考慮自動化/人工混合站位的裝配系統瞬態產能計算方法

侯宇戡，李 原，張 杰，姜壽山

(西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072)

0 引言

智能決策是構建智能車間的關鍵要素之一，而準確掌握系統實時運行狀態是影響智能決策制定的先決條件[1-2]。在航空航天復雜零部件產品裝配環節中，裝配系統具有自動化/人工站位混合程度高[3]、待裝配零件/工具選擇種類多[4]、緩沖區容量設置靈活性高[5]等特點，從而使系統的實時產能變化呈現出較強的耦合性與非線性，成為制約系統智能決策制定的瓶頸。因此，有必要針對自動化/人工站位混合的裝配系統開展系統實時產能建模分析，以提升智能制造體系下系統狀態的感知能力，并為航空航天類復雜零部件產品生產系統中智能化精準決策的實現奠定基礎[6]。

制造系統瞬態性能的提出是為了描述任意時刻系統運行的性能，相對于保持不變的穩態性能，其能夠真實反映系統性能隨時間的動態變化[7]。數十年來，針對離散生產系統建模問題，國內外學者們開展了大量研究，然而大多數研究方法均針對系統穩態性能開展[8-9]。例如，最早的裝配系統建模研究主要基于排隊模型，對簡單的三站位結構裝配系統進行了有效分析[10]；隨后Petri網也被用于解決裝配系統的建模與分析問題[11]。因為系統運行中各工作站位的隨機故障與各緩沖區的容量限制互相影響，會加劇生產節拍的波動，所以針對具有不可靠設備及有限容量緩沖區的裝配系統建模問題最為復雜且更符合工程實際需求。Gershwin[12]提出一種基于分解與合并的方法，可以有效地對幾何分布型工作設備可靠性模型和具有有限容量緩沖區的裝配系統進行穩態性能分析；Chiang等[13]研究了具有伯努利型工作設備和有限容量緩沖區裝配系統的穩態性能評估問題。相對于比較成熟的制造系統穩態性能研究，有關系統瞬態性能的建模和分析方法仍比較少，現有研究主要圍繞串行制造系統提出。例如，Meerkov等[14]研究了兩站位生產系統的瞬態性能問題；Wang等[15]研究了生產系統具有多個站位及有限容量緩沖區的情況；Ge等[16]對具有返工回路的串行制造系統的瞬態性能進行了分析；而有關不可靠工作設備和有限容量緩沖區的裝配系統瞬態性能分析問題仍亟待解決。

在自動化/人工兩類站位混合并存的裝配系統中，自動化站位指不需操作人員干預的自動化程度較高的加工站位，人工站位指工藝過程需要操作人員參與的自動化程度較低的站位。自動化站位的可靠性在工藝裝備制造完成后已確定，而且在正常使用過程中波動較小，一般通過加工成品率來度量；對于人工站位而言，由于待裝配零件/工具的選擇種類較多，操作人員在對象和工具選擇中的人為操作失誤是影響站位可靠性最主要的因素[17]。從信息論的角度來看，待裝配零件/工具的種類數量越高，裝配選擇過程的不確定性就越大，而理解它所需要的信息量就越多。例如，Zhu等[18]基于信息熵提出操作人員選擇復雜性(Operator Choice Complexity, OCC)，用以對選擇過程中的平均不確定性和隨機性進行度量，研究表明裝配選擇種類的信息熵與其有序程度成反比；Liu[19]發現了操作人員的平均反應時間與選擇對象的對數函數之間存在線性關系。類似地，人因可靠性分析方法也是研究人行為理論和失誤的研究方法，經典的研究模型主要有失誤預測技術(Technique for Error Rate Prediction, THERP)、成功似然指數法(Success Likelihood Index Methodology, SLIM)、認知可靠性模型(Human Cognitive Reliability, HCR)等，其中HCR模型提供了一種基于實驗數據的精確模擬方法，能夠較為客觀地對人因失誤的機理進行研究。例如，Yang等[20]基于HCR方法研究了操作人員在進行選擇過程中的可靠性模型，具體表達為以平均反應時間為自變量的威布爾分布函數或對數正態分布函數?；贚iu[19]和Yang等[20]的研究成果，本文將對裝配系統中人工站位的可靠性模型進行表征，以為系統瞬態性能計算提供有效的支持。

