對一道聯考試題的探究

周臘生 陳曉明

摘 要：本文對一道解析幾何模擬試題的解法進行探究，并揭示試題背景、探究問題本源.習題課教學要通過一個或幾個題目的解決讓學生領悟一類問題的知識背景，抓住一類問題的數學本質，特別是提煉解決一類問題的思想方法.

關鍵詞：拋物線;焦點弦;準線

參加各級各類聯考是高考復習過程中重要的一個環節，筆者所在學校每屆高三都要參加在安徽享有盛譽的“皖南八?！甭摽?“皖南八?！?019屆高三第三次聯考理科數學第20題是一道解析幾何試題，因為計算量較大的原因學生普遍害怕解析幾何題，但本題計算量并不算大，學生得分率依然很低.本文對試題解法進行探究，并揭示試題背景、探究問題本源，從而更好地備考.

1 試題呈現

題目 在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C∶x2=2py（p>0），過拋物線焦點F且與y軸垂直的直線與拋物線相交于A，B兩點，且△OAB的周長為2+5.

（1）求拋物線C的方程;

（2）若直線l過焦點F且與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點P，求|PF|2-|MF|·|NF|的值.

2 解法探究

2.1 第（1）問解析

解析 由題意知焦點F的坐標為（0，p 2）.

將y=p 2代入拋物線C的方程可求得點A，B的坐標分別為（-p，p 2），（p，p 2）.

故|AB|=2p，|OA|=|OB|=p2+（p 2）2=5 2p.

所以△OAB的周長為2p+5p.

所以2p+5p=2+5，解得p=1.

所以拋物線C的方程為x2=2y.

2.2 第（2）問解析

解法1 如圖1所示，由（1）知拋物線C的方程可化為y=1 2x2，求導可得y′=x.

設點M，N的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），設直線l的方程為y=kx+1 2.（直線l的斜率顯然存在）

聯立方程y=kx+1 2，y=1 2x2，

消去y整理，得x2-2kx-1=0.

因為根的判別式△=4k2+4>0，

所以由韋達定理，得x1+x2=2k，x1x2=-1.

所以y1+y2=k（x1+x2）+1=2k2+1，

y1y2=1 4x21x22=1 4.

直線l1的方程為y-1 2x21=x1（x-x1）.

整理，得y=x1x-1 2x21.

同理，直線l2的方程為y=x2x-1 2x22.

聯立方程組y=x1x-1 2x21，y=x2x-1 2x22，解得x=x1+x2 2，y=x1x2 2.

所以點P的坐標為（k，-1 2）.

所以由拋物線的幾何性質，知|MF|=y1+1 2，|NF|=y2+1 2.

所以|MF|·|NF|=（y1+1 2）（y2+1 2）=y1y2+1 2（y1+y2）+1 4=1 4+1 2（2k2+1）+1 4=k2+1.

又由兩點間距離公式，得

|PF|=（k-0）2+（-1 2-1 2）2=k2+1.

所以|PF|2-|MF|·|NF|=k2+1-（k2+1）=0.

評注 （1）本解法屬通性通法，樸實無華.設出直線方程、聯立拋物線方程，得到韋達定理，這是在解析幾何中比較常見的解法.將所求線段之積|MF|·|NF|用拋物線的焦半徑表示，然后利用韋達定理得到的結論及直線方程代入，得出只含參數k的式子.另一方面，利用導數求出兩切線方程，聯立解得點P坐標，這也是很常規的解法，然后由兩點間距離公式求出|PF|，同樣只含參數k，從而進一步算出美妙的答案（參數k設而不求）.縱觀整個過程，計算量并不是很大，為什么學生不能解出正確答案呢？問題出在上述過程的哪個環節？有的是學生想不到;有的是想到了卻不敢算;有的是計算時細節出了問題;……總之，基本功不扎實，知識掌握不熟練，計算能力欠缺.

（2）將直線方程與拋物線方程聯立時也可以消去x，得到關于y的一元二次方程，然后利用韋達定理解決問題.

（3）計算|MF|·|NF|的值可不用拋物線焦半徑公式，利用兩點間距離公式、韋達定理解決問題.

|MF|·|NF|=x21+（x21 2-1 2）2·x22+（x22 2-1 2）2

=x21+1 2·x22+1 2

=（x1x2）2+x21+x22+1 4

=1+（x1+x2）2-2x1x2+1 4

=k2+1.

解法2 如圖1所示，由解法1知，直線PM，PN斜率之積kPMkPN=x1x2=-1，故PM⊥PN.

又因為點P（k，-1 2），所以直線PF，MN斜率之積kPFkMN=-1 2-1 2 k-0·k=-1.

所以PF⊥MN.

在Rt△PMN中，由射影定理得|PF|2=|MF|·|NF|.

所以|PF|2-|MF|·|NF|=0.

評注 解法1是代數法，解法2是幾何法，兩種方法交相輝映、數形結合、相得益彰！相比代數法，幾何法更為簡潔、神奇！原來本試題還隱藏著這樣的幾何背景，令人感慨.

