車輪高階不圓對輪對蛇行運動和等效錐度的影響

干 鋒, 戴煥云, 宋春元,2, 沈文林

(1. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031； 2. 中車長春軌道客車股份有限公司， 吉林 長春 130062)

鐵路車輛車輪由于外形的機械加工和實際線路運行過程中的滾動磨損等因素，容易出現在滾動圓周方向不圓現象 ，其形成和演化過程的機理非常復雜，且在每個鐵路系統的輪軌中幾乎都存在[1]。同時在車輛運行過程中，車輪不圓對軌道扣件、軌枕、輪對、軸箱端蓋和構架零部件等造成較大損傷，成為輪軌接觸關系研究的難題之一[2-3]。國內近幾年高速動車組車輪不圓現象非常嚴重，已成為鐵路運輸系統中急需解決的[2]和影響高速列車的關鍵力學問題[3]。測試某型高速動車組車輪鏇修后運行里程在15萬～25萬km范圍內的2 451個車輪的圓周不圓廓形，發現多邊形顯著(表面粗糙度大于18 db)的比例高達16.6%，10萬～15萬km的比例也達到9.5%。車輪高階不圓階數高達17～23階，同時10 kHz采樣發現產生高達200g以上的軸箱振動加速度，導致軸箱蓋螺栓斷裂，嚴重影響列車正常運營和車輛關鍵部件的使用壽命。

針對車輪不圓，國內外學者在試驗檢測和數值模擬方面展開了一些研究。文獻[4-5]測試了大量的車輪不圓外形，給出車輪不圓表面粗糙度和多邊形階數的計算方法，實測和仿真了鋼軌高頻振動頻響以及帶缺陷車輪通過軌道時的輪軌力，并通過數學模型的校準和驗證。Barke等[6]認為車輪擦傷和剝離下輪軌動態作用力會導致車輪產生圓周方向的不圓。Meywerk[7]考慮彈性輪對和鋼軌并建立柔性動力學模型，將車輪不圓作為輪軌系統的不平順激擾得到車輪和鋼軌的振動，同時結合磨耗理論仿真分析了車輪多邊形的發展歷程，結果表明車輪多邊形的形成主要是由于輪對的一階和二階彎曲模態，且列車的運行速度和軌道結構參數對車輪不圓順的形成有一定的影響。

張雪姍等[8]研究了車輪橢圓化問題及其對車輛橫向穩定性的影響。陳光雄等[9]分析了車輪多邊形的磨耗機理， 并指出了相應的控制策略。宋春元等[10]從車輪多邊形與運行速度、運行線路條件、車輛結構等角度研究車輪多邊形對車輛振動的影響，研制了踏面研磨裝置，在運營過程中施加以消除多邊形，并改善踏面凹形磨耗。沈文林等[11]對我國CRH3型動車組車輪不圓外形進行了大量現場的測試，并從車輪材質、熱處理、組裝工藝、 硬度等方面開展調查，發現提高車輪硬度可以抑制車輪多邊形產生。韓光旭等[12]通過高速列車長期跟蹤試驗，發現現有的不落輪式車輪鏇修加工手段， 不能完全消除車輪非圓化磨耗的再次形成和發展，同時車輪不圓會引起異常的振動噪聲。

現階段國內高速列車車輪高階不圓現象比較嚴重，雖然進行了大量不圓外形測試和統計規律分析，但其形成機理沒有很好的理論支撐[2]。我國高速列車車輪不圓的階次較高，主要集中在17～23階，在輪軌間可產生高達 580 Hz 左右的高頻沖擊[13-14]，嚴重威脅高速列車的運營安全，導致一系列車輛和軌道結構疲勞失效問題，見圖1。為了分析高速列車在車輪不圓下的運動穩定和行車安全，需要從輪軌接觸關系本身出發研究其對輪對蛇行運動穩定性的影響。

1 輪對蛇行運動及等效錐度分析

鐵道車輛在軌道上運行，依靠一定形狀的車輪踏面和鋼軌軌面相互配合來完成直線行走和曲線通過等運動。由于車輪踏面帶有一定錐度，在軌道上運行會產生一種特有的自激振動，表現為輪對橫向移動時伴隨繞其中心的垂向轉動，這種運動稱為輪對蛇行運動。繪制輪對中心線的橫向運動軌跡可以發現輪對蛇行運動具有特定的波長，見圖2，其中v為車速，λ為輪對蛇行波長。