本文在考慮自動化/人工站位混合、待裝配零件/工具選擇多樣性、有限容量緩沖區的基礎上，提出一種裝配系統瞬態產能計算的新方法。本文的研究重點是解析裝配系統中各類變量間的耦合作用關系，并對系統的非線性瞬態產能進行有效預測，因此假設所研究的裝配系統各站位具有相同的加工速率，以降低建模過程的復雜性。

1 問題描述及建模假設

典型的裝配系統結構如圖1所示，其中mi,j表示工作站位，bi,j表示站位間的緩沖區(i=1,2，j=1,2,…,Ni)；生產線(m1,1,m1,2,…,m1,N1)和(m2,1,m2,2,…,m2,N2)是為最終產品提供零件供應的兩條分支生產線，兩種零件將在主生產線(m3,1,m3,2,…,m3,N3)上進行組裝和后續加工；N1,N2,N3表示每條生產線所包含的工作站位的個數(N1≥1，N2≥1，N3≥1)。假設mi,j在任意時刻處于非故障的概率為Pi,j，相應地，mi,j在任意時刻處于故障的概率為1-Pi,j。由于各站位處于非故障或故障屬于站位本身的失效狀態且不受其他站位的影響，每個站位在任意時刻處于何種狀態為相互獨立事件。假設mi,j上的工具種類數量為Ti,j，待裝配零件種類數量為Ai,j，bi,j的最大庫存量為Qi,j?；诨旌险疚坏难b配系統瞬態產能模型將基于圖1所示的系統結構建立，前文已經假設該裝配系統各工作站位在單位時間內可處理相同個數的零件，為降低計算復雜度，進一步假設其數量為1。與此同時，將生產計劃總時間按照各站位相同的加工時間均勻且離散地分成若干時間段，假設離散時間段的總數為M，則初始時刻表示為t=0，第一個時刻結束表示為t=1，最后時刻表示為t=M。

為了對裝配系統進行瞬態產能建模，還需采用一些離散生產系統建模的基本假設：①兩條裝配支線上的第一臺工作站位永遠不會處于饑餓狀態(原料充足)，主生產線上的最后一臺工作站位永遠不會處于阻塞狀態(訂單不斷)；②工作站位所處的狀態在每個時間段的開始確定，緩沖區的狀態在每個時間段的末尾確定；③生產過程滿足“時間相關故障”和“加工前阻塞”的假設[9]。

2 裝配系統瞬態躍遷模型

2.1 混合站位可靠性模型

自動化站位的可靠性在工藝裝備確定時已經基本確定，而且在正常生產中波動較小，成品率是其可靠性特征的重要指標，因此可以使用產品的成品率度量此類站位的可靠性。對于需要操作人員支持的人工裝配站位，由于工具種類多、零件數量大，操作人員需要從一定數量的工具和零件中挑選出正確的對象來完成工藝操作，因此其站位可靠性由操作人員的選擇可靠性和工藝可靠性共同決定。根據OCC的定義[18]，mi,j的操作人員對Ti,j和Ai,j的OCC可以表示為信息熵的形式：

(1)

(2)

(3)

在式(3)的基礎上，根據Yang等[20]的研究，人工站位mi,j的可靠性計算公式為

Pi,j=ωi,j·e-[RTi,j/ηi,j]γ。

(4)

式中：ωi,j為mi,j上的工藝可靠性；ηi,j為威布爾可靠性函數的比例參數；γ(γ>1)為威布爾可靠性函數的風險率。從式(4)可以看出：①當人工站位裝配操作過程的OCC為0時，其站位可靠性只取決于ωi,j；②當Ti,j或Ai,j的數量增多，即OCC增大時，人工站位的可靠性降低。

2.2 系統瞬態躍遷描述模型

為了在裝配系統中公式化描述生產運行規則，引入如下算子和符號來描述某些特定對象或者特定事件的發生：

(1)采用算子P描述事件E發生的概率，即P[E]。

(2)采用算子Ф描述對象O在時刻t處于狀態S的事件，即Ф(O,S,t)。

(3)采用算子H描述多個對象(O1，O2，O3，…)在時刻t分別處于狀態(S1，S2，S3，…)的事件，即H(O1,O2,O3,…/S1,S2,S3,…,t)。

因此，可以得到如下推導：

P[H(b1,b2,b3/k1,k2,k3,t)]

(5)

