基于Hopkinson 壓桿的M 型試樣動態拉伸實驗方法研究*

舒 旗，董新龍，俞鑫爐

（1. 寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江 寧波 315211；2. 北京理工大學機電學院，北京 100081）

在設計和分析沖擊載荷作用的工程結構時，需通過實驗獲取材料可靠的動態力學性能，來發展或校核材料的本構模型。分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar, SHPB）動態實驗技術加載簡單、測試精度高，已廣泛用于高應變率下材料動態壓縮性能研究[1-5]，而高應變率下的動態拉伸、扭轉性能的測試，目前仍相對困難[6]。近幾十年，已發展了多種形式Hopkinson 拉桿實驗裝置，其中最被關注的問題就是試樣與入射桿和透射桿的連接對測試結果的影響[7-13]。目前，在Hopkinson 拉桿實驗裝置中，主要采用粘接、螺紋或銷釘等方式，將入射桿、透射桿與試樣軸肩連接。由于連接強度低[8-10]，這些粘接方式無法滿足較高強度材料的性能測試需要；而螺栓及銷釘連接必須有極高的加工和安裝精度，以保證測試結果的可靠性。Nicholas[7]探討了連接對測試結果的影響，并指出：對帶連接螺紋的試樣，要得到可靠的高應變率拉伸實驗結果，必須保證試樣與拉桿螺紋孔間無任何間隙的精密配合，并保證拉伸試樣與桿完全水平對齊；連接螺紋間隙或試樣與桿端接觸不緊密，將會產生反射應力波，并被來回傳播放大，導致實驗結果的極大誤差，難以獲得準確可靠的拉伸材料性能結果。目前，Hopkinson 拉桿常采用的連接方式是，將帶有螺紋肩部的拉伸試樣直接擰入桿兩端的螺紋孔中。在拉伸波作用下，試樣的螺紋肩部、頭部與桿端必定分離，出現自由面，而應力波在自由面的反射，會導致實驗誤差。而且，粘接是通過有機膠黏劑將試樣粘結在入射桿和透射桿之間，這樣雖可以避免螺紋或銷釘連接中存在的間隙干擾，但因有機膠黏層具用較大黏彈性，拉伸時黏膠層產生的大變形對采用一維應力波理論計算的試樣應變有較大影響[13]，并且膠粘固化時間長、實驗效率低。

對于Hopkinson 拉伸桿實驗技術存在的問題，Mohr 等[14]曾提出采用Hopkinson 壓桿對M 型試樣加載，M 型試樣可將壓縮應力波轉為對試樣的動態拉伸加載，這樣可以避免試樣與桿的連接問題。但該方法提出后，未見采用和實驗驗證。一方面，可能是M 型試樣加工相對困難，另一方面，動態拉伸工程應用需求較多的是薄板材料（如汽車鋼板），不適合制作M 型拉伸試樣。近年來，增材制造的應用領域不斷發展，3D 打印金屬材料的動態拉伸性能及破壞特性研究也被關注[15-17]，有必要發展小試樣的動態單軸拉伸實驗方法。為此，本文中，對M 型試樣動態拉伸實驗開展實驗和有限元數值分析，分析M 型試樣的設計，探討試樣Hopkinson 動態實驗的一維應力和均勻性假設、實驗數據處理方法、加載波形、M 型試樣彈性修正等對實驗結果的影響，并進一步開展準靜態及動態實驗驗證。以期為M 型動態拉伸試樣的設計、分析和應用提供參考。

1 M 型試樣拉伸實驗和分析

1.1 M 型試樣拉伸原理

M 型試樣的拉伸及加載原理如圖1（a）所示，該方法最大特點是，將在試樣兩端施加的壓縮載荷轉換為對DE、D1E1兩段的拉伸加載。實驗中，可通過對DE、D1E1拉伸標段的受力、變形分析，獲得材料的拉伸性能。該方法既可用于準靜態拉伸試驗，同時也可以方便地通過Hopkinson 壓桿加載開展材料動態拉伸實驗，如圖1（b）所示。該方法實驗安裝便捷，不需要試件與Hopkinson 拉桿間的連接，避免了連接間隙引起的反射應力波給實驗帶來的誤差。Mohr 等[14]為保證試樣整體剛度，設計試件厚度較大，拉伸標段DE、D1E1與試樣整體厚度相同，拉伸段為寬度遠大于厚度的薄板形，可按一維應變拉伸狀態處理。

圖1 M 型試樣的拉伸加載原理Fig.1 Schematic of quasi-static and dynamic tensile test for M-specimen

1.2 試樣設計和變形分析

由于M 型試樣拉伸標段DE、D1E1僅為結構的一部分，有必要對試樣在壓縮載荷作用過程中力的傳遞、各部分的變形狀態和對實驗結果的影響進行分析，合理設計M 型試樣以保證拉伸標段DE、D1E1的均勻拉伸變形。

1.2.1 剛度分析

理論上，M 型拉伸試樣整體結構（見圖1（a））中，ABC、ABC1、EFG、E1F1G1和CBC1部分應有足夠的剛度，保證加載過程這些部分壓縮和轉動變形盡量小，避免對試樣拉伸段DE、D1E1的變形產生影響。由于Hopkinson 壓桿尺寸受限制，試樣的整體尺寸和剛度是有限的。在壓縮過程中，各部分變形量不同，會導致試樣的FG 段繞E 點發生轉動，圖2（a）為M 型試樣加載有限元模擬結果。由圖2（a）可見：由于試樣發生畸變，G 和G1點向外運動，形成外八字形狀，對DE 拉伸標段有附加彎矩作用，影響拉伸結果。因此，在試樣結構和尺寸設計時，應考慮盡可能減小畸變影響。為此，采用封閉M 型試樣設計，并減小AB 和ED 段間的間隙Δ，如圖2（b）所示，以增加試樣整體的剛度，減小畸變影響。

