基于HOEK-BROWN軟化模型的支護結構穩定性分析

(湖南大學土木工程學院，湖南長沙，410082)

近年來，伴隨著我國山區交通基礎設施的快速發展，隧道已逐漸成為重要組成部分。山區公路、鐵路隧道埋深大和所處環境存在復雜性，地下工程的支護結構與地面結構存在很大不同，許多學者針對隧道支護結構穩定性進行了大量研究，如：黃戡等[1]數值模擬開挖面位移以及塑性區分布分析水位、進尺以及支護時機對隧道穩定性的影響；蘇永華等[2]建立了不同形態圍巖收斂曲線的地下結構穩定性定量評價方法；徐幫樹等[3]利用地層-結構法得到公路隧道型鋼筋混凝土初期支護結構的內力，并利用安全系數法評價支護結構安全性；蘇永華等[4]基于收斂-約束法，利用非圓斷面等價圓計算方法定量分析地下結構的穩定性。同時，在實際支護結構設計中，目前，各種地下結構規范[5-7]均以圍巖分級經驗類比為主，再以數值分析為輔助手段，以確定圍巖支護結構形式。但在支護設計過程中發現數值計算結果與實際結果存在一定誤差，這主要是計算選用的本構模型不適應實際工程圍巖所致。蘇永華等[8]基于應變軟化模型對不同初始強度的隧道圍巖進行研究，并對其應力進行監測，得到了圍巖應力與距洞壁距離的關系曲線；王水林等[9]簡化了應變軟化模型的計算過程，同時比較了彈塑性模型以及應變軟化模型下支護結構的受力情況；孫闖等[10]對軟巖隧道開挖后圍巖的峰后特征進行了研究，發現圍巖的軟化參數隨著應力的釋放而變化。在實際工程中，隧道支護結構穩定性系數還受到開挖方法[11]、支護時機等因素的影響，因此，導致隧道支護結構設計及其穩定性研究還有待完善。針對上述問題，本文作者首先概述HOEK-BROWN(H-B)應變軟化模型，然后利用H-B 巖體材料破壞準則，總結巖體臨界軟化參數η*的計算方法，分析巖體臨界軟化參數η*的影響因素；利用噴射混凝土及錨桿等支護單元的支護特征方程，通過剛度耦合，導出復合支護結構的特征函數；通過工程實例對比分析彈塑性模型和應變軟化模型下的圍巖特征曲線(GRC)和縱向變形曲線(LDP)的差異，總結其規律；分析全斷面開挖法和臺階法這2種常見的開挖方法對GRC 和LDP 的影響，最后，利用收斂-約束原理研究開挖方法與支護時機對隧道支護結構與圍巖穩定性的影響規律。

1 H-B準則軟化參數

1.1 圍巖H-B常數及變形參數

圍巖H-B 常數mb和s表征洞室的幾何特征及其所在的地層特征，可由下式計算得到[12]：

式中：s和mi為表征巖塊H-B參數，s取值0～1；D為擾動系數；IGS為地質強度指標。

1.2 H-B應變軟化模型

HOEK等[13]通過研究發現，節理巖體的峰后行為與地質強度IGS有關，當25＜IGS＜75 時，巖體表現出應變軟化行為。采用應變軟化模型進行計算時，巖石破壞準則和塑性勢不僅與應力張量σij相關，而且與軟化參數η有關，可由下式表示巖體應變軟化模型下的屈服準則[14]：

式中：σr為徑向應力；σθ為法向應力。

在應變軟化模型中，巖體隨著破壞的發生，其H-B 常數(mb和s)也逐漸變小。當巖體發生應變軟化時，H-B屈服準則可通過下列公式表示：

式中：σci為巖塊原軸抗壓強度。

應變軟化現象的特征是巖體強度從峰值逐漸發展為殘余破壞，該過程由軟化參數η控制。當η=0時，巖體材料處于彈性階段；當0＜η＜η*時(其中，η*為臨界軟化參數)，巖體材料發生應變軟化；當η＞η*時，巖體材料處于殘余破壞階段。當巖體材料發生應變軟化時，軟化階段的斜率用軟化模量M表示，若該模量趨于0，則獲得理想的塑性變形，若軟化模量趨于無窮大，則會出現脆性破壞。