(4)采用算子T描述特定對象O在時間t內從狀態S1轉變到S2的概率，即TS2,S1(t)。

(5)采用以下符號描述某特定工作站位在單位時間內所處的不同狀態：

Up表示站位在單位時間段內處于非故障的運行狀態；

Dn表示站位在單位時間段內處于故障的停機狀態；

Pr表示站位在單位時間段內處于生產的狀態；

nPr表示站位在單位時間段內處于不生產的狀態；

St表示站位在單位時間段內處于饑餓的狀態；

nSt表示站位在單位時間段內處于不饑餓的狀態；

Bl表示站位在單位時間段內處于阻塞的狀態；

nBl表示站位在單位時間段內處于不阻塞的狀態；

Id表示站位在單位時間段內處于空閑的狀態；

θ表示站位所有可能發生狀態的全集。

基于上述定義的站位狀態表示方法，系統中工作站位各狀態之間的邏輯關系如圖2所示。在系統運行中，各站位在任意時間都有不同的運行狀態(如生產、饑餓、阻塞等)，一般每個站位在任意時間段內只能處于一種特定的狀態，除非該狀態可以與其他狀態同時發生，例如饑餓與阻塞可以同時發生。在圖2所示站位狀態關系的基礎上，采用算子Ф可得：

Φ(mi,j,Pr,t)=Φ(mi,j,Up,t)∩

Φ(mi,j,nSt,t)∩Φ(mi,j,nBl,t)；

Φ(mi,j,nPr,t)=Φ(mi,j,Dn,t)∪

Φ(mi,j,St,t)∪Φ(mi,j,Bl,t)；

Φ(mi,j,Up,t)∪Φ(mi,j,Dn,t)=θ；

Φ(mi,j,Up,t)∩Φ(mi,j,Dn,t)=?；

Φ(mi,j,Pr,t)∩Φ(mi,j,St,t)=?；

Φ(mi,j,Pr,t)∩Φ(mi,j,Bl,t)=?。

(6)

因為各工作站位具有無記憶性，所以采用緩沖區的即時占用量描述系統的瞬時狀態。系統瞬時狀態變化的根本原因是各站位在生產過程中隨機地呈現出不同的運行狀態。為了對該過程進行說明，以圖3所示的三站位裝配系統(N1=N2=N3=1)為例，假設三元數組(αβγ)表示緩沖區b1，b2，b3的即時占用量(α,β,γ∈N，α≤Q1，β≤Q2，γ≤Q3)。通常情況下，裝配系統在開始生產時各緩沖區的占用量均為0，因此(000)表示t=0時刻系統所處的狀態。隨著時間的推移，系統內緩沖區占用量的變化會根據站位處于非故障或故障狀態而發生相應的變化，假設“×”表示工作站位在單位時間內處于故障的停機狀態，“√”表示工作站位在單位時間內處于非故障運行狀態，則圖3所示裝配系統的站位組合狀態可以定義為8種不同類型，如表1所示。在不同類型的站位組合狀態的影響下，緩沖區的瞬時狀態將進行規律性地躍遷，如圖3所示。例如，假設系統在t=0時刻的狀態為(000)，而且站位組合狀態為表1中的A(或者B)類型，則系統在t=1時刻的瞬時狀態仍為(000)。由此可見，在8種不同類型的站位組合狀態作用下，系統在t=1時刻只能處于(000)(100)(110)(010)4種狀態中的某一種。類似地，若系統在t=1時刻的狀態為(100)，則在t=2時刻系統只可能處于(100)(110)(200)(210)4種狀態中的某一種?；谒阕覲和算子H，上述系統瞬態的躍遷關系可表示為

P[H(b1,b2,b3/k1,k2,k3,t)]

(7)

(8)

表1 三站位裝配系統站位組合狀態集

2.3 系統瞬態映射關系解析

基于圖4所示的瞬態轉移關系，根據全概率公式可得：

P[Φ(bi,j,2,t-1)]；

P[Φ(bi,j,3,t-1)]；

…

P[Φ(bi,j,k+1,t-1)]，0≤k≤Qi,j-1；

…

P[Φ(bi,j,Qi,j-2,t-1)]，0≤k≤Qi,j-1；

P[Φ(bi,j,Qi,j,t-1)]。

(9)

式(9)中所有的狀態概率滿足

(10)

式(9)也可以改寫為如下矩陣運算的形式：

(11)

