溫度對齒輪齒根應力分布的影響分析

李云奇，張瑞亮，王 鐵，王道勇

（太原理工大學齒輪研究所，山西 太原 030024）

1 引言

漸開線齒輪輪齒折斷是齒輪失效的主要形式之一[1]，而齒根折斷主要是由于齒根應力較大，經疲勞裂紋擴展而導致的。齒輪在工作中齒面會產生相對滑動，摩擦生熱會導致其溫度升高。所以齒輪在實際工作時，不僅受結構載荷還有溫度載荷。齒輪在溫度的作用下產生的熱應力及熱變形會改變齒輪的受力狀態和幾何特性，進而影響齒輪的工作壽命。故研究溫度對齒根應力的影響是十分必要的。

文獻[2]通過考慮齒輪嚙合過程中的瞬態傳熱、彈流潤滑、表面粗糙度和齒輪材料對第一個接觸點進行研究，提出了一種評定熱應力和預測熱應力引起的接觸應力的設計準則的方法。文獻[3]通過對比齒輪副在結構場和熱彈耦合場的分析結果，主要對齒面上的變形和應力進行研究，并對其進行修形。文獻[4]在熱-結構耦合中分析了高速重載齒輪的熱彈變形，并根據所得到結果及修形理論確定了其齒廓修形曲線。文獻[5]通過熱彈流計算得到了嚙合線上的閃溫和最高溫度以及他們沿嚙合線的分布情況。文獻[6]中對螺旋錐齒輪嚙合熱特性進行分析得到最大熱應力出現在齒根位置部位?，F有文獻就溫度對齒面接觸應力及熱變形等進行了研究，取得了一些有意義的成果，而對溫度對齒根應力的影響研究還相對缺乏，因此綜合分析熱-結構耦合場作用下的齒根應力分布，對齒輪設計和運行具有一定的理論意義和實際應用價值。

首先根據齒輪的工況，對其熱邊界條件進行計算，通過有限元計算得到其溫度場并通過試驗進行驗證；然后在分析齒輪熱應力和熱變形的基礎上，通過對比齒輪在結構場與熱-結構耦合場不同嚙合位置時的齒根應力結果，探討溫度對齒輪齒根應力的分布形式及應力最大值的影響。

2 熱邊界條件計算

2.1 齒輪對流換熱系數的計算

2.1.1 齒輪端面對流換熱系數計算

式中：ξa—空氣的性能參數；ξo—潤滑油的性能參數；d—考慮到實際操作條件對混合流動的影響由試驗確定的比例因素；αa、αo—空氣和潤滑油在齒輪端面所占的平均體積比例系數。

采用計算公式如下[7]：

2.1.2 齒輪齒面對流換熱系數計算采用計算公式如下[8]：

式中：k—潤滑油的熱傳導率；L—齒高；vo—潤滑油的運動粘度；α—潤滑油的擴散率；Σqt—圓周上新噴入的潤滑油的無量綱放熱量總和。

式中：ΔTs—齒輪齒面與潤滑油溫度的差值；β—油液粘度的溫度變化系數，近似取 0.03/℃[9]。

2.2 齒面摩擦熱流量的計算

齒輪副在任意的嚙合位置的接觸點C處主從輪的摩擦熱流量 q1c、q2c的表達式如下[4]：

式中：下角標1、2—主動輪和從動輪；σ—主從動輪的摩擦熱流量分配因子；γ—摩擦能轉化成熱能的系數，其值一般為（0.9～0.95）；pnc—齒面接觸壓力；μc—齒面摩擦系數；v—相對滑動速度。

2.3 實例計算

齒輪副傳動比為1，主從動齒輪的幾何及材料參數完全一致，如表1所示。潤滑油采用20號航空潤滑油GB440-1977（1988），其在時的理化性能參數[10]，如表2所示。

表1 齒輪參數Tab.1 Gear Parameters

表2 潤滑油性能參數Tab.2 Lubricant Performance Parameters

根據實際工況取扭矩為1300N·m，為方便加載，端面對流換熱系數取其平均值，齒面上的對流換熱系數取分度圓位置的值，齒面的摩擦熱流量也按平均摩擦熱流量計算[11]。計算得到齒根端面平均對流換熱系數為155W/m2·k，齒頂端面的平均對流換熱系數為193W/m2·k，齒面的對流換熱系數為1558W/m2·k，齒面上的平均摩擦熱流量為：2.6153×105w/m2。