在考慮剪脹效應的情況下，ALEJANO 等[14]基于量化IGS提出計算剪脹角ψ的公式：

式中：φ為巖體內摩擦角。

1.3 巖體軟化參數的確定

在巖體應變軟化過程中，軟化模量M和臨界軟化參數η*控制巖體應變軟化的過程。ALEJANO等[14]通過大量試驗得出軟化模量M和彈性模量E的關系：

式中：ω為損失參數，其值取決于IGSpeak和巖石單軸抗壓強度σci。

式中：IGSpeak為IGS峰值；Speak為S的峰值。

彈性模量E可以根據試驗得到，也可根據由回歸分析方法對我國大量的巖體彈性模量進行統計分析得到的彈性模量經驗公式進行計算[15]：

ALONSO等[16]認為，臨界軟化參數η*與塑性剪切應變有關，因此，可以將臨界軟化參數η*通過下式確定：

式中：γp為塑性剪切應變；εplas1為最大塑性主應變；εplas3為最小塑性主應變。巖體最大塑性剪應變εplas1可通過下式計算：

式中：εpeak,elas1，εΔ,drop1和εelas1分別為峰前最大彈性主應變、峰后軟化應變以及彈性最大主應變。

式中：σpeak1為峰值第一主應力；σrest1為殘余第一主應力；σ3為第三主應力即圍壓。

在考慮剪脹效應時，最小塑性主應變εplas3可以通過下式計算：

其中：

因此，式(11)可表示為

由式(18)可知，巖體臨界軟化參數η*與峰值地質強度指標IGSpeak、單軸抗壓強度σci以及圍壓σ3有關。

圍巖開挖后應力釋放過程見圖1。從圖1可見：當圍壓σ3處于pcir～p*i范圍時，隧道圍巖處于應變軟化階段。因此，在巖體開挖過程中，臨界軟化參數η*并不是一個定值，而是隨著圍壓σ3的變化而變化。

圖1 圍巖應力釋放路徑Fig.1 Stress release path of surrounding rock

為了計算方便，取σ3為2個臨界值的中值，即σ3=(pcri+p*i)/2(其中，pcri為臨界支護力)。當支護抗力pi小于pcri時，隧道圍巖進入軟化階段。pcri可以根據下式計算[17]：

式中：Speak為S的峰值；mpbeak為mb的峰值；Picr為臨界支護力pcir的量綱一應力系數；S0為圍巖遠場應力σ0的量綱一應力系數。

圍巖軟化區與殘余區交界面的徑向應力為p*i，推導過程如下。

在塑性區內，任意點的應力分量應滿足以下平衡微分方程：

式中：σr為徑向應力；σθ為切向應力；r為離隧道圓心的距離。在圍巖軟化區與殘余區交界面處，根據應變軟化模型下的H-B 屈服準則，利用式(5)可得

當洞周圍巖受到支護抗力pi作用時，可得邊界條件(σr)r=r0=pi，聯立平衡微分方程(20)與式(21)，積分后可得

式中：

當圍巖殘余區半徑為rb時，可以通過下式確定p*i：

且當rb較小時，rb≈r0，由式(25)可得≈pi，因此，p*i取決于支護抗力pi。利用數值軟件計算圍巖特征曲線與縱向變形曲線時，取pi=0。

若考慮剪脹效應，則FLAC3D中臨界軟化參數η*和塑性剪切應變的關系可以由下式表示[17]：

由于將σ3考慮為2個臨界值的中值，因此，可通過計算得到不同埋深下巖體開挖時的臨界軟化參數η*。同時，由式(11)～(28)可求得巖體臨界軟化參數η*與IGSpeak和單軸抗壓強度σci的關系。取地層平均重度為26.8 kN/m3，初始應力場為靜水應力場，得到臨界軟化參數η*與巖塊單軸抗壓強度σci和埋深h的關系分別如圖2和圖3所示。

