多航天器協同探測效能影響參數不確定性分析

高 辰，楊 震，張玉珠，牛文龍

(1. 中國科學院國家空間科學中心，北京 100190；2. 中國科學院大學，北京 100049)

0 引 言

航天任務的設計是一項多學科融合的復雜過程[1- 2]。一個空間科學任務的概念設計階段是工程師把科學家的科學目標工程化論證的過程。通常一個空間任務系統在總體設計階段投入的人力和資源只占整個任務的10%，卻決定了任務系統80%的生命周期成本[3]。而在設計過程中，存在大量的不確定性因素[4-5]，這些不確定性因素既包括由于認知的局限性導致的認知不確定性，也有尺寸、測量等精度導致的參數誤差引起的隨機不確定性。認知不確定性通常通過非概率數學的方法解決。針對隨機不確定性，根據研究對象的不同分為靈敏度分析和不確定性分析[6]。其中，靈敏度分析研究的是某一參數變化時，系統整體性能的改變程度。而不確定性分析研究的是在每一參數都具有不確定性的情況下，系統整體性能的不確定性的大小。航天任務概念設計階段，考慮不確定性在多學科復雜系統的優化設計中的影響有助于建立多學科優化特性和性能評價，有著重要的意義[7]。在設計初期進行參數的不確定性分析可以評估在當前的設計下，能否滿足對科學目標的探測；以分析不同參數對于探測性能影響程度；進而對參數設計進行優化。

隨著航天科技的進步，分布式衛星系統的應用越來越廣闊。在空間科學任務中，分布式衛星系統可以觀測到以前難以探測的物理現象和天文數據，使空間探測進一步發展。如歐空局2000年發射的Cluster II任務[8]。NASA在2015年3月發射的對MMS(Magnetospheric Multiscale)任務[9]。JAXA計劃發射的SCOPE任務[10]。國內劉振興院士團隊提出的“磁層-電離層-熱層耦合探測計劃”(Magnetospher-Ionosphere-Thermosphere, MIT)[11]。而隨著分布式衛星系統在空間科學任務中越來越廣泛的應用，系統中更復雜的參數耦合關系對不確定性分析提出了更高的要求和挑戰。在Cluster II和MMS任務中，不確定性參數的分析工作主要集中在建立分布式衛星系統構型或其他實際工程參數的評價方法[12]。目前，在分布式衛星系統概念設計階段，對系統探測效能的不去額定性分析的研究較少。通常都是利用概率統計和數值模擬的蒙特卡洛方法解決。

航天任務概念設計階段不確定性分析具有涉及學科多、系統函數表征難、參數描述粗略和不同任務間獨特性強的特點[13]，航天任務的不確定性分析主要針對單一學科[14-15]，整體考慮較少?；诓淮_定性多學科優化設計的衛星總體設計方法可以提高衛星總體設計質量[16]。且因為概念設計階段是一個需要迭代設計的過程，減少分析工作的時間具有重要的意義。因此，不確定性分析的需求主要可歸結為以下四個方面：計算效率高，定性分析為主，普適性強，能夠對未知的參數耦合關系進行識別分析。

針對傳統基于蒙特卡洛仿真的探測效能評價方法中時間效率低，參數關系映射單一的問題，本文提出一種基于神經網絡的不確定性分析方法，利用人工神經網絡在擬合回歸分析上的非線性特性，設計了能夠替代復雜系統的神經網絡結構，在網絡訓練階段，與蒙特卡洛方法相比，能夠通過少量仿真計算結果作為訓練樣本實現模型的收斂。在參數不確定性分析時，有效反映被替代系統的原有特性。從而避免了基于仿真采樣方法計算量大的問題。并以一個多航天器的天文觀測任務為背景，進行了仿真實驗，并對實驗結果進行了分析對比。實驗結果證明本文方法在具有更高計算效率的同時具有較高的準確性。

1 科學衛星任務設計中的不確定性描述

執行空間科學任務的衛星，其工作過程看作在沿著軌道運動的過程中，記錄下每個測量點位置姿態P，時間t，有效載荷的測量值V及其他參數。以單一衛星的探測過程為例，如所圖1所示，衛星在t1,t2,t3時刻分別記錄下衛星所在的位姿P1,P2,P3，有效載荷探測結果V1,V2,V3。對于一個空間科學任務，尤其是對于分布式衛星系統，其工作過程就是通過對這些時序變量的測量，并結合合適的計算方法，實現對復雜物理現象的探測。