3 溫度對齒輪齒根的影響分析

在三維建模軟件中建立齒輪的四齒模型，如圖1（a）所示。導入到ANSYS后對進行網格劃分，為更好的逼近齒輪曲線的邊界，選用20節點的六面體單元進行網格劃分，并對目標齒輪齒根過渡曲線段設置為20段進行網格細化。得到網格劃分結果，如圖1（b）所示。

圖1 計算模型Fig.1 Computational Model

3.1 齒輪溫度場分析

對于齒輪的溫度場，為不失一般性采用四齒模型進行分析，如圖1（a）所示。齒輪初始溫度取實驗室室溫為23℃，并對齒輪模型的兩個周向截面施加周向位移約束，在齒輪的齒面施加齒面對流換熱系數，在齒輪的工作齒面施加齒面平均摩擦熱流量，在齒輪端面施加齒頂端面對流換熱系數和齒根端面對流換熱系數。最終的溫度場分析結果，如圖2所示。由圖2可知仿真得出的最低溫度為117℃，最高溫度為138℃，高溫區主要集中在工作面的中心部位，低溫區主要是在非工作面的齒根過渡區[11]。為驗證計算結果的可信性，在進行齒輪疲勞試驗時分別對主試箱的潤滑油和輪齒工作齒面的溫度進行實時監測，齒輪試驗臺，如圖3所示。

圖2 齒輪溫度場結果Fig.2 Temperature Field Results of Gear

圖3 齒輪試驗臺Fig.3 Gear Test Stand

首先將溫度計和溫度傳感器同時放入沸水中對溫度傳感器進行靜態標定，在試驗過程中通過溫度傳感器對主試箱中的油液溫度進行實時監測，由試驗測得主試箱中油液的溫度達到穩定時約為為115℃，略低于齒輪的最低溫度；在試驗停機的瞬間將紅外測溫儀打到齒輪工作齒面位置測得的齒輪工作齒面的溫度為125℃，考慮到停機后齒輪溫度會有所降低，可知仿真結果具有一定的可信性。

3.2 齒根熱應力分析

在齒輪模型上選取目標齒根后對其進行網格細化進行分析，目標齒根，如圖1（a）所示。網格細化，如圖1（b）所示?，F僅對溫度對齒輪齒根應力的影響進行分析，所得目標齒根的熱應力分布，如圖4所示。

應力云圖的上邊界為基圓位置，下邊界為齒根圓位置，b表示齒寬。由齒根處的熱應力可以看出，齒輪齒根在受熱載荷的影響下其齒根兩側鄰近齒輪端面及齒輪基圓區域的熱應力值比較大。經測量后得到熱應力最大的位置在距齒輪端面1mm附近。

圖4 目標齒根熱應力分布Fig.4 Thermal Stress Distribution of Target Tooth Root

3.3 齒根熱變形分析

為研究溫度對齒根幾何特性的影響，對目標齒根的熱變形進行分析。首先建立如圖1（a）中的坐標系，選取齒輪軸線上一點為原點建立圓柱坐標系，其中，z方向為齒輪軸線方向。在所建立的坐標系中ρ為徑向，θ為周向，z為軸向?，F通過處理得到目標齒根在此坐標系下各分量的變形情況，如圖5所示。

圖5 齒根熱變形Fig.5 Root Thermal Deformation

由圖5（b）可知目標齒根在周向的熱變形量很小，可以忽略不計。由圖5（c）可知齒根在軸向的熱變形呈對稱狀態分布，即向兩端面膨脹約16μm。由圖5（a）可知齒根在徑向的變形比較明顯，且徑向熱變形由齒根圓處到基圓處呈逐漸增大的趨勢，其中，最大值在鄰近基圓的中部，為51.5μm；最小值在鄰近齒根圓的端面，為49.7μm。為說明徑向變形對齒根圓角幾何特性的影響，現做齒根徑向變形的示意圖，如圖6所示。

圖6 齒根徑向熱變形示意圖Fig.6 Sketch Map of the Radial Thermal Deformation of the Tooth Root