圖2 臨界軟化參數與巖石單軸抗壓強度的關系Fig.2 Relationship between critical softening parameters and rock uniaxial compressive strength

圖3 臨界軟化參數與埋深的關系Fig.3 Relationship between critical softening parameters and depth

由圖2和圖3可知：巖體地質強度指標IGS越小，巖體應力-應變曲線越接近彈塑性狀態，其軟化系數η*越大，說明其軟化效應越弱，反之則越強；在地質強度指標IGS且隧道埋深相同的情況下，巖體的單軸抗壓強度σci越大，巖體軟化模量M越大，其應力-應變曲線越接近彈脆性狀態，軟化系數η*越小，說明其軟化效應越強；在地質強度指標IGS一定的情況下，埋深h越大，巖體軟化系數η*越大，說明開挖時巖體軟化效應越弱。

1.4 巖體殘余強度的確定

當巖體發生應變軟化時，H-B常數mb和s隨著塑性剪切應變的增大而減少。為了簡化計算，將mb和s考慮為軟化參數η的分段線性函數，由以下公式表示[14]：

式中：mpeakb和speak為峰值參數；mrestb和srest為殘余參數。

ALEJANO 等[18]提出，若已知IGSpeak，則可通過下式計算IGS的殘余值IGSr：

一旦知道IGSr，H-B 常數中mb和s的殘余值則可通過以下公式計算(由于此時處于殘余狀態，所以擾動系數D=0)：

2 地下支護結構特征方程

2.1 支護單元特征方程

HOEK 等[19]提出錨桿剛度kbolt可由以下公式計算：

式中：st和s1分別為錨桿環向和縱向間距；Lbolt為錨桿長度；φ為錨桿直徑；Est為錨桿的彈性模量；Q為錨桿錨固端與錨固頭的荷載變形常數。

錨桿的極限承載力可以通過下式計算：

其中，Tmax可以通過錨桿抗拔試驗中的破壞荷載確定。

根據所承受的的支護力pbolt與其所發生的變形ubolt之間的函數關系式，得出錨桿的支護特征方程為

根據文獻[20]，可以得到混凝土剛度Kshot和噴射混凝土的極限承載力pmax,shot的計算公式：

式中：pshot為噴射混凝土提供的徑向支護力；Econ為噴射混凝土彈性模量；vcon為噴射混凝土的泊松比；tshot和σcon分別為噴射混凝土的厚度和噴射混凝土的單軸抗壓強度；R為隧道半徑。

根據式(35)和(36)可得出噴射混凝土的支護特征方程為

式中：pshot為噴射混凝土提供的徑向支護力；ushot為噴射徑向變形。

2.2 支護結構特征方程

復合支護結構作為一個整體承受圍巖壓力，在隧道圍巖穩定過程中共同發揮作用。為了簡化分析過程，復合支護結構的總剛度kcom,lim可由下式計算：

在圍巖應力釋放的過程中，復合支護結構與圍巖共同變形，直至圍巖變形超出復合支護體系的變形范圍為止。根據并聯結構整體穩定判定原則，各個支護單元的變形與復合支護結構的變形一致，所以，復合支護結構破壞的標準在于支護體系中的某個支護單元發生破壞，因此，復合支護結構的最大變形量ucom,lim為：

組合支護結構特征方程可由以下公式計算：

式中：pcom,lim為復合支護結構的極限承載力。

3 支護結構的穩定性計算

3.1 結構穩定性系數

目前，計算隧道支護結構穩定性系數的方法主要有2種：一種是以極限應變為判斷標準，利用支護結構所能發生的最大變形ulim與圍巖穩定時支護結構所發生的位移ueq之比從而得到隧道支護結構的穩定性系數Fstain：

