非線性分數階微分方程耦合系統解的存在性

周玨良， 何郁波， 謝樂平

(懷化學院 數學與計算科學學院 湖南 懷化 418008)

0 引言

分數階微分系統的初邊值問題具有深刻的科學背景。 與整數階微分系統相比，分數階微分系統能夠更加精確地描述動態的變化過程[1-3]，主要體現在對生物、物理、化學反應等方面。 近幾十年，分數階微分系統作為非線性分析的一個重要分支開始廣泛應用于水動力學、生物力學、量子力學、控制論等領域，并取得了許多重要成果[4-11]。 與單個分數階微分系統相比，耦合系統的研究條件更加復雜，因此關于分數階微分耦合系統初邊值問題的研究結果相對較少。

據我們所知，文獻[12]利用格林函數和不動點定理在實空間中研究了非線性Riemann-Liouville型分數階微分方程耦合系統邊值問題解的存在性，之后又繼續在實空間中研究下面非線性分數階微分方程耦合系統邊值問題解的存在性[13],

(1)

(2)

其中：1<α,β<2；0≤a,b≤1；0<ξ<1；Dα、Dβ是Riemann-Liouville型分數階導數；f,g:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續。 關于非線性分數階微分方程耦合系統初邊值問題的其他相關結論參閱文獻[15-16]及其中的相關文獻。 最近關于耦合系統的成果有董佳華等利用不動點定理在實空間中研究了一類非線性隱式分數階微分方程耦合系統初值問題解的存在性和唯一性[17]。

受以上研究成果的啟發，本文主要研究如下無限區間[0,+∞)上非線性Caputo型分數階微分方程耦合系統在Banach空間中解的存在性和唯一性，

(3)

1 基本假設

給定本文所用到的空間

其中：λ>1，定義其范數

為了證明本文的結果，還需給定空間X×X={(x,y)|x∈X,y∈X}，定義其范數為

‖(x,y)‖X×X=max{‖x‖X,‖y‖X}。

易證(X,‖·‖X)和 (X×X,‖·‖X×X)都是Banach空間[18-20]。

下面將給出本文所用到的假設條件。

H1) 連續函數x,y,trf(t,x,y):J×X×X→X,trg(t,x,y):J×X×X→X滿足

‖tr[f(t,(1+tλ)x,(1+tλ)y)-f(t,(1+tλ)x′,(1+tλ)y′)]‖≤L1(t)‖x(t)-x′(t)‖+L2(t)‖y(t)-y′(t)‖,

‖tr[g(t,(1+tλ)x,(1+tλ)y)-g(t,(1+tλ)x′,(1+tλ)y′)]‖≤L3(t)‖x(t)-x′(t)‖+L4(t)‖y(t)-y′(t)‖,

其中：非負連續函數L1(t)、L2(t)、L3(t)、L4(t)滿足

H2)存在常數M,N>0，使得f(t,0,0)，g(t,0,0)滿足

2 存在性結果

下面運用Banach壓縮映射原理，證明初值問題(3)解的存在性和唯一性。

定理1假設條件H1)和H2)成立，則初值問題(3)的解存在且唯一。

證明定義算子T∶X×X→X×X，

顯然算子T∶X×X→X×X。 事實上，對任意的(u,v)∈X×X，即u∈X,v∈X，有

另一方面，

‖u0‖+ρ1‖v‖X+M<∞,t∈[0,+∞)。

‖v0‖+ρ2‖u‖X+N<∞,t∈[0,+∞)。

因此可知T(u,v)∈X×X，故算子T∶X×X→X×X。

下面證明算子T∶X×X→X×X是嚴格壓縮的。 事實上，對任意的u1,u2,v1,v2∈X，有

另一方面，我們有

由此可知，對任意的(u1,v1), (u2,v2)∈X，有

‖T(u1,v1)-T(u2,v2)‖X×X≤ρ‖(u1,v1)-(u2,v2)‖X×X,ρ=max{ρ1,ρ2}∈(0,1)，

即算子T∶X×X→X×X是嚴格壓縮的。

綜上，根據Banach壓縮映射原理得到算子T∶X×X→X×X在Banach空間X×X中存在唯一的(u,v)，使得T(u,v)=(u,v)，即問題(3)在Banach空間X×X中存在唯一解。

3 結論

本文通過構造特殊的Banach空間，運用Banach壓縮映射原理得到了保證一類非線性分數階微分方程耦合系統(3)在無限區間[0,+∞)上解的存在唯一性的充分條件。