一一對應揭示植樹問題本質及數學模型的根本

許華庚 劉萍

【案例背景】

“植樹問題”是人教版五年級上冊第七單元“數學廣角”的教學內容，本單元主要滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，抽取出其中的數學模型，然后再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。

“植樹問題”的教學是五年級上冊的一個重難點，而在平時的教學中，老師們的課堂會稍顯局促，或是注重例題的講解而忽略了學生的自主性與創造性，或是加強了練習的強度忽視了教會學生把握知識的本質。

【案例描述】

面對同樣的“植樹問題”，老師們的教法卻是各不相同的：

1.有的老師是借助畫圖的方法進行教學，并讓學生從中發現規律?！爸矘鋯栴}”是一種比較抽象、易錯的問題，如果借助畫圖就比較簡單、直觀，只要學生掌握了畫圖的方法，就一定能找到正確答案。

2.有的老師是創設情境把問題留給學生，讓學生在解決問題的過程中摸索找到三種不一樣的植樹方法，進而根據方法的不同來依次探討解決問題。

3.有的老師是從較小的植樹棵數和間隔數起，不斷增加兩個量，讓學生在兩個量的不斷變化中找到其中蘊含的規律，并熟悉規律后運用規律來解決類似問題。

4.有的老師是借助“植樹問題”的三個模型直接來理解植樹棵數與間隔數的關系，學生在理解數量關系的基礎上進行解決問題的練習與鞏固。

……

那么，究竟什么樣的方法對學生而言，既能夠解釋知識的本質，又能開發學生的思維？既對植樹問題具有一個全面的了解，又能在學生想不起來的時候伸出手掌就知道植樹問題怎么解答呢？究竟是應用數形結合中通過圈一圈、一一對應思想解開學生心目中“間隔±1”是怎么得來重要，還是學生粗枝大葉、迷迷糊糊、被動接受植樹問題的數學模型重要？

【案例解決】

一、在“一一對應”中引入課題

1.兩棵小樹十個杈，不長葉子不開花。能寫會算還會畫，天天干活用到它。（打一人體器官）

2.猜到“手掌”的同學把你的小手舉起來。

3.在手指之間能找到間隔嗎？（圖①）

4.什么是間隔？（圖②）

5.存在間隔或者間距的地方，生活中有許多，如圖③，那么，什么是植樹問題？

小結：生活中與間隔（數）有關的類似問題，就叫“植樹問題”。

二、用“一一對應”的思想探究植樹問題模型

1.按照“一一對應”的方法，圈一圈、數一數、填一填，創造兩端都栽的數學模型。

師：按從左到右的順序一個人和一個間隔對應為一組、一個人和一個間隔對應為一組圈在一起，最后還剩下（1）位小朋友。即：①總人數=間隔數？茌（1）

【在學生明確如何應用“一一對應”圈的基礎上，放手讓學生探索總人數與間隔數之間的關系。學生很容易根據自己圈的結果得出總人數=間隔數+1。即后來所歸納的植樹棵數=間隔數+1?！?/p>

②總站數=間隔數？茌（1）

③總棵數=間隔數？茌（1）

④我發現“植樹問題”形式一：（條件：兩端都栽）植樹棵數=間隔數+1。

小結：我們利用一一對應圈一圈的過程中驗證創造出“兩端都栽的植樹問題模型”：植樹棵數=間隔數+1。

師：這個1代表的究竟是什么？

生：1代表的是“1個人”“1個車站”“1棵樹”。

師：1個人加上4個間隔得到的應該是5個人？還是5個間隔？還是5個間隔人？還是5個人間隔？好像單位不對耶？

生：“1個人”加上“4個間隔”得到的應該是5個人。

師：為什么“1個人”加上“4個間隔”得到的是5個人，“4個間隔”可以換成“4個人”？

生：因為我們在圈一圈的過程中已經確認了“4個間隔”和“4個人”存在“一一對應”的關系，所以，“1個人”加上“4個間隔”得到的是5個人。

師：誰來對照課件回答一下：“1個車站”加上“4個間隔”為什么會得到5個車站？“1棵樹”加上“4個間隔”為什么會得到5棵樹？（學生回答：略）

2.按照“一一對應”的方法，圈一圈、數一數、填一填，創造兩端不栽的數學模型。

學生交流匯報。

【由于學生已經有了第一次“一一對應”圈一圈的活動經驗，本次數學模型的創造，學生思維將更加活躍，學生很快能夠創造出：（條件：兩端不栽）植樹棵數=間隔數-1?！?/p>

