基于塑性應變能理論的邊坡動力穩定性研究

崔 笑，張 燎 軍，翟 亞 飛，馬 天 驍，何 鎏

(河海大學 水利水電學院，江蘇 南京 210098)

自鄭穎人提出動力強度折減法[1]以來，該方法在邊坡動力穩定分析中得到了諸多應用[2-5]。邊坡安全系數的獲得依賴于所選取的失穩判別準則，但目前學術界和工程界并沒有形成統一且為大家所公認的邊坡動力失穩判別準則。塑性區貫通、迭代不收斂和關鍵點位移突變是目前常用的動力失穩判據，但計算結果也常常不一致[6]，因此，部分學者嘗試探索新的方法來判斷邊坡動力穩定狀態[7]?？紤]到結構失穩是塑性區不斷開展直至貫通失穩的過程，其間結構整體塑性應變能不斷增大直至突變，可以用塑性應變能表征結構穩定狀態。鄭東健[8]基于塑性應變能判據研究了拱壩穩定問題；陳倩倩[9]基于塑性應變能判據研究了材料參數對邊坡穩定性的影響；李志平[10]基于塑性應變能判據研究了多階邊坡穩定狀態，并與理論解進行對比，證明了該判據的可靠性；華成亞[11]將塑性應變能判據應用在三維邊坡穩定分析中。但現有關于塑性應變能判據的研究大多集中在靜力穩定分析，很少涉及到動力穩定分析。

本文將塑性應變能理論和突變理論應用到邊坡動力穩定分析中，通過有限元軟件ABAQUS對某邊坡進行動力穩定分析，提取邊坡震后總塑性應變能并建立與動力折減系數的關系曲線，結合突變理論精準找出震后總塑性應變能突變時對應的動力折減系數，從而確定邊坡安全系數。通過對比研究動力工況下塑性應變能判據、塑性區貫通判據和關鍵點位移突變判據判別機理和計算結果，證明了塑性應變能判據可用于邊坡動力穩定分析，且具有一定優勢。

1 計算理論與方法

1.1 動力強度折減法

動力強度折減法[1]固定地震荷載不變，把邊坡現狀抗剪強度參數(c、φ)等比例折減k倍，然后用折減之后的邊坡抗剪強度參數(c1、φ1)進行動力時程分析，計算公式如下：

(1)

定義使邊坡達到臨界動力失穩狀態時對邊坡抗剪強度參數的折減程度為安全系數。

1.2 塑性應變能理論

在地震荷載作用下，邊坡為維持自身穩定會通過應力和應變的方式對自身進行調節。當荷載破壞性超過邊坡自身調節能力時，邊坡便會失穩破壞。在此過程中，伴隨著塑性應變能不斷增大直至突變失穩的過程。邊坡有限元模型劃分為N個單元結構，其中第I個單元所擁有的塑性應變能計算公式[8]為

(2)

對整個模型所有單元的塑性應變能進行累計得到震后總塑性應變能E，計算公式[8]如下

(3)

1.3 基于塑性應變能的尖點突變模型

人為判斷突變位置會不可避免地產生誤差，通過構造邊坡震后總塑性應變能與動力折減系數的尖點突變模型[12]，將邊坡動力穩定狀態量化為一數學判別式，分析各級動力折減系數下數學判別式與0的大小，從而判定邊坡穩定狀態，可精確判定邊坡動力安全系數。假設邊坡震后總塑性應變能E是隨動力折減系數k變化的連續函數，將其進行4次泰勒級數展開：

E=f(k)=a4k4+a3k3+a2k2+a1k+a0

(4)

E=b4c4+b2c2+b1c+b0

(5)

式中：

(6)

對式(6)求導，令導數等于0，即得平衡曲面方程為

x3+ux+v=0

(7)

其分差集方程為

4u3+27v2=0

(8)

令

Δ=4u3+27v2

(9)

Δ>0時，坡體處于穩定狀態；Δ=0時，坡體處于臨界狀態；Δ<0時，坡體失穩破壞。

2 算例分析

2.1 工程實例

邊坡如圖1所示，基于ABAQUS建立其有限元模型，共有節點1 023個和單元947個，單元類型選用CPE4。選用Mohr-Coulomb本構關系，坡腳β=60°。分別在坡頂、坡中和坡腳處選取三個關鍵點A、B、C。邊坡具體材料參數如表1所示。

圖1 邊坡模型(尺寸單位：m)

表1 邊坡材料物理力學參數表

本文以阻尼比5%，動力放大系數βmax=2.5的反應譜合成一組水平向峰值加速度為0.2g和豎向峰值加速度為0.133g的人造地震波。人造波持時20 s，計算步數為2 000，步長0.01 s，如圖2所示。

圖2 地震加速度時程曲線

本文采用自編程序對底部及四周施加黏彈性邊界[13]，以真實反映遠域地基輻射阻尼對地震波的影響，并將地震波轉換成等效節點力[14]施加在邊界上。

2.2 塑性應變能判據

在動力工況下，對邊坡巖土材料不斷進行軟化，將折減k倍后得到的凝聚力c1和內摩擦角φ1輸入有限元模型中進行計算。獲得多級強度參數下的塑性應變能時程曲線，如圖3所示。其中01 s為靜力工況，塑性應變能隨時間增長沿直線上升；121 s為動力工況，其中15 s和1620 s時地震動較弱，對邊坡造成的破壞不大，塑性應變能變化較小，516 s時地震動較強，對邊坡造成的破壞程度大，塑性應變能增幅明顯。

