《抽象代數》與大學數學課程

李瀏蘭，周立君

（衡陽師范學院 數學與統計學院，湖南 衡陽 421002）

地方師范院校由于受生源質量、師資水平等各方面條件的限制，數學專業畢業生主要去地方中小學擔任數學教師，所以很多數學專業學生對大學數學課程的重要性認識不夠，抱著應付過關的態度，對每門專業數學課程的學習都是 “蜻蜓點水” 淺嘗輒止，對各門數學課程之間的聯系鮮少思考，這導致學生所學的大學數學知識是零散的，孤立的。但是，數學專業的數學課程是一個完整的體系，互相之間聯系緊密，學生不僅要掌握每門專業課程，更要思考和掌握各門課程之間的聯系，這樣才能真正掌握數學學科的基本理論、基本知識與基本方法，才能運用所學的數學知識解決實際問題。

《抽象代數》被認為是大學數學的新 “三基” 之一，它研究群、環、域等代數體系，是經典代數知識的抽象和深化，具有嚴密的邏輯性和高度的抽象概括性，學生必須跟上教師的授課進度消化每節課的內容并將已學的知識點連貫起來，才能理解后續的教學內容。由于授課學時有限，每節課的授課內容多，教師在課堂上一般按照例子、定義、定理的模式講解，學生被動地接受知識灌輸；很多同學對于該課程的重要性認識不夠，甚至認為該課程 “無用” ，課程內容又抽象難懂，因此學習該課程時不積極主動，甚至有厭學情緒，不僅沒法掌握基本的知識與方法，更談不上利用抽象代數的相關知識和方法解決實際問題。

事實上，抽象代數不僅能培養學生的抽象思維能力，更為解決很多實際問題提供了方法。比如，伽羅瓦在1832 年運用 “群” 的概念徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問題。此外，抽象代數還與其它的數學專業課程聯系緊密，或為其它課程提供了理論基礎，或者其它一些課程可提供抽象代數的具體例子，而抽象代數的相關概念是這些例子的高度抽象，比如高等代數知識為《抽象代數》提供了很多具體的模型[1]。因此，要充分挖掘該課程的重要意義及其與其它數學課程的聯系，利用第二課堂和課堂教學時間見縫插針幫助學生理解、鞏固所學知識。本文將從具體的實例入手，幫助學生充分認識《抽象代數》的重要性，分析《抽象代數》與《復變函數》《實變函數》等課程之間的聯系，進一步理解抽象代數理論。

1 《抽象代數》有助于理解一些普遍規律的意義

1.1 結合律與交換律

眾所周知，通常的整數集、有理數集、實數集、復數集等集合上的加法運算和乘法運算都滿足結合律和交換律；通過學習抽象代數的結合律、交換律等運算規律，學生可知：加（乘）法同時滿足交換律和結合律，使得多個數的連加（乘）有意義且不需要考慮計算順序，這就有了七年級數學教材中的兩段話：（1）有理數的加法滿足交換律與結合律……，這樣，多個有理數相加，可以任意交換加數的位置，也可以先把其中的幾個數相加；（2） 根據乘法結合律與交換律，三個或三個以上的有理數相乘，可以任意交換因數的位置，也可以先把其中的幾個數相乘[2-3]。七年級數學教材先介紹有理數的加（乘）法滿足交換律與結合律，最后再陳述其意義，但是中間沒有任何解釋和說明性的過渡語句，中學數學教師由于自身對抽象代數的學習不深刻，本身并沒真正理解結合律與交換律的意義，所以講解的時候一般都是一句話帶過，學生并不能真正理解結合律與交換律的意義。如果數學專業的學生在學習抽象代數時能很好地掌握結合律和交換律的意義，畢業后走上工作崗位，作為一名中學數學教師就能讓學生不僅 “知其然” ，掌握乘法與加法運算的結合律與交換律，而且能讓學生 “知其所以然” ，理解加（乘）法滿足結合律與交換律的重要意義；接著，當學生接觸有理數的減法或除法時，教師可通過具體例子讓學生知道有理數的減（除）法既不滿足交換律，也不滿足結合律，所以三個或三個以上的有理數的做減（除）法運算必須加括號，括號的位置不同結果也不同，讓學生再次折服結合律與交換律的重要性。

