非周期系統的局域化現象研究

李宗威，紀剛，周其斗

海軍工程大學艦船與海洋學院，湖北武漢430033

0 引 言

傳統的潛艇耐壓殼結構采取等間距肋骨的布置形式，亦稱周期結構。周期結構在不同的頻段內具有不同的振動特性，例如：在某些頻段內，振動傳遞不隨傳播距離的增加而衰減，這些頻段則被稱為通頻帶；在另一些頻段，振動傳遞隨著傳播距離的增加而呈指數衰減，此時，振動能量被局限于振源附近，即振動被“局域化”，而發生振動局域化的頻段被稱為止頻帶。研究表明，周期結構的通頻帶與止頻帶是交替出現的［1］。與周期結構不同，非周期結構的振動在所有頻段都表現為局域化特征。也就是說，不存在通頻帶，在所有頻帶內，振動傳遞都隨傳播距離的增加而衰減。非周期結構的局域化效應與波在非周期結構中的散射相關，而與結構中的能量耗散無關。在國外，Anderson［2］在研究電子傳播規律時首次發現了局域化效應，但研究僅限于電子傳播的層面而并未擴展到結構層面。Hodges 等［3］首先運用類比的方法發現了在結構動力學領域中也存在局域化效應；Pierre 等［4］通過實驗證明了在無序剛性簡支梁中存在局域化效應；Bouzit 和Pierre［5］通過實驗對周期和非周期簡支支撐梁結構的振動特性進行了研究，發現非周期結構中振動傳遞與激勵源的距離越遠，衰減程度越大。Photiadis 等［6］對有限長的不等間距加肋圓柱殼進行了局域化研究，將對稱圓柱殼簡化為一維問題，然后應用單頻帶近似的方法將一維周期結構近似為固有頻率不同的振子系統進行研究。在國內，劉文璽和譚路等［7-8］通過具體實例，研究了結構不等間距布置對圓柱殼振動特性與聲學性能的影響，研究表明，不等間距布置具有一定的減振作用。

雖然上述學者的研究都發現了非周期結構中存在局域化效應，但均是對有限長的結構進行分析，既未擴展到無限長的結構，也未對局域化效應進行定量分析計算。對于局域化效應，在數值上可以使用局域化因子來表征。Furstenberg［9］提出了隨機矩陣乘積的極限定理，并指出無序結構的振動狀態可以通過隨機傳遞矩陣來建立聯系，此定理對于在一維系統中定量計算局域化因子有著重要意義。

本文將從波傳遞的角度，從數學上分析周期結構通頻帶和止頻帶的產生原理，基于Furstenberg 定理解釋非周期結構產生局域化的原因，并給出非周期結構局域化因子的計算方法。

具體而言，針對無限長的彈簧質量鏈系統進行波傳遞分析，導出相應周期系統的通、止頻帶和非周期系統的局域化因子數學表達式。為定量研究局域化因子隨頻率的變化規律，針對質量無序的彈簧質量鏈系統給出局域化因子隨頻率的變化曲線，分析局域化因子隨頻率的變化規律，并對所得相關結論的正確性及本質含義通過數值模擬的方法予以驗證和說明。

1 一維周期結構中的波傳遞特性分析

現將一維單耦合周期結構抽象為如圖1 所示的周期系統。對于第j號單元的狀態，需用2 個參數來表征，以構造第j號單元右端點的狀態量，并以列向量的形式表示為xj=[uj vj]T，其中x為該單元的狀態向量，u和v分別為該單元的位移和力。

圖1 單耦合周期系統及單元Fig.1 Mono-coupled periodic system and one element

周期系統具有傳遞特性，其傳遞規律可以通過矩陣描述。例如，第j號單元的狀態可視為由第j-1 號單元的狀態傳遞而來，故xj與xj-1的關系可表示為

式中，T為狀態傳遞矩陣，其與頻率ω相關，即

T( )