圖3 總塑性應變能時程曲線

提取多級動力折減系數下地震結束時的總塑性應變能，繪制E-k關系曲線，如圖4所示。從圖中可以看出突變點產生在k=1.31.4之間，為了消除人為判斷的誤差，結合尖點突變理論來定量判斷。

圖4 震后總塑性應變能與動力折減系數關系曲線

當動力折減系數k=1.392時，根據式(2)(9)對前12個包括k=1.392共13個動力折減系數進行4次多項式擬合，得到式E=1000.9k4-4617.9k3+7968.1k2-6091.9k+1741簡化后代入式(6)得突變模型標準式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.68233)+27×0.25632=0.5

當動力折減系數k=1.393時，同上對前13個包括k=1.393共14個動力折減系數進行四次多項式擬合，得到式：

E=1071.8k4-4951.2k3+8553k2-6546.2k+1872.7

簡化后代入式(6)得突變模型標準式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.7353)+27×0.2322=-0.135

結果顯示：k=1.392時，Δ=0.5>0，此時邊坡結構穩定；k=1.393時，Δ=-0.135<0，此時邊坡失穩破壞。所以邊坡動力安全系數處于1.3921.393，為了安全考慮，動力安全系數定為1.392。

2.3 塑性區貫通判據

隨著巖土材料的不斷軟化，塑性區從邊坡最薄弱的地方慢慢開展直至貫通。如圖5所示，當k=1時，塑性區只產生于坡腳一小塊區域內，隨著k的不斷增大，塑性區在慢慢向坡頂擴展；當k=1.32時，塑性區延伸到坡頂，邊坡產生了貫通坡頂和坡腳的滑裂帶。塑性區貫通判據可直觀給出邊坡滑裂帶所在位置，但邊坡是否失穩尚無明確客觀判別指標。

圖5 邊坡塑性應變云圖

2.4 關鍵點位移突變判據

地震荷載不同于靜力荷載，在地震動持續時間內荷載處于往復變化狀態，因此，邊坡位移隨時間也會發生往復變化，僅以地震持續時間內某一時刻的關鍵點位移發生突變不足以判定邊坡失穩，但震后殘余位移發生突變仍可視為邊坡失穩的依據[15]。提取關鍵點A、B、C的豎向殘余位移和水平向殘余位移并分別繪制與動力折減系數的關系曲線，如圖6所示。

圖6 關鍵點殘余位移與動力折減系數關系曲線

從圖6可以看出:關鍵點A和B的豎向殘余位移和水平向殘余位移均有突變現象產生，關鍵點C的殘余位移并沒有突變。根據式(2)(9)以關鍵點A豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點位置在1.381.39間；以關鍵點B豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點位置在動力折減系數1.371.38間?？梢钥闯?，動力工況下關鍵點位移突變判據判定結果與關鍵點所選位置密切相關，而與所選位移方向關系不大。

2.5 材料參數對邊坡動力安全系數的影響

以上分析說明了塑性應變能判據結果比傳統判據更具客觀性，但判據結果的準確性還需進一步證明。由文獻[16]可知，邊坡判據結果會受材料參數影響，為了能有效證明地震荷載下塑性應變能判據結果的準確性。本節改變邊坡凝聚力c和內摩擦角φ的大小，以c=100 kPa，φ=20°為基本參數，設置c在80～120 kPa內變化，φ在10°～40°內變化，對比多種材料參數下的塑性應變能判據、塑性區貫通判據和坡頂關鍵點位移突變判據結果大小，并分別繪制如圖7,8所示的關系曲線。

圖7 不同內摩擦角下邊坡動力安全系數

圖8 不同凝聚力下邊坡動力安全系數

隨著邊坡抗剪強度的增加，塑性應變能判據曲線與關鍵位移突變曲線幾乎一致，稍高于塑性區貫通判據曲線，但差距不大，說明塑性應變能判據判定結果與傳統判據結果數值上相差不大，以塑性應變能突變為動力失穩判別標準得到的邊坡安全系數準確性有保證。

3 結 論

(1)邊坡震后總塑性應變能隨著折減程度增大而增大，當邊坡強度折減到失穩臨界值時，塑性應變能便會發生突變，以邊坡震后總塑性應變能突變為失穩判別標準，再結合尖點突變理論可以定量給出邊坡動力安全系數。

(2)相比于塑性區貫通判據缺乏定量判斷指標的缺陷，關鍵點位移突變判據又受關鍵點選取位置影響較大，塑性應變能判據以邊坡震后整體塑性應變能這一單值標量為動力失穩考察量，不會受過多人為因素影響，判定結果唯一。

(3)在地震荷載作用下，塑性應變能判據結果與關鍵點位移突變判據給出的結果數值上基本一致，稍大于塑性區貫通判據結果，動力工況下塑性應變能判據結果準確性具有可靠保證。