此外，集合的交（并）運算同時滿足交換律和結合律，同理，通過學習抽象代數的交換律與結合律我們可知：多個集合的交（并）有意義且不用考慮運算順序，使得在《實變函數》中引入有限個集合、可數個集合、集族的交（并）自然而合理，在表示有限個集合、可數個集合、集族的交（并）時不需要考慮順序[4]。

1.2 除數不能為零

中小學階段我們學習除法、分數、分式時，要求被除數不能為零，要求分母不能為零，書上和中學數學教師一般都是簡單地說除數（分母）為零沒有意義，很多中學生只是記住這個要求，沒有真正理解它。事實上，抽象代數中關于域的概念要求：所有不為零的元素關于乘法都有逆元，設元素a不為零，則存在a關于乘法的逆元a-1使得aa-1=1。除法中求a÷b=x，實際上是尋找x使得a=bx，如果a≠0,b=0，這是不可能的，因為零元與任何元素相乘為零元；如果a=b=0，則x可為任意元素；綜合上述兩種情形，所以除數不能為零。

1.3 消去律

在中學解方程時，我們一般要對方程進行變形：方程的兩邊都加上（或都減去）同一個數或同一個整式；方程的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數，這樣變形后方程的解保持不變。初中教材是通過利用天平加減砝碼或擴大（縮?。╉来a來讓學生直觀理解。其實，這利用的是加法的消去律和非零數集關于乘法的消去律。通過學習群的知識，我們知道群關于其上的運算滿足消去律，而中學階段涉及的整數集、有理數集、實數集、復數集都關于加法是群，涉及的多項式、整式關于多項式的加法也構成群，所以關于加法滿足消去律：等式兩邊同時加上一個數（整式），所得結果還是等式；減去一個數實際上是加上這個數（整式）關于加法的逆元，所以還是加上一個數（整式），所得結果仍然是等式。但是，含有零元的數集并不是群，有理數集、實數集、復數集等集合去掉零后關于乘法才是群，才能滿足消去律，所以在方程兩邊乘以（除以）不為零的數，方程的解才能不變。值得注意的是：這個地方并沒有提及乘以或除以一個不為零的整式，這是由于多項式集合構成環，但不構成域。

在高等代數中，n×n階實矩陣組成的集合Mn(R)關于矩陣的加法構成群，關于矩陣的加法和乘法構成環，但由于有些n×n階實矩陣關于矩陣乘法沒有逆矩陣，所以Mn(R)中的非零矩陣組成的集合關于矩陣乘法不構成群，這就造成矩陣關于乘法不滿足消去律。如果我們只考慮Mn(R)中的可逆矩陣構成的集合，則該集合關于矩陣乘法構成群，所以可利用矩陣乘法解多元線性方程組：只要系數矩陣可逆，則線性方程組Ax=b的解就為x=A-1b, 其中A為n×n階可逆實矩陣，x和b是n維列向量，這就是利用可逆矩陣集合關于乘法的消去律在方程的兩邊同時乘以A-1[5-6]。

2 《抽象代數》讓我們理解數域的概念

高等代數的很多概念都建立在數域上，比如，定義在實數域上的線性空間，定義在復數域上的線性空間，但從沒有說建立在整數域上的線性空間。學習了抽象代數域的概念，我們才能知道：非零整數集關于乘法運算沒有逆元，所以整數集關于加法和乘法運算不是一個域，但有理數集、實數集關于加法和乘法運算構成域，從而我們能說有理數域、實數域，但不能說整數域。

我們在學習《復變函數》[7]時，首先學習的就是復數的概念與計算，通過學習《抽象代數》的群、環、域等概念，結合復數的運算知識我們可以很快理解：復數集合C 關于復數的加法和乘法構成域。因為C 關于復數的加法滿足封閉性、結合律和交換律， 0 是關于加法運算的單位元，每個復數z 關于加法的逆元是-z ，所以C 關于復數的加法是一個交換群；C 關于復數的乘法滿足結合律和交換律，1 是關于乘法運算的單位元，每個非零復數關于乘法有逆元；復數的加法運算和乘法運算滿足分配率，所以復數集合C 關于復數的加法和乘法構成域，俗稱復數域，所以我們也可以說復數域。

