股票市場的高維動態因子模型及其實證分析

鄭紅景，蔣夢夢，周 杰

西安電子科技大學 數學與統計學院，西安710126

1 引言

收益率和波動率是諸多經濟和金融研究的重要方面。收益率反映了金融市場的價格波動，波動率則體現了價格波動的劇烈程度。收益率及其波動情況關系到證券組合的選擇和風險管理?，F實中一些國內政策及隨機性事件，如宏觀調控、市場突發事件等都會對股票市場產生影響。目前對這些因素的研究主要有主成分分析、線性回歸分析等，但這些方法僅能處理低維數據，尤其是線性回歸分析，只能分析特定因素對結果的影響，因此本文構建了動態因子模型（DFM）。動態因子模型可以從數據集中提取少量公共因子，來反映其對股票收益率和波動率的影響。

從現實情形看，科學技術不斷發展，政府統計的數據也在增多，由此帶來了處理高維數據的難題。動態因子模型是傳統因子模型在時間序列方面的推廣與發展，擅長處理觀測時間點個數大于觀測變量個數的數據[1-2]。若觀測變量維數較高，且因子的影響有限，觀測方程的因子載荷矩陣往往是稀疏陣。目前為止動態因子模型的估計方法有三種，一是狀態空間和極大似然估計法[3]，但它只能處理低維的動態因子模型。二是提取主成分法[4]，三是主成分和狀態空間的混合估計法[5]，后面兩者都不能得到稀疏的因子載荷矩陣。為解決以上問題，本文引入ERM（Expectation-Regularization-Maximization）算法[6]，利用ERM可得到高維動態因子模型的稀疏參數估計，而稀疏性也符合金融市場的實際情況。

將提出的模型及算法，應用到深滬交所的股票數據中，發現了收益率模型和波動率模型中都包含共同因子和行業因子，本文也分析了這些因子的波動趨勢及其原因。此外，還引入因子貢獻率來對比兩種因子對行業股票的影響程度。

2 動態因子模型

動態因子模型將n維可觀測變量yt描述成由幾個不可觀測的少量的公共因子xt和均值為0的特質因子εt組成，其基本形式是：

其中，yt,εt∈Rn×1，動態因子的個數是q，所以xt,et∈Rq×1,t=1,2,…,T，滯后算子多項式矩陣λ(L)∈Rn×q，Ψ(L)∈Rq×q,L是滯后階數，假定Q和R均為對角陣。這里已對yt進行了標準化，去除截距項。

式（1）中模型在沒有任何約束的情況下是不可識別的，為使模型可識別[7-8]，加入以下約束條件：

（1）本文假定因子載荷矩陣λ(L)的滯后階數為1階，并記為C，且限定C的前q-1行，當i=1,2,…,q-1且j＞i時，Cij=0。

（2）Ψ(L)為單位陣。

此時，模型可以簡寫為狀態空間模型[9]的形式：

其中， x1～N(μ0,Σ0)。

通過對因子載荷矩陣C的估計，可以得到yt與隱含的公共因子xt的相關關系。若Cij≠0，代表在其他因素保持不變的前提下，股票的公共因子xt每增加一個單位，股票i的取值改變Cij個單位，若Cij=0，則此公共因子不影響股票i。

3 高維因子模型的參數估計

在模型中待估計的量為θ=(C,Q,R,μ0,Σ0)，核心問題是因子載荷矩陣C的估計。通?？梢酝ㄟ^極大似然估計來計算θ，但在高維情況下，矩陣C是稀疏的，狀態空間和極大似然估計法只能處理維度較低的模型，提取主成分法和主成分與狀態空間的混合法都無法將C中極小的數值壓縮為0。因此，本文采用帶懲罰的EM算法（ERM），即在EM算法中加入正則項，以此得到矩陣C的稀疏估計。

