差異。在角度制下，角的量值的進位制為60 進位，圓的半徑、弧長的量值是實數，其進位制為十進位。而“統一”是數學學科的基本審美追求，這也成為引入弧度制的一個重要的依據。

三、“弧度制”的教學定位

“弧度制”作為“三角函數”一章的組成部分，其教學定位取決于它在章節中的功能、目的（價值）。

如果從量綱考慮，這些式子中表示角的大小的α 在角度制下為60 進位，而實數x，y，r 卻以10 進位，不同的進位顯然不利于數學的研究。而作為函數，是在數集之間建立的對應關系，將角度制下的自變量α 作為函數研究必然遇到麻煩。因此，“弧度制”一節內容的教學定位應該是“建立一種角的度量制，將表示角的大小的值‘數量化’（變成十進制）”。

四、“弧度制”的認知難點

“弧度制”經常被一些教師稱為“糊涂制”，就是指學習的認知難度比較大，學生常不知其所以然。筆者經過多年觀察和分析后發現，學生的認知困難主要有以下幾個方面：

一是與已有的度量制的習慣不一致而導致認知困難。長度、質量等度量制是學生比較熟悉的，而這些量的度量體制有一個共同特點，就是用“自己”度量“自己”，即用長度度量長度、用質量度量質量。具體地說，用一個長度作為度量單位，在度量時以其為基礎進行“整除”，對于余數，再用單位的十分之一進行“整除”，……如此下去。角度制盡管不是十進制的，但其仍是用“自己”度量“自己”的定義方式，學生容易理解，但是，弧度制卻是用“長度”度量“角”（單位圓時，即弧長），這是學生第一次接觸到這樣的定義方式，認知有困難是可以理解的。

二是角度制是用一個確定的“單位”（1°的角）進行度量，容量理解，而弧度制中對不同的圓，度量的直觀意義不明顯，學生有一種半徑大小不同，度量的單位就不一樣的感覺，從而覺得弧度制下好像沒有“單位”一樣，由此產生困惑。

三是學生不理解為什么要引進弧度制，因為它的好處（優點）要在學習過微積分等內容后才能體現出來，現在教學中教師通常由弧長與半徑之比只與圓心角的大小有關就直接下定義，學生產生疑問：為什么可以用這個比表示大小就一定要建立一種新的度量制呢？優越性、必要性沒能體現，學生對弧度制有一種不太愿意接受的抗拒心理。

五、怎樣自然地引入“弧度制”

在《從“弧度制”一課談概念課教學原則的實施》一文中，筆者是在復習角度制（角度制的建構方法與過程）的基礎上，由學生熟悉的圓周率發現“圓的周長與半徑之比為常數”，進而推出“周角對應的弧長與圓的半徑之比為常數”的結論，再提出一般性的問題：對一個確定的圓心角，其弧長與半徑之比是否為定值？通過計算可以發現確有此結論，從而為引入弧度制建立了理論基礎。在此基礎上提出問題：能否根據這一性質，建立一種新的度量角的“制度”?，F在想來，這個方案還是沒有解決“為什么要建立弧度制”這個非常重要的問題。

筆者在蘇教版高中數學教材的編寫過程中，受到教材組專家們的啟發，對“三角函數”一章的內容，特別是弧度制這個知識點，得出了上文中的一些認識。在此基礎上，筆者進一步發現：既然三角函數是刻畫周期現象的數學模型，其反映的其實是α，r，x，y 之間的關系，那么現在要解決的問題其實就是如何在“構建刻畫周期現象的數學模型”這個大的框架下，明確弧度制在其中的地位和作用，明確其與三角函數概念建構之間的內在聯系，換言之也就是將與α大小有關的量弧長l 也放到與α，r，x，y 一致的位置，探尋它們之間的關系。這就是蘇教版教材“三角函數”一章章首語的內容：周期現象→圓周上一點P 的運動→點P 的數學刻畫→α，r，l，x，y 之間有著怎樣的關系？由此得到本章的研究路徑：任意角（要能“周而復始”，角的概念就要推廣）→弧度制（α，r，l 之間有著怎樣的關系，角的度量要實數化）→三角函數的概念（α，r，x，y 之間有著怎樣的關系，由α 為銳角時想到了三角函數，從而推廣到任意角的情形，得到刻畫周期現象的數學模型）→這個模型是如何刻畫周期現象的，具有怎樣的性質……

再考察第2 節中所研究的引入弧度制的必要性，抓住兩個關系要素——求簡和求統一，進而設計出本節內容的教學過程。以下為本節課的主體部分，供各位同行參考。

1.問題情境。

師：在章首語中，為了刻畫周期現象，我們選擇了最簡單的原型：圓周上一點的運動。為此我們分別用（r，α）、（r，l）（α，l，r 分別為圓心角的大小、所對弧長、半徑）及（x，y）來刻畫圓周上點的位置（見章首語中圖），并提出了本章初始問題：α，l，r，x，y 之間具有怎樣的關系？

為了刻畫“點P 在圓周上‘周而復始’的運動”，我們對角的概念進行了推廣。今天我們一起來考察r，l 與α 之間具有怎樣的關系。

2.數學建構。

（1）關系分析。

師：這個式子反映了r，l 與α 之間的何種關系？

由學生探求。

（2）建構新知。

由學生根據推導過程發現：系數中的“360”是由角度制的單位的選定所決定的。

（板書：角度制下，關系比較繁）

師：在這個式子中，弧長、半徑都是實數，它們是多少進位制？圓心角α 是多少進位制？

……

師：這說明，在角度制下r，l 與α 之間不僅關系繁，而且進位制也不一樣。

（板書：α 與l，r 的進位制不同）

師：那么，能否建立一種新的角的度量制度，使得r，l 與α 之間的關系顯得更加簡單，而且三個量的進位制又得到統一呢？如何使得關系“簡單”？

師：如果這樣定義，這個角的度量制度的單位是什么？

由學生獨立思考，完成建構。

師：角度和弧度都可以表示角的大小，那么它們之間有著怎樣的關系呢？比如：60°的角是多少弧度呢？1°的角是多少弧度？1 弧度是多少度？-60°是多少弧度？……

（完成弧度制的完整概念）

學生獨立完成后，說明：較角度制，這兩個公式均顯得簡單，弧度制確定起到了化繁為簡的作用。那么：

師：弧度制下，α 與r，l 進位制是否統一？

由學生思考，可以發現，進位制統一了。

師：這里，r，l 分別表示線段與弧的長度，請大家思考一下，是否存在某個特殊的圓，使得圓心角的弧度數也是某線段或弧的長度呢？

教師基于學生的討論，構建圖1。

通過單位圓及圖1，引導學生認識到：角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與弧度數的集合之間建立起一一對應關系，即角的集合與實數集R 之間建立起一一對應關系：每一個角都對應唯一的一個實數；反過來，每一個實數也都對應唯一的一個角。通過圖1，讓學生建立弧度制下的“角”的大小的“實像”——單位圓上對應的弧長——這對克服認知困難有一定的幫助。

上述過程，以“使角的度量值為十進制的實數”為目標，以求簡和求統一的數學審美觀為導向，以學生為建構的主體，將“弧度制”一節的內容置于全章的統一框架下，不僅使本節課的內容構成一個完整有機整體，而且凸顯了單元的整體結構，讓學生從整體中感受到“弧度制”在“三角函數”一章中的奠基作用。