另一種則是以支護結構的極限承載力作為依據，主要原理是利用支護結構所能承受的最大荷載pmax與圍巖穩定時支護結構所承受的壓力peq之比來得到支護結構穩定性系數Fstress：

3.2 開挖方法及支護時機對穩定性系數的影響

目前，隧道施工中常見的開挖方法有全斷面開挖法、臺階法、環形開挖預留核心土法以及中隔壁法等。為了提高施工速度，應盡可能選擇工序較少的開挖方法如全斷面開挖法等。但從施工安全方面考慮，工序較少意味著每次開挖的斷面較大，在使用相同支護結構的情況下容易造成支護結構穩定性系數偏低甚至破壞。因此，應根據實際情況綜合考慮，選擇合適的施工方法。

根據新奧法原理，在施作支護結構時，應在保證安全的前提下，允許圍巖產生一定的變形，從而充分利用圍巖的自承能力。同時，本文通過引入變形控制率χ來反映支護結構的支護效果，變形控制率χ越大，表示支護結構對圍巖變形控制效果越好，反之則越差，其數學表達式為

式中：為無支護時圍巖能發生的最大位移；ueq為施作支護后圍巖的最終穩定位移。

3.3 量化分析圍巖支護結構穩定性系數的步驟

1)通過數值軟件，采用二維等效模型，建立圍巖特征曲線。

2)根據縱向變形曲線獲得支護起點的隧道徑向位移，并判斷隧道徑向位移是否在合理的范圍之內，若超出合理范圍，則縮短支護工作面與開挖面的距離。

3)建立支護結構特征曲線，并與圍巖特征曲線在同一示意圖上表示，建立地下結構收斂-約束圖。

4)根據收斂-約束圖中圍巖特征曲線與支護結構特征曲線的相交點，確定支護結構與圍巖達到穩定狀態時所受的荷載，根據式(41)或(42)可得到隧道支護結構穩定性系數。

5)對支護設計進行修正，主要分為以下2 種情況：

a.穩定性系數Fs＞1，說明支護結構穩定。若安全富余量充足，則說明開挖方法、支護設計與其支護起點的選取合適，若安全富余量偏小，則可以選擇更換開挖方法進行隧道開挖，也可以修改支護設計以提高支護結構的剛度或者適當調整支護時機。

b.若穩定性系數Fs≤1，則說明支護結構不穩定，可能會發生破壞，需要對開挖方法以及支護設計進行修正，從而提高穩定性系數，保證支護結構的安全。

4 工程實例

4.1 隧道圍巖參數

湖南某高速公路隧道長約3.4 km，最大深度可達700 m左右，開挖斷面形式為曲墻拱形，開挖高度及跨度為8.6 m 和11.6 m。本文主要對埋深為200 m的隧道區間進行分析，其巖層主要為粗砂質的層狀頁巖，初始地應力σ0=5.402 MPa，重度為26.8 kN/m3，巖塊單軸抗壓強度σci為27.201 MPa，泊松比v=0.29，H-B 常數mi=10，巖體峰值地質強度指標IGSpeak=52，根據式(29)可計算巖體殘余地質強度指標IGSr=30，從而利用相關公式計算得到mrestb和srest，同時利用簡化方法計算得到臨界軟化參數η*，如表1所示。

表1 計算模型力學參數Table1 Mechanical parameters of calculation model

4.2 圍巖特征曲線及縱向變形曲線的建立

利用FLAC3D數值軟件計算H-B 彈塑性模型與應變軟化模型下的圍巖特征曲線(GRC)和縱向變形曲線(LDP)，分別如圖4和圖5所示。結合GRC 和LDP，可知在彈塑性模型下，圍巖穩定的最終位移更小，但能更快地趨于穩定，應力釋放速率相較于應變軟化模型更快。但在實際工程中，?；趶椥约俣?，利用位移釋放率反算應力釋放率，由圖4和圖5可知：在低圍壓時，圍巖進入塑性階段。此時，圍巖位移釋放率與應力釋放率不呈線性關系；用同一位移釋放率基于應變軟化模型計算得到的應力釋放率要高于基于彈塑性模型得到的應力釋放率，因此，用彈塑性模型進行支護設計時偏保守。