ERM算法分三步：E步用卡爾曼濾波和光滑[10]來計算公共因子xt其統計量，并求出條件期望似然函數；R步利用正則化，得到因子載荷矩陣C的稀疏估計；M步極大化條件期望似然函數，得到其余未知參數Q,R,μ0,Σ0的估計，具體算法如下。

E步，動態因子模型的聯合似然函數為：

則其對數似然函數的條件期望為：

計算θr時用到的狀態變量及它的充分統計量有：

式（6）統計量可由卡爾曼濾波和光滑過程得到。

R步，利用自適應lasso[11]、彈性網[12]和自適應彈性網[13]實現正則化。

首先利用EM算法，通過最大化對數似然函數的條件期望來得到因子載荷矩陣C的不稀疏估計。即Ψ關于C求偏導，有：

令式（7）等于0，C的極大似然估計為：

然后通過極小化損失函數加正則項的方法，用LARS算法實現自適應lasso、彈性網和自適應彈性網估計，來得到稀疏的C。先將式（2a）寫成偽回歸形式，令：

這里 vec是拉直算子， ?表示Kronecker積。則偽回歸為：

最大化對數似然函數等價于極小化損失函數，帶懲罰的損失函數為：其中，λ是一個調優參數，L(c)是正則項。自適應lasso對應的是，其中，彈性網對應的是，自適應彈性網對應的是

用LARS算法求解式（10），得到c的估計，然后將維數為nq×1的向量c變形為n×q維的矩陣C。隨著λ逐漸變大，C中的部分元素會逐漸被壓縮為0，當λ足夠大時，元素可能全部被縮小為0。因此，適當地確定調優參數λ是很重要的，本文采用的評估依據是擴展的貝葉斯信息準則（EBIC）[14]。

M步，用E步的充分統計量和R步得到的Cr-1，對條件期望似然函數關于Q,R,μ0,Σ0分別求偏導數，令偏導數等于0，得到這些參數的估計：

4 仿真實驗

本文共設定了三個仿真實驗，且采用三種不同的正則化方法實現估計：

實驗1 n=40,q=4,T=300，待估計的因子載荷矩陣C中元素有160個，非0元素占比p分別為10%、20%、30%。

實驗2 n=60,q=4,T=300，待估計的因子載荷矩陣C中元素有240個，非0元素占比p分別也是10%、20%、30%。

實驗3 n=60,q=4,T=500，待估計的因子載荷矩陣中C元素有240個，非0元素占比p分別也是10%、20%、30%。

三個實驗都設定Q=0.01?In×n,R=0.01?Iq×q。按照以上設計，用100個不同的因子載荷矩陣隨機產生100組數據，重復實驗。為了評價ERM算法的性能，計算了因子載荷矩陣C的假陽率（FP）和假陰率（FN），計算方法為：

表1 實驗1仿真結果(n=40,q=4,T=300)

表2 實驗2仿真結果(n=60,q=4,T=300)

表3 實驗3仿真結果(n=60,q=4,T=500)

（1）對比三種正則化方法，自適應彈性網的效果優于自適應lasso和彈性網。

（2）對比表1和表2，在控制其他因素不變的前提下，當待估計的元素個數逐漸增加時，FP和FN都會略有增加。

（3）對比表2和表3，在控制其他因素不變的前提下，當觀測時間點個數增加時，FP和FN都有減少，這是因為當觀測數據增加時，包含的信息也會越來越準確。

5 股票市場收益率和波動率

本文隨機選取了深滬交所上市的120支股票（即A股）其中包含通信行業、制造業和互聯網行業各30支，其余30支為其他行業股票，數據為2018年1月2日到2018年12月28日（除節假日）的共242天的收盤價。

股票i的第t天收盤價為sit，對數收益率為yit=ln sitln si(t-1)。股票的歷史波動率[15]為由于n+1為股票價格時間區間，而本文計算的是日化波動率，則n=1，且對y已進行標準化處理，故hit=|yit|，此時hit全為正數，為使數據更好地服從正態分布，本文將收益率的平方取對數作為對數波動率git=。