1.1 UIC 519—2004[15]標準蛇行波長和等效錐度計算

計算等效錐度的方法有多種，最簡單的方法為錐形踏面的等效方法(簡化法)，UIC 519—2004[15]標準中等效錐度計算采用輪對隨機運動的假設，并定義輪對蛇行運動幅值為3 mm時所對應的等效錐度為名義等效錐度；而歐洲標準則采用周期正弦波的假設(諧波法)，并將其引入到等效錐度的計算方法中[15-16]。

對于錐形踏面的車輪，在滾動圓附近可看做一段錐度為常值γ的直線段。當不考慮輪對橫移運動產生的側滾時，輪對在一定的橫移量y下左右車輪對應的接觸半徑分別為rL、rR，接觸半徑差為Δr，此時的錐度γ為

( 1 )

對于實際的車輪踏面外形，γ不是一個常數，而是隨著y的變化而變化。根據左右車輪滾動接觸半徑rL、rR計算出的踏面錐度為等效錐度。

對于自由輪對在軌道上的運動，可由微分方程來描述

( 2 )

式中：e為接觸點跨距；r0為名義滾動圓半徑。

若假設車輪踏面外形為φ角的錐形為

Δr=2ytanφ

( 3 )

則微分方程變為常系數二階微分方程

( 4 )

其解為波長λ的正弦波

( 5 )

若車輪踏面外形不是錐形，可采用線性化法，在微分方程中以tanφe取代tanφ進行線性化。tanφe稱作等效錐度。

通過對給定初始幅值y=y0的積分，可導出輪對以峰-峰或谷-谷幅值2y和波長λ的周期運動。應用Klingel公式計算等效錐度

( 6 )

1.2 自由輪對蛇行運動推導

結合圖2中的蛇行運動過程，在xy平面坐標系中，從以下兩方面進行分析。

1.2.1 輪對有橫移無搖頭時

當輪對有橫移無搖頭，即y0，θ=0時，左輪接觸半徑為Rl，右輪為Rr，左輪接觸點距輪對中心距離為Ll，右輪為Lr,見圖3(a)。此時車輪以ω的角速度向前滾動時，左輪接觸點的滾動速度為vl，右輪為vr，則

( 7 )

當vl>vr時，輪對的瞬時搖頭中心o′在軌面右側，反之o′在軌面左側。

此時搖頭角速度φ可由下式得出

( 8 )

由此搖頭中心o′距右側接觸點的距離Rφ和搖頭角速度φ分別為

( 9 )

輪對前進速度

(10)

此時車輪在輪對坐標系下的瞬時前進速度v0與在軌道坐標系下的前進速度v一致，即v=v0。

1.2.2 輪對有橫移、搖頭時

當輪對有橫移、搖頭時，輪對前進速度與車輪沿軌道運行速度具有一定的搖頭角θ，此時車輪沿軌道運行速度v=v0cosθ，輪對橫移速度vy=v0sinθ,見圖3(b)。

由此得到以下微分方程

(11)

2 輪對蛇行運動及等效錐度對比分析

以S1002CN踏面和CHN60軌面為例,見圖4。采用矢量法[17]實時計算輪軌接觸點并求解微分方程式(11)，計算輪對初始橫移3 mm下的蛇行運動，見圖5。

從圖5可以看出，當給定初始輪對橫移量為3 mm時，輪對將做3 mm的蛇行運動，同時輪對的橫移和搖頭相位角相差90°。

由此得到橫移或搖頭波長，可根據Kklingel公式得到此時輪對橫移量下的等效錐度值。

2.1 車輪踏面蛇行波長和等效錐度分析

計算0～12 mm輪對橫移量下蛇行運動波長和等效錐度，并與UIC 519—2004[15]標準結果進行對比，見圖6。

由圖6可以看出，由自由輪對蛇行運動公式得到的等效錐度和蛇行運動波長變化與文獻[15]得到的結果一致。

為了更好驗證這個結論，采用磨耗后的S1002CN踏面進行分析。磨耗后車輪踏面外形見圖7，計算等效錐度和蛇行運動波長見圖8。

由圖8可以看出，對于磨耗后的車輪踏面，自由輪對蛇行運動公式得到的等效錐度和蛇行運動波長與UIC519計算結果也是基本一致的。

2.2 運行速度對自由輪對蛇行運動波長的影響

分別計算列車運行速度為100、200、300 km/h時，標準踏面和磨耗后踏面在輪對橫移3 mm時的蛇行運動波長，見圖9。

由圖9可以看出，在不同運行速度下輪對的蛇行運動一致，這同時也說明輪對的蛇行運動波長與運行速度無關。

2.3 不同速度下自由輪對蛇行運動頻率分析

根據標準S1002CN踏面和磨耗踏面的蛇行運動波長，計算列車運行速度在300、200、100 km/h下的蛇行運動頻率，見圖10。

由圖10可以看出，對于同一個踏面外形，蛇行運動頻率隨運行速度成比例增加；對于磨耗后踏面外形，其蛇行運動頻率大于標準踏面的蛇行運動頻率。

分別分析S1002CN、LMA、XP55和LM 4種標準踏面蛇行運動波長、等效錐度以及在不同運行速度下的蛇行運動頻率，見圖11、圖12；不同類型車輪踏面在不同運行速度下自由輪對的失穩頻率見表1。