圖中：曲線PQ、P′Q′—變形前后的齒根曲線。由于表示的是在徑向分量上的變形，故變形前后的齒根曲線與齒根圓和基圓連接位置的幾何關系不變，即熱變形前后齒根曲線兩端的法線方向夾角有：

由圖5中的熱變形分布可知齒根區在徑向有較大的熱膨脹變形，且由P到Q逐漸增大，即可以得到變形前后的曲線的弧長關系有：由式（5）、式（6）兩式可以得出齒根徑向的熱變形會使齒根曲線的曲率半徑增大。

4 齒根應力有限元對比分析

在前文中通過試驗驗證了溫度場的結果是可信的。下面通過對齒輪副在某個齒上的嚙合過程中進行結構場分析以及熱-結構耦合場的分析，再將兩種狀態下的齒根應力狀態進行對比，以此來說明溫度對齒根應力的影響。

在目標齒根對應的嚙合齒面上以齒輪繞基圓圓心轉動的角度均等選取選取10個不同的位置進行對比分析，如圖7所示。結構場分析中僅有扭矩載荷，熱-結構耦合場分析中包含扭矩及溫度載荷。

圖7 齒輪不同嚙合位置Fig.7 Different Meshing Positions of Gears

現對比兩種情況下目標齒根的齒根應力分布云圖，如表3所示。

表3 各嚙合位置齒根應力分布形式對比Tab.3 Contrast of Root Stress Distribution in Each Meshing Position

由上表可知，在嚙合位置由齒根向齒頂變化的過程中齒根最大應力由兩端逐漸向中部擴散。在結構場中其擴散程度比較明顯，在接近齒頂嚙合區域附近的齒根最大應力出現在中間區域；而在熱-結構耦合場中雖然也有向中間區域擴散的趨勢，但其擴散比較慢，而且其最大應力始終是在兩端比較明顯。對兩種情況下的齒根應力最大值距齒輪端面的距離進行測量后，得到表3中右側兩列的結果。由測量結果可知在結構場中的最大應力由齒端附近逐漸向中部移動，而在耦合場中的齒根最大應力均在距齒端1mm附近。這主要是由于齒根受熱膨脹產生的拉應力與結構載荷產生的拉應力疊加的結果?，F對兩種情況下目標齒根的齒根應力最大值進行分析，如圖8所示。

圖8 各嚙合位置的齒根應力最大值Fig.8 The Maximum Value of the Root Stress in Different Meshing Positions of Gears

上圖中的嚙合點1、2、3、4屬于雙齒嚙合區，此過程中主動輪齒根位置首先進入嚙合，嚙合點逐漸遠離齒根，最大應力值逐漸增大；嚙合點5、6屬于單齒嚙合區，此過程中的嚙合位置主要在節圓區域附近，齒面的齒面的嚙合力變大，導致齒根最大應力會有明顯的增大；嚙合點7、8、9、10又屬于雙齒嚙合區，此過程中的嚙合力降低，嚙合位置是逐漸向齒頂移動，所以齒根應力最大值會有所降低，但仍大于4點之前的值。無論是結構場還是熱-結構耦合場均符合上述規律變化，但是將兩種情況進行對比，可以發現：熱-結構耦合場中的齒根應力最大值普遍小于在同一嚙合位置的結構場中的值。這主要是齒根過渡區在溫度的影響下產生熱膨脹變形從而改變其初始的幾何特性，即齒根軸向的熱變形使齒根的寬度增加，齒根徑向的熱變形使齒根曲線的曲率半徑增大，從而減弱了齒根的應力集中。

5 結論

（1）經計算齒輪本體溫度的高溫區主要集中在工作面的中心部位，低溫區主要是在非工作面的齒根過渡區。（2）齒輪齒根在受熱載荷的影響下其齒根兩側鄰近齒輪端面及齒輪基圓區域的熱應力值比較大。（3）由于溫度載荷產生的熱應力的影響，熱-結構耦合場的齒根應力分布形式較結構場有明顯區別，結構場中的最大應力區由兩端向中部過渡，熱-結構耦合場中的最大應力雖有過渡趨勢但其兩端始終為應力最大值的主要區域。（4）由于齒根過渡區受熱變形導致在其區域內的幾何特性發生改變，熱-結構耦合場中分析得到的齒根應力最大值普遍小于結構場中的結果。