5.1 股票收益率模型

在模型估計時，首先要確定公共因子個數，常用的方法有陡坡圖法[16]和IC信息準則法[17]等，但當因子相關性較高時陡坡圖法會造成重復。除此之外，由于因子載荷矩陣的稀疏性，經IC信息準則法估計出的因子載荷矩陣的某一列可能全部為0，不符合所確定的因子個數，因此也不適用。為解決以上問題本文提出一種新的方法：預先給定不同的因子個數，根據估計的稀疏的因子載荷矩陣，直接得到公共因子的實際個數及實際的因子載荷矩陣。

先假定因子個數分別為q=5,8,9,由此得到了股票收益率模型的參數估計。雖然q個數不同，但因子載荷矩陣C中都只有3列元素有非0元素，且其對應元素位置和大小相似，因此實際上公共因子個數為3。此外因子載荷矩陣中元素絕大部分為正數，可知公共因子與大部分股票收益率呈正相關，即因子向上波動時對收益率有積極影響，反之有消極影響。

5.1.1 通信因子

由于因子載荷矩陣的稀疏性，表4列出的是因子載荷矩陣的第1列中前12支非0元素（按絕對值大小排序）及其對應的股票和所屬行業。

從表4可知這些股票大部分屬于通信行業，因此可將該公共因子歸結為通信因子。通信因子隨時間變化的線圖，如圖1。

圖1 通信因子隨時間變化線圖（收益率模型）

分析圖1，發現通信因子在年初、7到8月有小幅度的向上波動，5月因子也有明顯的向上波動。

結合政策因素分析，發現在通信行業，2月份發改委通知5G規模組網建設工作逐步展開，5月底，5G已經完成第一階段全功能標準化工作，進入了沖刺新階段，7月到8月底，5G技術研發實驗第三階段逐步完成。由此說明了此因子與5G技術的研發有關。

5.1.2 共同因子

因子載荷矩陣的第2列元素大部分非0，表5列出的是前20個（按絕對值大小排序）的非0元素及其對應的股票和所屬行業。

由表5可知此公共因子對應的因子載荷矩陣中元素大部分非0，即對大部分股票都有影響，因此可稱其共同因子。共同因子隨時間變化的線圖，如圖2。

圖2 共同因子隨時間變換線圖（收益率模型）

由圖2可知共同因子在年初、3月下旬、6月15日左右、10月中旬都出現了明顯的向下波動，而10月下旬出現了向上波動的趨勢，其余時刻處于相對平穩狀態。

究其原因，3月份美國推出多項針對中國的貿易措施，導致A股大幅下跌。6月份美國再度加息，同時對華貿易爭端升級，對國內股市影響加大。而10月底，面對A股滬指的弱勢，央行、銀保監會全力維穩市場，同時也推出各項改革政策致力于穩定我國股票市場。

表4 通信因子影響的股票（收益率模型）

5.1.3 制造因子

表6是因子載荷矩陣的第4列中前12支非0元素（按絕對值大小排序）及其對應的股票和所屬行業。

從表6可以看出，這些股票大多是制造業，故將此公共因子歸為制造因子。制造因子隨時間變化線圖，如圖3所示。

圖3 制造因子隨時間變換線圖（收益率模型）

由圖3知，制造因子在6月中下旬有明顯向下波動的現象，而在10月下旬到11月初因子向上波動。結合當前形勢，這與中美貿易戰爭有關。6月份，美國加大了中國出口貨物的稅率。但在10月份，我國深入實施推進制造業建設解決深層次矛盾，對制造業產生了積極影響。

5.2 股票波動率模型

與收益率模型一樣，也假定因子個數分別為q=5,8,9,由此得到了股票波動率模型的參數估計，所有因子載荷矩陣C中都只有2列元素有非0元素，且其對應元素位置和大小相似，因此實際上公共因子個數為2。且因子載荷矩陣中元素絕大部分為正數，可知公共因子與大部分股票波動率呈正相關。

