一類非Newton微極流體方程組強解的存在唯一性

史偉偉, 王長佳, 高艷超

(長春理工大學 理學院, 長春 130022)

1 引言與主要結果

微極流體模型[1]是對經典Navier-Stokes方程的推廣, 它考慮了流體顆粒的微觀結構.物理上, 微極流體可表示由懸浮在黏性介質中的剛性隨機取向粒子組成的流體[2], 如懸浮液、潤滑劑、動物血液以及液晶流體等.

令Ω?n(n=2,3)為一光滑有界區域, 考慮如下非Newton微極流體方程組的Dirichlet問題:

(1)

對于系統(1), 若p=2, 則其退化為經典的Newton型微極流體模型, 關于其存在唯一性的研究目前已有很多結果[3-7]; 若p≠2, 則系統(1)成為非Newton微極流體模型.Araújo等[8]通過結合使用Galerkin方法與緊性方法證明了其弱解的存在性, 并討論了解的唯一性與周期性結果； 文獻[9]在二維光滑有界區域上討論了其解的漸近性, 并證明了系統拉回吸引子的存在性以及關于黏性系數的上半連續性.

(2)

引入空間

對于q>r>n和δ>0, 用Bδ表示下列凸集：

‖(ξ,η)‖1,q,r∶=max{‖ξ‖1,q,‖η‖1,r}.

定義1如果下列積分等式成立:

則稱u∈Vp,w∈W01,q(Ω)為問題(1)的弱解.

本文主要結果如下.

2 引 理

引理1[10]設m≥-1為一個整數,Ω?n(n=2,3)為一個有界區域, 邊界?Ω∈Ck, 其中k=(m+2,2)+.則對?ψ∈Wm,ρ(Ω), 方程組

存在唯一解[u,π]∈Wm+2,ρ(Ω)×Wm+1,ρ(Ω), 且估計式

‖u‖m+1,ρ+‖π‖m+1,ρ/≤Cm‖ψ‖m,ρ

成立, 其中Cm=Cm(n,ρ,Ω)是一個正常數.

引理2[11]設rp,γp由式(2)給出, 定義函數G:+→如下：

G(δ)=Aδ2-δ+EδH(δ)+D,

其中A,E,D是正常數, H(x)=x2rp(1+x)(p-4)+.如果不等式

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp

成立, 則G至少有一個根δ0, 且δ0>D.此外, 對每個β∈[1,2], 下列估計式成立：

‖T(u)-T(v)‖Y≤K‖u-v‖Y, ?u,v∈B, 0

則T在B上存在唯一不動點.

3 主要結果的證明

下面應用不動點定理(引理3)給出定理1的證明.首先, 將問題(1)重寫如下：

(4)

(5)

T: (ξ,η)→(u,w).

下面證明對某個δ0>0,T為一個Bδ0到其自身的壓縮映射.

(6)

證明: 設(ξ,η)∈Bδ.由引理1知u∈V2,q, 且有

(7)

對式(7)右端各項, 首先有

(8)

其次由文獻[11]中推導, 可得

(9)

綜合式(7)～(9)可得

其中

另一方面, 由文獻[13]知, 存在常數c1>0, 使得

其中

不妨假設δ≤1, 若使T(Bδ)?Bδ, 則需使下列條件成立：

(11)

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp,

在引理2中取β=2, 又可得

其次, 將式(11)中第二個不等式寫為

(12)

如果判別式

即

則存在δ使得式(12)成立.

取常數D滿足δ-

由于對每個δ∈[δ-,δ+]都有式(12)成立, 故可取δ2∈(δ-,D), 使得下式成立：

綜上, 得

因此, 取δ0=δ1, 有T(Bδ0)?Bδ0.

其中:

首先, 由引理1, 有

對式(14)右端項, 首先有

(15)

根據文獻[11]中推導又有

(16)

(17)

綜合式(14)～(17)可得

(18)

其中

M3=max{CC-1(Cp+1),CC-1Cp(Cpq+1)1/q,CC-1}.

另一方面, 由文獻[13]知存在c2>0, 使得

對式(19)右端各項計算可得

(20)

(21)

綜合式(19)～(22)可得

(23)

其中

結合式(18)與式(23)可得