可見，式(11)所描述的函數關系即為式(8)中的映射函數?！?)。

2.4 站位瞬態行為逆向建模

系統瞬時狀態變化的根本原因是各站位在生產過程中呈現出不同的運行狀態，因此可以基于這種關系對站位的瞬態行為進行逆向建模，以實現對轉移概率的求解。實際上，裝配系統內每個緩沖區即時占用量的變化均與其上下游工作站位狀態的變化嚴格對應。例如，當bi,j的即時占用量在時刻t-1為k且在時刻t為k+1時，在時刻t-1～t的單位時間內mi,j一定處于Pr狀態，且mi,j+1一定處于nPr狀態；類似地，當bi,j的即時占用量在時刻t-1為k+1且在時刻t為k時，在時刻t-1～t的單位時間內mi,j一定處于nPr狀態，且mi,j+1一定處于Pr狀態；當bi,j的即時占用量在時刻t-1和時刻t均為k時，在時刻t-1～t的單位時間內mi,j和mi,j+1一定同時處于Pr或nPr狀態。

=P[Φ(mi,j,pr,t)∩Φ(mi,j+1,npr,t)|

Φ(bi,j,k,t-1)]。

(12)

(1)當k=0時，由于Φ(bi,j,0,t-1)]?Φ(mi,j+1,npr,t)，可得

P[Φ(mi,j+1,npr,t)|Φ(bi,j,k,t-1)]=0；

(13)

因此

(14)

根據式(6)可得

nSt,t)∩Φ(mi,j,nBl,t)|Φ(bi,j,k,t-1)]；

(15)

由于Φ(bi,j,k,t-1)]?Φ(mi,j,nBl,t)，可得P[Φ(mi,j,nBl,t)|Φ(bi,j,k,t-1)]=1。因此，可以進行如下推導：

Φ(bi,j,k,t-1)]=Pi,j-P[Φ(mi,j,St,t)]。

(16)

(2)當0

Φ(mi,j,nBl,t)∩(Φ(mi,j+1,Dn,t)∪

Φ(mi,j+1,St,t)∪Φ(mi,j+1,Bl,t))|

Φ(bi,j,k,t-1)]；

(17)

因為Φ(bi,j,k,t-1)]?Φ(mi,j,nBl,t)，可得P[Φ(mi,j,nBl,t)|Φ(bi,j,k,t-1)]=1，而且存在

P[Φ(mi,j+1,St,t)|Φ(bi,j,k,t-1)]=0，

(18)

所以可得

(Φ(mi,j+1,Dn,t)∪Φ(mi,j+1,Bl,t))|

Φ(bi,j,k,t-1)]；

(19)

根據式(6)可得

(1-Pi,j+1+P[Φ(mi,j+1,Bl,t)])。

(20)

綜上，

(21)

(22)

(23)

3 裝配系統瞬態模型的求解

若某站位在單位時間內處于饑餓狀態，則表示雖然該站位處于非故障狀態，但是由于其上游緩沖區在此時刻的即時占用量為零，導致該站位因原材料缺失而無法正常完成生產任務。因此，mi,j在時刻t處于St狀態的概率為

P[Φ(mi,j,St,t)]=

(24)

若某站位在單位時間內處于阻塞狀態，則表示雖然該站位處于非故障狀態，但是由于其下游緩沖區在此時刻的即時占用量達到上限，而且下一個工作站位在單位時間內也無法立即接收零件以減小上游緩沖區的庫存占用量，導致該站位因零件加工后無法移出而產生空閑。因此，mi,j在時刻t處于Bl狀態的概率為

P[Φ(mi,j,Bl,t)]=

(25)

基于圖2所示的工作站位狀態關系，推導出mi,j在時刻t的瞬態生產率為

P[Φ(mi,j,Pr,t)]=P[Φ(mi,j,

Up,t)∩Φ(mi,j,nSt,t)∩Φ(mi,j,nBl,t)]

=Pi,j-P[Φ(mi,j,St,t)]-P[Φ(mi,j,

Bl,t)]+P[Φ(mi,j,St,t)∩Φ(mi,j,Bl,t)]。

(26)

裝配系統瞬時狀態的躍遷可以通過系統緩沖區即時占用量的變化進行描述，因此系統前后時刻瞬態的映射關系可以用緩沖區即時占用量的轉移矩陣表征。通過有效解析裝配系統的實際運行規則，可以實現站位瞬態行為的逆向建模，從而求解各緩沖區的轉移概率?；谏鲜龇治?，將式(21)～式(25)帶入式(11)，可見系統在時刻t的瞬時狀態只與時刻t-1的瞬時狀態相關，這與式(8)得到的結論完全相同。因此，一旦給定系統在t=0時刻的緩沖區即時占用量和系統參數設置，就可以通過式(11)計算t=1時刻的緩沖區水平，重復該步驟，則可遞推式確定系統在以后任意時刻的瞬時狀態。實質上，以遞推式方法不斷計算緩沖區即時占用量的過程正是通過系統建模的方式模擬系統的真實運行過程。在獲取系統任意時刻的瞬態信息后，裝配系統的瞬態生產率可采用式(26)計算。