3 提出問題

不難發現，這里MN為拋物線x2=2y的焦點弦，過其兩端點M，N所作切線交點P（k，-1 2）正好落在拋物線的準線y=-1 2上，且PF⊥MN，PM⊥PN，由xP=x1+x2 2可知點P與MN中點橫坐標相同，這是巧合嗎？結論能推向一般嗎？逆命題成立嗎？

4 追根溯源

定理1 若直線l過焦點F且與拋物線C∶x2=2py（p>0）相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點P，線段MN中點為Q.則有下列結論成立：

（1）xP=xQ;

（2）點P在拋物線的準線y=-p 2上;

（3）PF⊥MN;

（4）PM⊥PN;

（5）|PF|2-|MF|·|NF|=0.

證明 如圖2所示，拋物線C的方程可化為y=x2 2p，求導可得y′=x p.

設點M，N的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），設直線l的方程為y=kx+p 2.（直線l的斜率顯然存在）

聯立方程y=kx+p 2，y=x2 2p，

消去y整理，得x2-2pkx-p2=0.

因為根的判別式△=4p2k2+4p2>0，

所以由韋達定理，得x1+x2=2pk，x1x2=-p2.

所以y1+y2=k（x1+x2）+p=2pk2+p，

y1y2=x21x22 4p2=p2 4.

直線l1的方程為y-x21 2p=x1 p（x-x1）.

整理，得y=x1x p-x21 2p.

同理，直線l2的方程為y=x2x p-x22 2p.

聯立方程y=x1x p-x21 2p，y=x2x p-x22 2p，解得x=x1+x2 2，y=x1x2 2p.

所以點P的坐標為（pk，-p 2）.

由xP=x1+x2 2，且Q為線段MN中點知xP=xQ.

因為點P（pk，-p 2），所以點P在拋物線的準線y=-p 2上.

所以直線PM，PN斜率之積kPMkPN=x1x2 p2=-p2 p2=-1，即PM⊥PN.

又因為點P（pk，-p 2），所以直線PF，MN斜率之積kPFkMN=-p 2-p 2 pk-0·k=-1，所以PF⊥MN.

在Rt△PMN中，由射影定理，得|PF|2=|MF|·|NF|，故|PF|2-|MF|·|NF|=0.

評注 （1）將問題由特殊推向一般，結論仍然成立.

（2）這里證明垂直關系方法不唯一，如圖3所示，分別過點M，N向拋物線的準線y=-p 2作垂線，垂足分別為點M1，N1，連結FM1，FN1.

先證明PM⊥PN.易知|PQ|=1 2（|MM1|+|NN1|）=1 2（|MF|+|NF|）=1 2|MN|.

所以P，M，N三點在以MN為直徑的圓上.

所以∠MPN=π 2，即PM⊥PN.

再證明PF⊥MN.因為F（0，p 2），M1（x1，-p 2），所以FM1=（x1，-p）.同理FN1=（x2，-p）.

所以FM1·FN1=x1x2+p2=-p2+p2=0（由命題證明知x1x2=-p2），即FM1⊥FN1.

又因為點P為M1N1的中點，

所以|PF|=1 2|M1N1|=|PM1|.

故∠PFM1= ∠PM1F.

又|MM1|=|MF|，所以∠MFM1=∠MM1F.

故∠PFM=∠PFM1+∠MFM1=∠PM1F+∠MM1F=π 2，即PF⊥MN.

（3）拋物線的焦點弦性質還有很多，讀者可參閱筆者文章《拋物線的焦點弦性質及應用》[1].

（4）不難證明，上述定理的逆命題也成立.

定理2 已知點P為拋物線C：x2=2py（p>0）的準線上任意一點，過點P分別作拋物線C的切線l1，l2，切點分別為點M，N，線段MN中點為Q，則有下列結論成立：

（1）xP=xQ;

（2）切點弦MN過拋物線的焦點;

（3）PF⊥MN;

（4）PM⊥PN;

（5）|PF|2-|MF|·|NF|=0.

題源揭秘 其實，本聯考試題的背景是“阿基米德三角形”：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形的得名，是因為阿基米德本人最早利用逼近的思想證明了結論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.上述定理1、定理2都是阿基米德三角形的性質，即“弦為焦點弦”與“弦端點處切線交點在準線上”存在對應關系.

5 試題鏈接

題目 （2019年高考全國Ⅲ=3＼*ROMAN卷理科第21（1）題）已知拋物線C：y=x2 2，D為直線y=-1 2上的動點，過點D作C的兩條切線，切點分別為A，B，證明：直線AB過定點.

提示 由上述逆命題知，因為點D是直線y=-1 2 （拋物線y=x2 2的準線）上的點，故直線過拋物線的焦點（0，1 2）.

6 結束語

我們的習題課教學要通過一個或幾個題目的解決讓學生領悟一類問題的知識背景，抓住一類問題的數學本質，特別是提煉解決一類問題的思想方法，培養學生研究問題的能力，構建相關數學知識的內部網絡，從而讓學生對該類問題的再次考查而躍躍欲試，不再害怕考試，不再害怕做題！正如美國著名數學教育家波利亞所說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

參考文獻：

[1]陳曉明.拋物線的焦點弦性質及應用[J].理科考試研究，2018（15）：17-20.

[2]于世章.挖掘課本習題價值上好復習課[J].數學通報，2014，53（12）：36-38.

（收稿日期：2020-11-03）