圖4 圍巖特征曲線Fig.4 Ground reaction curves

同時，對3 種常用的開挖方法(全斷面開挖、雙臺階開挖和三臺階開挖)進行對比分析。在FLAC3D數值模型中，隧道長度設置為130 m，循環開挖進尺為1 m。其中，采用臺階法開挖時，為減小下臺階開挖對拱頂圍巖應力釋放的影響，將臺階長度設置為10 m，開挖斷面形式如圖6所示。利用FLAC3D數值軟件得到不同開挖方法下的圍巖特征曲線和縱向變形曲線。

圖5 不同模型下縱向變形曲線Fig.5 Longitudinal deformation profiles

圖6 開挖斷面形式Fig.6 Excavation section shapes

應變軟化模型下的圍巖特征曲線因開挖方法不同而存在差異，如圖7所示。由圖7可知：當應力釋放率相同時，全斷面開挖產生的拱頂徑向位移要比臺階法開挖的大；當圍巖進入塑性軟化狀態時，與臺階法開挖相比，采用全斷面開挖產生的拱頂位移增大量較大；當圍巖應力釋放完成后，由p=0 MPa 處的位移可知，采用臺階法開挖獲得的拱頂徑向變形比全斷面的較小。

圖7 不同開挖方法下圍巖特征曲線Fig.7 Ground reaction curves of different excavations methods

圖8所示為應變軟化模型下采用不同開挖方法得到的縱向變形曲線。由圖8可知：縱向變形曲線的形狀與開挖方法有關；當距離開挖面5～30 m時，各開挖方法下的隧道拱頂徑向位移不盡相同，但都在距離開挖面50 m 時逐漸趨于穩定；采用全斷面開挖時，圍巖的最終穩定位移稍大于臺階法開挖時圍巖的最終穩定位移，但由于上臺階高度相差較小，采用三臺階開挖法時圍巖的最終穩定位移比雙臺階開挖法的稍小。

4.3 支護時機與支護結構穩定性分析

隧道初期支護方式以錨噴支護為主，其中噴射混凝土采用C25等級，厚度為80 mm；錨桿直徑為22 mm，排距×間距為1.0 m×1.0 m，彈性模量Ebolt為210 GPa，通過抗拔試驗獲得錨桿的破壞荷載Tmax為0.196 MN，錨固端和錨固頭的荷載-變形常數Qbolt為0.004 2 m/MN。通過計算獲得各個支護結構單元的剛度及其極限位移，從而得到組合支護形式的剛度與極限位移，具體支護參數如表2所示。

圖8 不同開挖方法下縱向變形曲線Fig.8 Longitudinal deformation profiles of different excavation methods

表2 支護結構參數Table2 Parameters of support structure

由于在彈塑性模型和應變軟化模型下計算得到的圍巖特征曲線與縱向變形曲線不同，因此，計算得到的隧道支護結構穩定性系數也不同。以應變軟化模型為例，采用全斷面開挖時(如圖9(a)所示)，在距離開挖面1 m 時設置支護，首先聯立圍巖特征曲線與相應的縱向變形曲線得到支護起點位置u0=5.233 mm，然后，利用收斂約束原理得到圍巖穩定時支護結構所受壓力peq=0.199 MPa，再按式(42)可計算出隧道支護結構穩定性系數Fs=1.50。