表1 不同踏面類型和運行速度下自由輪對失穩頻率

3 車輪多邊形對蛇行運動的影響

對于車輪多邊形，通常在車輪圓周方向出現一定波長的輪徑波動，測量車輪一周，輪徑成鋸齒形變化，最大徑跳量達到0.103 mm,見圖13。

為了描述車輪不圓，在輪對蛇行運動過程中，左右車輪接觸半徑可簡化描述為

(12)

式中：Rl0、Rr0分別為左右輪初始接觸半徑；Al、Ar分別為左右車輪徑跳量；Nl、Nr分別為左右車輪不圓度階數；θ為輪對轉角；σ為左右車輪不圓相位差。

為了驗證車輪不圓對蛇行運動的影響，令輪對初始前進速度為300 km/h，Al=Ar=0.05 mm，Nl=Nr=20，σ=0°，計算得到單個蛇行周期內車輪運行姿態的變化，并與無車輪不圓時的結果進行對比，見圖14、圖15。

由圖14和圖15可以看出：

(1) 對于標準S1002CN踏面，有無車輪不圓時蛇行運動波長和等效錐度無明顯變化。

(2) 有車輪不圓時輪對縱向速度、橫向加速度、搖頭角速度和左右輪接觸半徑變化明顯，且波動頻率明顯增加，為578 Hz。

(3) 有無車輪不圓時車輪橫向位移、速度和搖頭角度變化不大。

這是由于有0.1 mm車輪徑跳量的存在，會使S1002CN踏面的輪徑差向上或向下偏移0.1 mm，輪對橫移范圍見圖16。以輪對橫移3 mm為例，無車輪不圓時的輪徑差為0.99 mm；當有車輪不圓時，為了保持相同的輪徑差，車輪的橫移范圍在2.7～3.4 mm之間。因此車輪徑跳0.1 mm時等效的相對輪對橫移范圍為-0.3～0.4 mm。此時輪徑差未改變，通過積分運算得到的輪對蛇行波長不會有大的變動，但等效的相對輪對橫移量有變化，會引起輪對縱向、橫向和搖頭運動的高頻振動。

對于磨耗后的車輪踏面，同樣分析有無車輪不圓時蛇行運動波長和等效錐度的變化，見圖17。

由圖17可以看出，對于磨耗后S1002CN踏面，有無車輪不圓時蛇行運動步長和等效錐度基本不變。

4 結論

(1) 求解推導的與輪對橫移、搖頭相關的3個一階蛇行運動微分方程與輪對橫移相關的二階微分方程得到一致的結果，結合Klingel公式也得到一致的等效錐度曲線。

(2) 給出4種輪軌匹配在不同速度下自由輪對的等效錐度、蛇行波長和蛇行頻率，表明等效錐度和蛇行波長與運行速度無關，蛇行頻率與速度線性相關，速度越高蛇行頻率越高。

(3) 根據實測車輪圓周方向不圓度曲線，得到車輪高階不圓度，代入推導的蛇行運動公式中得到車輪高階不圓下蛇行運動特征。表明車輪高階不圓對輪對縱向速度和搖頭角速度影響明顯，對輪對橫移量和搖頭角度影響不明顯，因此對自由輪對蛇行頻率和等效錐度影響也不明顯。

(4) 當車輪徑跳0.1 mm時，在輪對橫移3 mm下，等效相對輪對橫移范圍為-0.3～0.4 mm。此時輪徑差未改變，通過積分運算得到的輪對蛇行波長不會有大的變動，但等效相對輪對橫移量有變化，會引起輪對縱向、橫向和搖頭運動的高頻振動。對于20階車輪不圓，車輪初始速度300 km/h運行時，振動頻率高達578 Hz。

(5) 在本文給出的自由輪對蛇行運動方程基礎上，下一步可考慮輪對蛇行運動對構架和車體蛇行運動的影響，并研究車輪的高頻激勵對車輛振動的影響。