圖1 衛星探測過程Fig.1 A satellite detection process

但是，在衛星的實際運行過程中，因為不確定性的普遍存在，衛星的定位定姿，時鐘系統，有效載荷都不可避免的存在測量的不確定性。如圖2所示，圖中灰色衛星的真實狀態為，在t1,t2,t3時刻，衛星的探測測量值對應的為t′1,t′2,t′3，P′1,P′2,P′3和V′1,V′2,V′3。在任一時刻，每次的測量值誤差都不相同，在衛星的系統設計中，通常通過位姿測量精度uP，時鐘精度ut，有效載荷測量精度uV等來描述其統計規律。

圖2 不確定性參數影響下的衛星探測過程Fig.2 A satellite detection process with uncertainty

在傳統的衛星系統分析中，大部分的誤差、靈敏度分析針對的都是在某一時刻t，參數的具體誤差，如有效載荷的測量誤差ΔV=V′-V，時鐘誤差Δt=t′-t，位姿誤差ΔP=P′-P等，會對系統產生多大的影響。而對于連續探測過程中，引起這些誤差的不確定性參數uV，ut，uP的分析較少。如而對于大部分執行空間科學任務的分布式衛星系統，因為其探測過程本身是一個基于時間的連續過程，考慮這些不確定性參數對于系統的影響對于衛星系統早期的設計工作有著重要的意義。

單一衛星的探測過程可以通過下式進行描述。

(1)

式中:y為衛星系統最終的探測目標，其通過系統函數g()求解。g()的參數為衛星系統探測過程中的時序測量結果，如時間信息序列T，衛星位姿信息序列P，有效載荷測量值序列V。因為在實際工程中，誤差的普遍存在，在任意時刻，這些測量值相對于真值始終存在一定偏差。即t′i=ft(ti)，P′i=fP(Pi)，V′i=fV(Vi)等[17]。根據這些誤差產生的原因不同，可以確定其對應的概率分布。在航天任務的概念設計階段，對參數的不確定性的描述通常是通過標量進行粗略設計說明。如定位精度50 m，時鐘精度20 ns等。在實際工程中，對于未指定分布形式的不確定性參數，常用做法是使用高斯分布進行描述[18]。在此基礎上，參數描述如下：

(2)

在探測過程中，當這些誤差存在時，系統對探測目標的探測結果y也與理想值yr存在誤差：Δy=y-yr。如何評估在這些不確定性參數影響下，尤其是在空間多點探測任務中，Δy的變化規律，是研究重點。

2 航天任務的不確定性分析過程

2.1 應用背景介紹

在空間分布式多點探測任務中，每一個航天器都是一個獨立的探測系統，而整個任務的科學目標能否達成，需要充分利用每個探測系統的測量值。隨著不確定性參數的增多，整個系統的不確定性分析也變得更加復雜。以一個多航天器的天文觀測任務為例，其任務系統由一個主衛星和八個子衛星組成，運行軌道為理想的近月軌道。每兩個航天器可構成一條觀測基線，隨著軌道進動，實現對全天區的三維觀測[19]。

在此任務中，被測目標為宇宙背景輻射，其成像原理與綜合孔徑微波輻射計類似。其簡化的成像原理如下式：

V(u,v)exp(2πj(uξ+vη))

(3)

2.2 任務仿真流程設計

考慮了不確定性參數之后的仿真流程如圖3所示。

圖3 考慮不確定性參數的仿真流程Fig.3 Flow chart of the simulation process with uncertainty

如前文所述，考慮的任務的不確定性參數主要為衛星軌道的定位誤差，有效載荷精度引起的測量可視度函數的幅值和相位誤差。在正常的仿真流程之外，根據衛星的定位精度，在衛星的探測過程中，每次生成帶誤差的定位結果，進而計算出，空間頻域帶誤差的測量基線位置(u′,v′)；再根據有效載荷的精度，對應的給測量到的可視度函數增加噪聲，得到可視度函數的測量結果V′(u,v)。根據新的測量基線(u′,v′)及其對應的可視度函數V′(u,v)，計算考慮不確定性參數的反演圖像T′。

在傳統的綜合孔徑微波輻射計的成像誤差分析中，最常用的定量評估指標是均方根差[20-22]，通過計算含誤差項的反演結果與理想反演結果之間的各像素點的均方差來衡量反演結果的誤差大小。

其中，對于兩張尺寸同為尺寸的圖像，其均方根差(Root Mean Square Error)的計算方程如下:

(4)

式中:m和n分別為圖像的寬和高，Te(ξ,η)為考慮誤差的成像結果，Ti(ξ,η)為不考慮誤差情況下的理想成像結果。這種評價探測反演結果的好處是均方根差不僅體現了Te(x,y)和Ti(x,y)之間的平均偏差，也包含了隨機噪聲偏差[23]。

3 不確定性分析方法

3.1 傳統蒙特卡洛仿真的分析方法

蒙特卡洛方法是廣泛應用的一種計算算法，它的計算過程依賴于重復隨機采樣來獲取數值結果。其基本思想是通過使用隨機性來解決確定性問題[24]。

設一個系統的函數描述為：

y=g(x1,x2,…,xn)