同理，在彈塑性模型下，采用全斷面開挖法在距離開挖面1 m設置支護時，通過圍巖特征曲線與對應的縱向變形曲線得出支護起點u0=3.529 mm；根據收斂約束原理(如圖9(b)所示)，可得peq=0.230 MPa，再按式(42)可計算出隧道支護結構穩定性系數Fs=1.30。對比應變軟化模型與彈塑性模型下圍巖支護結構的穩定性系數，可知在同等條件下，采用應變軟化模型獲得的圍巖支護結構穩定性系數更高。

圖9 全斷面開挖收斂-約束圖Fig.9 Convergence-confinement diagrams for full-face excavation

假設在距離開挖面1 m時設置支護，當采用雙臺階法開挖時，支護起點u0=4.89 mm，根據收斂-約束原理(如圖10(a)所示)，可得peq=0.141 MPa，再通過式(42)進行計算，可知采用雙臺階法開挖時隧道支護結構穩定性系數Fs=2.12；采用三臺階法開挖時，支護起點u0=4.66 mm，根據收斂-約束原理(如圖10(b)所示)，可得peq=0.118 MPa，再通過式(42)進行計算，可知采用三臺階法開挖時隧道支護結構穩定性系數Fs=2.52。

4.4 支護時機對支護結構安全性的影響

圖10 應變軟化模型下臺階法開挖收斂-約束圖Fig.10 Convergence-confinement diagrams for excavation scheme of bench method under strain softening model

以全斷面為例，采用應變軟化模型計算不同支護起點的隧道支護結構穩定性系數。距離開挖面0，1，2，3，4 和5 m 位置設置支護的收斂-約束圖如圖11所示。由圖11可知：若開挖后立即支護，即圖11中在距離開挖面0 m時施作支護結構，則支護特征曲線不會與圍巖特征曲線相交。這說明當支護結構達到極限抗力時，圍巖仍不能保持穩定，因此，支護結構將發生破壞，此時，應該對施工方法以及支護方案進行修改。

采用全斷面開挖法時，計算得到不同支護時機時圍巖支護結構穩定性系數。同時，利用變形控制率χ表示施作支護后對圍巖變形所起到的控制效果，利用式(43)對不同支護時機下圍巖的變形控制率進行計算。計算結果見表3。

圖11 應變軟化模型下不同支護時機收斂-約束圖Fig.11 Convergence-confinement diagram for different support timings under strain softening model

表3 支護結構穩定系數及圍巖變形控制率Table3 Support structure stability coefficient and surrounding rock deformation control rate

從表3可知：當圍巖穩定時，在距離開挖面越遠處支護，支護結構的穩定性系數越高，圍巖變形越大，對圍巖變形控制效果越差。因此，在選擇支護起點時，不僅要使支護結構發揮出其最大性能，而且要盡可能地控制圍巖變形。

5 結論

1)隨著埋深增大，開挖時圍巖的軟化效應減弱；對于地質強度指標IGS越高的巖體，開挖后其軟化效應越強；巖石的單軸抗壓強度越大，其軟化效應越強。

2)彈塑性模型下圍巖應力釋放較快，產生的最終位移較??；應變軟化模型下得到的支護結構穩定性系數要高于彈塑性模型下的支護結構穩定性系數。

3)不同開挖方法下的圍巖特征曲線與縱向變形曲線存在差異；利用不同開挖方法獲得的圍巖特征曲線，結合支護特征曲線，構建不同的圍巖收斂-約束圖更加符合實際；利用收斂-約束原理計算得知不同開挖方法下隧道支護結構穩定性系數不盡相同，采用全斷面開挖時支護結構穩定性系數要比臺階法的低。

4)選用不同支護起點計算得到的隧道支護結構穩定性系數也會不一樣。過早進行支護可能會造成支護結構穩定性系數偏低，甚至破壞；距離開挖面越遠處支護可以使支護結構穩定性系數更高，但不利于圍巖變形的控制。在實際支護設計中，應綜合分析支護結構穩定性和圍巖變形控制2個因素。