5.2.1 共同因子

因子載荷矩陣的第1列元素大部分非0，表7列出的是前20個的非0元素（按絕對值大小排序）及其對應的股票和所屬行業。

由表7可知此公共因子影響全國大部分股票，故稱其為共同因子。共同因子隨時間變化的線圖，如圖4。

表5 共同因子影響的股票（收益率模型）

表6 制造因子影響的股票（收益率模型）

表7 共同因子影響的股票（波動率模型）

圖4 共同因子隨時間變換線圖（波動率模型）

由圖4可知共同因子在1月下旬、5月底、10月中下旬都出現了明顯向下波動，其余時刻波動相對較小。

從政策方面看，1月金融監管政策密集出臺，貨幣政策也致力于維持流動性穩定，5月中美貿易關系日趨緊張，美國以貿易戰為突破口實施對華遏制戰略，旨在打擊我國對外貿易，10月份外圍氛圍爭端持續升級，國內經濟增長已然持續承壓。由此可見，中美貿易戰爭對我國金融市場產生了很多負面影響。

5.2.2 互聯網因子

表8是因子載荷矩陣的第3列中前12支非0元素（按絕對值大小排序）及其對應的股票和所屬行業。

表8中股票大多為互聯網行業，可將此公共因子歸為互聯網因子?；ヂ摼W因子隨時間變化的線圖，如圖5。

圖5可以看出，互聯網因子在2018年大多數時間都是呈現向上的波動，這與2018年人工智能領域的快速發展有關。因子在8月7日和11月中下旬有兩次明顯的波峰，這應該是與國家政策有關，8月有20多個省市發布相關文件和扶持政策，10月31日中共中央政治局進行的集體學習中，習總書記強調了人工智能發展的重要性。

圖5 互聯網因子隨時間變換線圖（波動率模型）

5.3 收益率模型和波動率模型的異同

5.3.1 公共因子類型異同

分析兩個模型的兩個共同因子，發現兩者波峰和波谷出現的時間和原因有相似之處，這是因為國內金融市場的重大事件如中美貿易爭端和政府出臺的政策措施，對兩者均有影響。但其他因子只對二者之一產生影響，如在收益率模型中的通信因子只對通信行業的收益率產生了影響；而波動率模型中的互聯網因子只對互聯網領域的波動率有影響。

5.3.2 模型中各公共因子的貢獻率

由于共同因子影響大部分股票，而行業因子只影響某行業股票，為研究兩種因子對行業股票的影響程度，本文進一步利用方差分解的方法進行度量?；驹硎牵河嬎忝總€行業因子和共同因子的方差vi占總方差的比例作為因子的貢獻率，即。具體結果見表9。

由表9可知，在收益率模型的通信行業和制造業，共同因子的貢獻率比行業因子的貢獻率略大，說明共同因子對股票收益率的影響要大于行業因子。但在波動率模型中互聯網行業的行業因子貢獻率要遠大于共同因子，也就是說股票波動率受行業因子的影響更大。

6 結束語

本文基于高維動態因子模型，建立了金融市場的收益率和波動率模型，引入ERM算法得到了稀疏的參數估計。通過對滬深交所股票市場的分析，兩個模型中都有一個因子影響大部分股票，為共同因子，而其他因子是只對部分行業股票有影響的行業因子。本文分析了這些因子產生波動趨勢，并給出了可能的解釋，此外，通過計算因子貢獻率，發現通信行業和制造業股票的收益率更易受共同因子的影響，而互聯網行業股票的波動率更易受行業因子的影響，這些發現為研究金融市場的收益與風險提供了新的視角。以上研究是對金融市場動態因子模型的初步探討，也可從其他方面進行研究，如分層動態因子模型，這些研究對理解金融市場的影響因素也有重要的意義。

表8 互聯網因子影響的股票（波動率模型）

表9 各因子方差及貢獻率