ω是頻率的函數矩陣，表征了周期系統端點狀態的傳遞關系，并由具體周期結構的力學關系來決定。

為能使用Furstenberg 定理，在利用力學關系建立式（1）時，xj需經合理構造，以使T矩陣行列式為單位1 的矩陣，即 ||T=1。

式（1）以遞歸形式給出了離散周期系統的波動方程，各單元具體狀態應結合邊界條件給出。

Fahy 等［10］對一維有界媒質中的強迫振動分析表明，有界媒質的振動響應可視為由擾動源發出的左、右傳播波及其在邊界多次反射波疊加的結果。因此，有界媒質在遠離擾動源處的響應衰減特征被歸結為無界媒質中自由行進波的衰減特征。為此，需要針對式（1）進行波動分析。

因 ||T=1，故其可分解為

圖6 所示為采用1%無因次質量離散度生成隨機質量鏈的波形，其中無因次頻率ωˉ=1，其處于周期彈簧質量鏈的通頻帶?？梢?，由于質量隨機分布，導致系統成為了非周期系統，即使在通頻帶，仍導致了入射波不能無損的自由傳播。

圖5 周期彈簧質量鏈系統在選定頻率下的波形Fig.5 Traveling and attenuated wave shapes at selected frequencies for an ordered mass-spring chain system

圖6 隨機質量鏈的波形Fig.6 Waveform of random mass-spring chain

對于特定的非周期系統實例，利用HN的結果還可以給出局域化因子γN。為計算單元數趨于無窮的局域化因子γ，可采用如下2 種方法：

1）通過增加單元數量給出γN隨N的逼近規律，從而給出單元數趨于無窮的局域化因子γ。

2）基于蒙特卡羅方法，首先采用大量的隨機波傳遞矩陣進行乘積計算出γN，然后再由每次模擬的獲得平均值，即利用式（15）計算局域化因子γ。

圖7 所示為無因次質量離散度為1%和ωˉ=1時多組彈簧質量鏈實例的γN隨N的變化規律。由圖可見，在給定的N時，該多組彈簧質量鏈實例的γN可能各不相同，特別是在N偏小時，γN的偏離程度很大，不過隨著N的增加，γN偏離某個值的概率會逐漸降低，并逐漸向某個極限逼近，即“以概率1 收斂”。為了對比，圖7 還給出了采用蒙特卡羅方法取平均（式（15））和理論公式（22）算出的γ值，由圖可看出，這些值具有一致性。

圖7 局域化因子在不同計算方法下的值Fig.7 The values of localizing factors under different calculation methods

圖8 局域化因子γ 在離散度不同時的理論與模擬結果Fig.8 Theoretical and simulation results of localizing factor ondifferent degrees of dispersion

5 結 論

本文采用理論分析、模型實例和數值仿真的方法，研究了非周期結構的局域化效應，得到如下主要結論：

1）當周期結構通過參數的隨機擾動成為非周期系統后，即使在通頻帶，入射波也會衰減傳播，即產生了局域化效應。局域化效應帶來的衰減效果可采用局域化因子來表征，具體計算可采取理論和蒙特卡羅模擬方法給出。

2）本文采用彈簧質量鏈系統實例驗證了不規則擾動所形成的非周期結構中局域化效應的存在性，證實了局域化因子的極限收斂性含義：不同的隨機質量鏈模型實例的局域化因子可能會互不相同，具有概率分布特點，但隨著質量彈簧數量的增加，不同隨機質量鏈模型實例的局域化因子逐漸向某個極限逼近，即“以概率1 收斂”。

3）利用理論與數值對比方法，驗證了局域化因子理論計算方法的有效性和適用范圍。

4）針對彈簧質量鏈系統的分析結果表明，局域化因子與隨機擾動的方差相關：方差越大，局域化因子越大；局域化因子與頻率相關，無因次頻率越接近通-止頻帶交界頻率，局域化因子就越大。該結論對工程中振動傳遞的控制具有重要意義。若要對周期結構進行振動傳遞的控制，通過對某個結構參數進行隨機擾動以形成非周期結構是一種有效途徑。具體而言，可以采取增加擾動參數的隨機擾動方差或者結合結構設計方式，使激振源頻率處于通-止頻帶交界頻率等，二者都可以增加局域化因子，從而實現對振動傳遞的有效控制。