小結：我們利用一一對應圈一圈的過程中再次驗證，并且創造出“兩端不栽的植樹問題模型”：植樹棵數=間隔數-1。

師：這個1代表的又是什么？是“1盆花”，“1根電桿”，“1棵樹”，還是“1個間隔”？

生：1代表的是“1個間隔”。

師：“5個間隔”減去“1個間隔”應該得到的是“4個間隔”，為什么會得到“4盆花”呢？

3.重溫植樹問題的數學模型就在手上。

師：其實，我們剛才應用“一一對應”的思想圈一圈創造出的兩種植樹問題數學模型，就在我們的手掌上，當你想不起來的時候，你只要伸出手掌就會想到了。

【讓學生在此表象的基礎上，再深刻認識與理解記住植樹問題的兩種數學模型?！?/p>

三、應用自己創造出的兩種植樹問題數學模型解決問題

1.出示例題。

在全長100米的小路一旁每隔5米植一棵樹（兩端都栽），一共要植多少棵樹？

課件提示：（兩端都栽）：

①間隔數=（？）？謼？（？）

②共栽棵數：

2.變式練習。

在全長100米的小路一旁每隔5米植一棵樹（兩端都不栽），一共要植多少棵樹？

課件提示：（兩端都不栽）：

①間隔數=（？）？謼？（？）

②共栽棵數：

四、拓展練習延伸模型

再次應用“一一對應”思想圈一圈、數一數、填一填。

再創造：“植樹問題”形式三：

植樹棵數? 間隔數

條件：（? ? ? ? ?）

【學生再次親歷應用“一一對應”思想圈一圈，一番有趣的探索后，再次創造出（條件：一端栽、一端不栽）植樹棵數=間隔數?！?/p>

【案例反思】

平時的教學，許多教師都側重于植樹問題數學模型的傳授與應用，而忽視了植樹問題數學模型的來源于學生的自主創造能力培養，特別是在植樹問題數學模型的溯本求源上更是一個缺憾。那么，植樹問題數學模型的靈魂到底在哪里呢？

1.“一一對應”是學生創造植樹問題數學模型的基礎。

本案例安排的三個環節，都是用“一一對應”的方法，圈一圈、數一數、填一填，然后，分別根據練習題讓學生自我發現、自我創造出植樹問題的數學模型：“條件為：（兩端都栽）：植樹棵數=間隔數+1”;“條件為：（兩端不栽）：植樹棵數=間隔數-1”;“條件為：（一端栽一端不栽）：植樹棵數=間隔數”。試想，如果沒有讓學生采用“一一對應”的方法來圈、數、填、思，學生能自我發現植樹問題的三種數學模型嗎？

2.“一一對應”是學生揭開植樹問題數學模型中“1”代表的究竟是什么的關鍵。

我們平時的教學，是不是看重學生會不會做這道題就行了？對于數學模型中的“加1”“減1”是不是一帶而過？

本案例強調學生應用“一一對應”的學習方法自我創造，并對自我創造出來的“1”進行追問，可謂問得巧、問得妙、問得好。

在條件為兩端都栽的情況下，植樹棵數=間隔數+1，其中“1”代表的是：“1個人”“1個車站”“1棵樹”。

在條件為兩端都不栽的情況下，植樹棵數=間隔數-1，其中“1”代表的又是什么？是“1盆花”，“1根電桿”，“1棵樹”，還是“1個間隔”？

前面的“1”代表的是一個具體的數量，而后面的“1”只代表“1個間隔”。學生確確實實明白了這一點。試想我們平時教學后，學生能夠明白這一點嗎？也只有讓學生明白了數學模型中“1”的含義后，才能為教師后面揭示植樹問題的數學本質打下基礎。

3.“一一對應”是揭示植樹問題數學模型本質的落腳點。

我們都知道植樹問題是許多學生頭痛的知識點，也是學生的易錯易混點，而易錯易混的原因就在于三種條件下植樹棵數與間隔數的關系是不相同的。本案例巧用一一對應思想讓學生從具體的實例中建立表象，通過一一對應的圈一圈、數一數、填一填去親歷感悟體會三種條件下的植樹棵數與間隔數的關系，進而自我創造植樹問題的數學模型，然后再抽象出“植樹棵數”與“間隔數”兩個量之間的關系，加上老師兩個層面的追問：“1”代表的究竟是什么？在公式中：1個人加上4個間隔得到的應該是5個人？還是5個間隔？還是5個間隔人？還是5個人間隔？“5個間隔”減去“1個間隔”應該得到的是“4個間隔”，為什么又得到“4盆花”呢？

在兩個層面的追問過程中，正是一一對應發揮了巨大作用，并且也只有通過一一對應的方法，學生才能根據“同類量相加減后的單位置換”進行相互轉化，這才是揭示植樹問題數學模型本質的良好鋪墊與最佳方法。即：在學生明確關系式中每個部分所代表的含義后，學生才能在解決問題的時候不模糊、不混淆、不犯錯。

總之，本案例給我們的最大啟示是應用一一對應的數形結合思想為學生揭示植樹問題數學模型的本質，這樣帶領學生建立植樹問題模型，應該是更為有效的教學方式，它比我們讓學生單獨機械記憶植樹問題的三種數學模型更為重要。