3 其它課程中一些《抽象代數》的模型和例子

《抽象代數》的概念是現實中相關模型的高度抽象和概括，除了教材中的例子，其它數學專業課程中也有很多例子，我們在學習其它課程時碰上這些例子，可以稍微講解，幫助學生再次回顧相關的《抽象代數》概念，鞏固所學的知識，也是所學知識的簡單運用。

3.1 《實變函數》中的交換群

我們采用的《實變函數》 教材是《實變函數》[4]，該書的第一節是 “集合及其運算” ，該節介紹了集族和集合的對稱差等概念，比如一個非空集合X 的所有子集就構成X上的一個集族F ，則F 關于集合的對稱差運算構成交換群：

（1） 顯然集族F 關于集合的對稱差運算封閉，即對任意的A，B ∈F , A 與B 的對稱差為

（2）集合的對稱差滿足結合律，參見《近世代數基礎》[2]中課后習題第4 題。

（3）空集是單位元，即對任意的A ∈F ，

（4）對任意的A ∈F ，它的逆元是它本身，即

（5）集合的對稱差滿足交換律。

3.2 《實變函數》中的 “等價關系” 模型

《義務教育教科書（數學）》[3]中的定理表明：集合的等價滿足（1）自反性，即任一個集合都與其自身等價。

（2）對稱性，即集合A 與B 等價，則B 與A等價。

（3）傳遞性，即集合A 與B 等價，且B 與C等價，則集合A 與C 等價，所以，集合的等價是《抽象代數》中的一個 “等價關系” 。

3.3 《復變函數》中的群模型

故這個集合關于映射的復合構成群[7]。由于映射的復合不滿足交換律，所以，這是一個非交換群。

4 《抽象代數》為一些后繼課程提供了理論基礎

4.1 幫助學生深刻理解可數集和連續統勢概念

我們定義：與正整數集合等價的集合是可數集，因此正整數集是可數集，整數集是可數集；利用至多可數個可數集的并還是可數集我們可以證明有理數集? 是可數集[4]。這個時候，如果問同學們：可數集都是等價的嗎？很多同學會比較迷茫，還有同學的答案是否定的。但如果我們還記得集合的等價是一個 “等價關系” ，由等價關系的傳遞性，同學們很快就可知道可數集都是等價的。很多涉及可數集的證明題，如果沒有具體說是哪個可數集合，則可以根據需要選擇我們熟悉的正整數集、整數集或有理數集等可數集。比如，在證明? 中任一兩兩不想交的開區間族是至多可數的時，沒有采用可數集的定義證明，也不是采用可數集的相關性質定理證明，而是證明這樣的開區間族與有理數集的子集等價；在證明?上單調函數的間斷點是至多可數集時，我們是證明? 上單調函數的間斷點組成的集合與? 中一個兩兩不想交的開區間族等價。

類似地，我們定義：與閉區間[0 ,1] 等價的集合稱為有連續統勢，接下來我們證明了任何區間都具有連續統勢，實數集具有連續統勢，因此，由集合的等價是一個 “等價關系” 可知：所有的區間、實數集都與閉區間[0 ,1] 等價，很多涉及連續統勢的證明可根據需要選取熟悉的[0 ,1] 、開區間、實數集等來做，可簡化證明，提高解題效率。

4.2 為《實變函數》提供了構造不可測集的方法

《實變函數》 在實數集上定義了一個 “關系” ，兩個元素符合關系當且僅當兩個元素的差是有理數， 這一關系是等價關系， 對任意的x∈[0 ,1] ，定義

則E(x)是x的等價類子集，因此由抽象代數中等價類的相關知識，我們可知，任意兩個E(x),E(y)要么相等，要么兩者的交為空集，而且

把所有不同的E(x)找出來，并在每一個這樣的E(x)中取一個代表元構成集合E，則我們可證明集合E是不可測集。

從上述的案例中，我們發現：利用《抽象代數》知識可深刻理解結合律、交換律、消去律等一些大家耳熟能詳的普遍規律；《抽象代數》與《復變函數》《實變函數》等課程存在著千絲萬縷的關系，很多知識點互為基礎，互相補充。見微知著，我們可知：大學數學專業課程并不是孤立的，而是緊密聯系的，思考、理解和掌握不同課程知識點之間的聯系，可以幫助我們更深刻地理解、運用這些知識解決實際問題，從而更能實現人才培養目標。