(5)

式中:x1,x2,…,xn為這個系統的n維輸入變量，y為系統的輸出?？紤]系統輸入變量具有的隨機不確定性條件下，利用蒙特卡洛抽樣仿真方法進行系統不確定性分析的方法如下：

1) 根據n維輸入變量x1,x2,…,xn的聯合概率分布，生成M個樣本：

(6)

2) 計算對應的M個系統響應輸出為：

y=[y1,y2, …,yM]T

(7)

3) 對結果的方差進行統計分析，得到系統的無條件方差D：

(8)

蒙特卡洛等概率抽樣方法，其本質是通過大量隨機實驗，利用概率論解決問題的一種數值方法。在不確定性分析中，從其計算流程可以看出，蒙特卡洛方法需要在確定參數的不確定性的前提下，通過大量仿真計算，得到多次抽樣結果，再利用統計的方法，給出不確定性分析結果。其計算精度與仿真重復計算次數成正比。根據大數定律當采樣計算次數足夠充分時，基于概率統計的蒙特卡洛仿真方法的計算結果被認為最接近真實情況。因此通常選為作為對比的基本方法。而在航天任務的早期設計階段，不確定性參數往往是需要優化設計的指標，每一組參數條件都進行蒙特卡洛仿真計算時間成本高。同時，蒙特卡洛方法不能給出參數之間耦合關系的變化規律，不利于航天任務在早期階段進一步優化設計。

3.2 神經網絡模型替代的分析方法

本文引入人工神經網絡模型的方法，通過在參數可行空間能進行少量采樣計算的方法作為訓練樣本，對神經網絡進行訓練，用訓練后的神經網絡作為復雜系統的替代模型，改善單獨使用蒙特卡洛方法在航天任務早期設計階段的不足。其計算流程如圖4所示。

圖4 神經網絡模型替代的分析方法流程Fig.4 Process of neural network model method

4 仿真校驗

4.1 基本仿真參數配置

為了減少反演算法對結果的影響，在仿真中依然采用還原質量一般的基本線性直接離散二維傅里葉逆變換求解反演圖像[25]。輸入圖像為一張32×32的灰度圖，在圖像中間左側位置有一矩形明亮區域，賦值為1，其余區域的幅值為0。在不考慮任何輸入不確定性參數的情況下，輸入原始圖像和對應算法的反演圖像如圖5所示，其中，左側為輸入的原始圖像，右側為不考慮不確定性參數情況下的反演結果。

因本文的重點不是對反演算法產生的誤差進行評估，固不對反演算法問題做深入探討。

4.2 蒙特卡洛仿真分析結果

為分析系統在不同參數不確定性條件下的整體性能不確定性，基于前文中描述的考慮不確定性參數的仿真環境，利用蒙特卡洛方法對系統進行抽樣仿真分析的參數精度如表1所示。

表1 蒙特卡洛仿真參數Table 1 Parameters in Monte Carlo Simulation

其中，衛星的定位誤差使用誤差橢球模型[26]，即在衛星的每一次定位過程中，三維誤差的分布呈橢球狀。在衛星位置誤差分析的模型中，通常假設定位誤差在三個方向均服從相同的高斯分布，即誤差橢球退化為誤差球，誤差球半徑為設定的標準差。在綜合孔徑微波輻射成像仿真中，通過在可視度函數的幅值和相位分別增加高斯噪聲來模擬環境和硬件引起的可視度函數誤差。因研究重點討論的是不確定性參數的分析方法，為減少實際工程參數選擇的影響，單位均使用無量綱，且參數的數值范圍保證對最終結果的影響在同一數量級。經實驗，可視度函數相位不確定性在0.1時，在不考慮其他參數的不確定性，系統整體的探測效能的不確定性為0.0068；而可視度幅值誤差不確定性在2.4時，在不考慮其他參數的不確定性，系統整體的探測效能的不確定性為0.0063；而定位精度不確定性在0.00034時，在不考慮其他參數的不確定性，系統整體的探測效能的不確定性為0.0068?；诖?，衛星定位精度參數的標準差為0～0.0005，可視度函數的幅值誤差范圍在0～0.25范圍內，可視度函數的相位誤差在0～0.15范圍內。在具體抽樣方法中，對各維參數空間均勻采樣50次，即在定位精度的標準差采樣取值間隔為0.00001，可視度函數的幅值誤差的標準差采樣間隔為0.005，可視度函數的相位誤差的標準差采樣間隔為0.03，共在參數空間采樣50×50×50=125000個采樣點。在每組參數條件下，再利用蒙特卡洛抽樣計算500次，并對結果求平均值，作為在這組輸入不確定性參數條件下，系統整體效能不確定性的評價指標。蒙特卡洛的部分仿真結果如圖6所示，其中，圖6(a)在考慮了參數耦合關系后的不確定性參數與結果的變化趨勢。圖6(b)為兩種參數誤差的二維示意圖，系統整體效能藍色代表不確定性誤差為0，黃色代表不確定性誤差增大至約0.012。從中可以看出，兩個參數之間存在耦合關系，并非獨立的不確定性參數。利用蒙特卡洛仿真的方法計算量大，耗時長，在當前參數組合下，需要重復計算62500000次，且當參數再次變化時，需要再次進行計算。