4 實例分析

為了說明本文所提方法的有效性，采用不同結構的裝配系統以及不同系統參數的設置方案開展實例分析。在圖1所示的裝配系統中，通過設置不同的N1，N2，N3來設計不同的系統結構，如表2所示。假設已經基于生產數據計算出裝配系統各站位的可靠性數值，在此基礎上設計了4種方案的系統參數設置，如表3所示。

表2 裝配系統的4種結構

表3 裝配系統參數設置的4種方案

假設4種結構的裝配系統在時刻t的緩沖區狀態均為S(t)，有

Si(t)=

(27)

式中Si(t)表示bi在時刻t的瞬時狀態(i=1,2,…,v;v=N1+N2+N3-1)。在系統運行的初始時刻，即t=0時刻，系統中各緩沖區的即時占用量均為零。針對4種結構的裝配系統，在4種參數設置方案下使用本文所提計算方法，當滿足迭代運算的收斂條件‖S(t+1)-S(t)‖≤10-5時，系統最終達到穩態，記為S(d)。因為τ=‖S(t+1)-S(d)‖可被用于描述系統在運行過程中達到穩態的收斂速率，所以繪制4種結構裝配系統在4種參數方案下τ的變化曲線，以對本文所提方法的收斂性進行說明，如圖5所示。

從圖5可見，對于4種結構裝配系統與4種參數設置方案組成的所有案例，本文所提方法均能快速收斂，即系統運行可以達到穩態。同時，若系統內各站位的可靠性數值相同，則緩沖區的最大庫存量越小，系統到達穩態的速度越快；若緩沖區的最大庫存量相同，則站位可靠性數值越小，系統到達穩態的速度越快。

以結構4的裝配系統為例，采用本文方法計算4種參數設置方案下的系統瞬態生產率，記為案例1～案例4，其生產率曲線如圖6所示；同時，在Em_plant仿真軟件平臺上對以上4種案例進行仿真模擬，其仿真運算結果分別繪制于圖6a～圖6d中，以對本文所提方法的有效性進行說明。

從圖6可見，對于以上4種案例，本文方法所計算的裝配系統瞬態生產率均較好。同時，在4種案例中，本文方法的計算結果均能獲得與仿真模擬運算、經典穩態性能分析方法[9]的計算結果相同的穩態值，說明本文方法在求解系統穩態產能方面是有效的。

為了驗證本文方法的適用性，針對結構4的裝配系統應用本文方法計算了多種參數設置下的穩態生產率。具體地，假設所有站位具有相同的可靠性數值R，同時R以步長0.05從0.60均勻地變化到0.99；所有緩沖區具有相同的最大庫存水平Q，同時Q從1均勻地增加到10。對所有參數設置情況應用本文方法、仿真模擬和經典穩態性能計算方法[9]，所得的系統穩態生產率(PR)如圖7和圖8所示。

從圖7可見，對于任意參數設置下的結構4裝配系統，本文方法均能獲得與經典穩態方法相同的計算結果；從圖8可見，本文方法的計算誤差會隨Q的減小而增大，然而即使在Q=1時計算誤差達到最大的情況下，其誤差也仍小于3%，說明了本文方法的適用性。

5 結束語

本文針對自動化/人工兩類站位混合并存的裝配系統，在考慮待裝配零件/工具選擇多樣性、緩沖區容量設置靈活性等特點的基礎上，提出一種裝配系統瞬態產能的計算方法。該方法基于信息熵理論和認知可靠性模型構建了站位可靠性模型；通過構造工作站位與緩沖區的瞬時狀態集實現了系統運行中站位瞬態行為的逆向建模；推導了系統瞬態映射關系矩陣并采用遞推法對瞬態產能進行求解。研究成果有助于提升智能制造體系下系統狀態的感知能力，奠定航空航天類復雜零部件產品生產中智能決策的實現基礎，下一步研究工作將圍繞智能車間中精準決策的制定展開。