點到直線距離公式的深入探究

天津市天津外國語學校 (300230) 高成龍天津市第七中學 (300162) 劉春紅

課程標準的教學要求是探索并掌握點到直線的距離公式，在推導點到直線距離公式的教學中，教師應該從多角度引導學生思考，加強知識間的相互聯系，培養學生的探索能力和創新意識.本文先給出教材(人教A版數學必修2)中的直線距離推導方法，再逐一給出其它證明方法，從多個角度來進行推導證明.

一、教材中的推導

教材中提供了兩種思路來證明點到直線距離公式，即定義法和構造直角三角形法.

思路1：(定義法)所謂定義法是指過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ的長度就叫做點P到直線l的距離.關于定義法，教材中只提供了思路并沒有給出詳細證明，下面給出具體證明過程：

圖1

如圖1，過點P(x0,y0)作已知直線l:Ax+By+C=0(A·B≠0)的垂線，垂足為Q，將直線PQ與直線l的解析式聯立求得點Q的坐標，然后利用兩點間距離公式求得PQ的長度，即為點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離.

由于直線PQ過點P且與直線l垂直，則PQ:Bx-Ay-Bx0+Ay0=0，與直線l聯立得

由兩點間距離公式得|PQ|=

點評：該方法通俗易懂，而且把點到直線距離公式轉化成兩點間距離公式，也是學生最容易想到的方法，然而不足之處是計算量較大，就連教材中也指出“上述方法雖然思路十分自然，但具體運算需要一定的技巧”.學生運用上述方法證明一般會遇到兩個問題：(1)對于帶參數的二元一次方程組求解可能遇到障礙，最終導致點Q坐標求不對；(2)利用兩點間距離公式對最后結果化簡時容易出錯.

下面看教材的第二種思路：

圖2

點評：利用等面積法求出點到直線距離公式，很容易接近學生的最近發展區.

二、公式推導再探究

下面通過設而不求法、解三角形法、平面向量法、等面積法、平行線公式法對教材提供的兩種思路進行優化.

根據l⊥PQ且點Q在直線l上便有

點評：設而不求法是處理解析幾何常用到的方法，技巧性強，但的確降低了計算量，很好地體現了數學中整體代換的思想.同時利用該法證明點到直線距離公式為后續學習點差法求解圓錐曲線問題打下基礎.

繼續利用教材中構造的RtΔPRS，下面利用解三角形法和向量法對思路2進行優化.

圖3

點評：思路4抓住了直線斜率的幾何意義，利用斜率求得相應的三角函數值，把點到直線的距離|PQ|放到RtΔPQS中去，很好地把距離問題轉化成了解直角三角形的問題，大大減少了計算量.同時很好地提高了學生解三角形的能力和對公式的進一步理解.當然也可以把線段|PQ|放到RtΔPQR中去，利用|PQ|=|PR|sinθ同樣可以得到上述結論.

點評：利用向量法求點到直線距離公式的思路和方法很重要，事實上，我們還可以將上述思想和方法推廣到三維空間，進一步求得點到平面的距離公式，這為我們后續學習向量法解決立體幾何問題打下基礎.

我們對思路2進行深入探究和分析，思路2利用等面積法求出點到直線距離公式，思路很好，很容易接近學生的最近發展區，然而其不足之處是計算量太大，尤其是求|SR|時利用兩點間距離公式計算量非常大，學生容易出錯，而|SR|不好求的本質原因是點S、R的坐標過于復雜，如果我們把三角形的形狀和位置稍作改變，使得更多的頂點落在坐標軸上，同時把點P也平移到坐標軸上，這樣問題就會變得更加簡單，教學中教師要培養學生將復雜的數學問題轉換成簡單問題的能力.下面我們利用等面積思想將思路2的證明方法進行優化.

圖4

思路6：(優化等面積法)如圖4，過點P作直線l的平行線l′分別與坐標軸交于P′、P″，設直線l與坐標軸交于R、S，所以點P到直線l的距離即為P′與直線l的距離.

易知l′:Ax+By-Ax0-By0=0，所以P′(0,

點評：思路6的證明利用等面積思想把思路2中的點進行平移，把三角形進行特殊化，使得三角形的三個頂點都落在坐標軸上，這樣大大減少了計算量.思路5當然也可以考慮ΔP″SR的面積，這里不再贅述.利用等面積法推導點到直線距離公式，思路清晰，過程簡潔，符合學生的認知基礎，不失為理想的證明方法.另外思路5的證明實際上給出了兩條平行線的距離，把點到直線的距離轉化成兩條平行線的距離.

下面利用平行線距離公式推導點到直線距離公式.

思路7：(平行線距離公式法)對于平行線距離公式，教材只是以課后習題的形式給了結論.雖然教材中的例題涉及到平行線距離問題，但是教材中將其轉化為一條平行線上的一點到另一條平行線的距離問題.也就是說教材將平行線距離問題轉化為點到直線距離問題，如果我們逆向思維，把點到直線的距離轉化為兩條平行線的距離，是不是能讓問題變得更加簡單呢？下面我們先給出兩條平行線距離公式及其證明：

圖5

點評：通過上面的證明發現思路7采取逆向思維，把點到直線的距離轉化為兩條平行線距離問題使得問題更加簡單了，在證明過程中還給出了兩條平行線距離公式.

三、教學思考與建議

從上面的證明可以看出，點到直線距離公式的推導有很多種.本文利用設而不求法、解三角形法、向量法、等面積法、平行線距離公式法對教材中的兩種證明思路進行優化，讓學生經歷直線的距離公式的思維過程，深刻領會蘊含于其中的數學思想和方法，將點和直線放到平面直角坐標系中滲透數形結合、化歸轉化等數學思想.從多個角度進行探究，這正體現了高中數學不同模塊之間的內在聯系．

通過利用平行線公式法探究點到直線距離公式受到啟示，有時候逆向思維可能使問題更加簡單，因此在教學中要恰當的培養學生的逆向思維.在實際教學中可以先去探究平行線距離公式，然后利用平行線距離公式再去探究點到直線距離公式效果可能會更好.理由如下：第一，可以給出平行線距離公式，完善了教材的空缺，同時讓學生在解析幾何這一知識體系上更加完善；第二，證明平行線距離公式，為今后求解點線距離、線線距離提供新的思路和方法；第三，可以借助平行線距離公式去探究和證明點到直線距離公式，可以培養學生數學轉換的思想和解決問題的能力.