圖6 可視度函數幅值誤差均值不同時相位誤差 均值與整體性能誤差均值的變化規律Fig.6 Result from MCS of two coupling parameters

4.3 神經網絡替代模型方法實驗結果

為減少重復計算次數，提高系統在設計階段的設計效率，本文引入人工神經網絡作為系統模型替代的方法進行不確定性分析。

在上節蒙特卡洛方的基礎上，以可視度函數幅值誤差和可視度函數相位誤差作為分析參數。利用Matlab軟件的神經網絡工具包，構建一四層BP神經網絡作為替代模型，神經網絡中有2個隱含層，每一個隱含層有3個節點，第一個隱含層的激活函數為tansig函數?？紤]到誤差的描述恒為正值，第二個隱含層激活函數選擇logsig函數，logsig函數為對標準sigmoid函數求對數，可以將(-∞,+∞)的輸入值，映射到[0，1]范圍內。輸出層同樣選擇簡單線性函數purelin。具體網絡結構如圖7所示。

圖7 神經網絡結構示意圖Fig.7 Structural of neural network model

在進行不確定性分析時，因為不確定性的數值相對較小，為減少對訓練過程的影響，需要對數據進行歸一化處理，其歸一化處理的方法如下：

(9)

在訓練樣本選擇時，訓練樣本數量對訓練結果影響如表2所示，可以看出，隨著樣本數量的增加，對系統的擬合程度也更精確，使神經網絡模型可以更有效逼近原有系統特性。

表2 訓練樣本數量對訓練結果影響Table 2 Mean Square Error of different training samples

在考慮訓練穩定性和收斂速率后，本文使用的訓練樣本為上節中蒙特卡洛仿真結果的1/4，即將可視度函數幅值誤差和相位誤差的取值間隔增大一倍，訓練樣本大小為25×25共625個。經過106次迭代訓練后，與蒙特卡洛50×50的結果對比如圖8和圖9所示。其中，圖8中‘*’構成的曲線為蒙特卡洛仿真結果，‘o’構成的曲線為神經網絡模型替代方法的結果；圖9為神經網絡模型替代方法結果的二維示意。

在數據歸一化后，2500個實驗樣本的均方誤差約為0.007，在原有數值區間均方誤差約為1.23×10-7?？梢钥闯?，神經網絡模型替代方法相對于蒙特卡洛仿真的結果差距不大。而在當前實驗條件下，蒙特卡洛仿真計算一組參數的計算時間約為2 min，計算2500個樣本的時間約為1.5 h。神經網絡模型替代方法的訓練樣本生成僅需原蒙特卡洛方法的1/4時間。訓練過程約5 min，后續計算其余時間可忽略?？梢娬w計算時間效率提升明顯。

圖8 神經網絡模型替代法結果與蒙特卡洛結果對比Fig.8 Result comparison of Monte Carlo Method and ANN method

圖9 神經網絡模型替代法結果與蒙特卡洛結果對比Fig.9 Comparison between neural network model and MCS

5 結 論

不確定性分析是航天任務尤其是空間科學任務在早期設計階段的重要組成部分。參數的不確定性會影響任務的科學目標能否滿足，是評價系統整體效能的重要依據。隨著航天器數目的增加，空間多航天器協同探測任務的不確定性分析復雜度越來越復雜。蒙特卡洛仿真分析方法是解決這一難題的主要手段，但其也有時間效率低，不能對參數之間耦合關系進行有效識別等弊端。

本文利用人工神經網絡在擬合回歸分析上的非線性特性，提出一種基于神經網絡的不確定性分析方法，設計了能夠替代復雜系統的神經網絡結構，在網絡訓練階段，與蒙特卡洛方法相比，能夠通過少量仿真計算結果作為訓練樣本實現模型的收斂。在參數不確定性分析時，有效反映被替代系統的原有特性。避免了大量重復計算。仿真驗證以天文多星觀測成像為背景，通過與蒙特卡洛方法的結果對比，證明了方法的有效性。為實際多星任務在早期任務設計階段的不確定性分析提供新的解決方案。