針對直徑14.5 mm 的Hopkinson 壓桿，設計試樣尺寸（見圖2（b））分別為：a=4.4 mm，b=14 mm，c=14 mm，d=12 mm，e=7.2 mm，間隙Δ=0.1 mm，試樣的整體厚度h=3.5 mm。試樣拉伸標段尺寸為：長l0=2.2 mm，截面為1 mm（厚度t）×1.5 mm（寬度w）的矩形。

圖2 M 型試樣變形和改進Fig.2 M-shaped specimen deformation and improvement

1.2.2 拉伸應力應變分析

無論是M 型試樣的準靜態實驗還是Hopkinson 動態實驗，一般只能測得試樣兩端的壓縮載荷 F (t) 和總位移 U (t) ，而M 型試樣拉伸標段只是其中一部分。因此，試樣兩端測得的位移U 包含試樣拉伸標段的變形和試樣其他部分的彈性變形貢獻。為了獲得試樣拉伸標段的變形位移，設試樣拉伸標段ED 塑性變形引起的位移為 Up(t) ，而試樣彈性變形部分引起的位移為 Ue(t) ，則有：

假設 Ue(t) 與試樣的整體剛度相關，并與施加的載荷力成正比：

則拉伸標段的工程塑性應變可表示為：

式中：K 為試樣剛度系數， F (t) 為試樣兩端的壓縮力， l0為拉伸標段的初始長度。

拉伸標段的工程應力可表示為：

式中：A=2wt 為拉伸標段的橫截面積。則相應的真應力、真應變分別為：

實驗中，只要測試M 型試樣兩端的載荷 F (t) 和位移 U (t) ，確定試樣剛度系數K，就可分析得到材料拉伸標段的應力應變曲線。

1.2.3 Hopkinson 動態加載分析

基于Hopkinson 壓桿的M 型試樣動態拉伸實驗加載測試原理如圖1（b）所示，M 型試樣位于入射桿與透射桿之間。

假設在加載過程中所設計的M 型拉伸試樣滿足Hopkinson 桿實驗的一維應力條件，即εi(t)+εr(t)=εt(t) ，則根據一維應力波理論，可方便得到M 型試樣x1、x2兩端的動態載荷 F (t) 、速度差 dv(t)和位移 U (t) :

式中： εi(t) 、 εr(t) 、 εt(t) 分別為入射波、反射波和透射波的應變，Ab為壓桿的橫截面積， c0為壓桿的彈性波速，E 為壓桿的彈性模量； vx1(t) 、 vx2(t) 分別為試樣與入射桿的速度、透射桿接觸面x1、x2處的速度。

2 動態有限元分析

為了探討在Hopkinson 壓桿實驗加載過程中所設計M 型試樣的一維應力和試樣均勻性條件，分析動態數據處理方法的可靠性，采用有限元方法，對在Hopkinson 壓桿加載下的封閉M 型試樣波傳播特性和變形特征開展數值分析。

2.1 有限元模型

采用Abaqus/Explicit 有限元程序，對分離式Hopkinson 壓桿作用下M 型試樣動態拉伸實驗進行建模和分析。試樣采用C3D8R 四面體實體單元，共有20 760 個單元，其中拉伸標段8 800 個單元，最小單元尺寸為0.01 mm。試樣拉伸段截面較小，采用鋁合金桿，以提高透射波信號。入射桿和透射桿直徑為14.5 mm、長1 000 mm，采用C3D10M 實體單元，入射桿33 641 個單元，透射桿20 184 個單元，最小單元尺寸為0.04 mm。

為了便于比較不同加載波形、不同加載率下應力波在試樣中傳播的特征，不考慮金屬試樣本構應變率效應，采用簡單的指數硬化彈塑性模型： σ =A+Bεn。其中，A、B、n 分別為材料的屈服強度、應變強化系數、應變硬化指數，取A=620 MPa、B=200 MPa、n=0.3，彈性模量Es=210 GPa。鋁合金壓桿采用線彈性本構：Eb=71.1 GPa，ν=0.35， = 2.70 kg/m3。

2.2 有限元結果和分析

有限元模擬中，采用了不同撞擊桿速度撞擊入射桿，考察不同加載率、不同加載波形下M 型試樣的動態響應特征和Hopkinson 實驗基本假設的滿足情況。

2.2.1 改進后試樣的變形特征

在300 mm 撞擊桿以速度v=2.38 m/s 沖擊下，M 型試樣與透射桿接觸端的作用力、試樣兩端壓縮位移和試樣整體變形特征，如圖3 所示。由圖3 可見：動態加載過程中，試樣壓縮位移穩定增大；當t=95 μs時，試樣兩端位移U=0.241 mm、拉伸標段軸向應變達到εyy=0.104，試樣整體仍保持均勻、穩定變形狀態，沒有發生明顯的畸變，與原開口M 型試樣變形狀態相比（見圖2（a）），試樣整體的彎曲畸變得到明顯改善?？梢?，在保持結構基本尺寸不變的情況下，改進封閉的M 型試樣設計，試樣整體剛度得到顯著提高，試樣畸變的影響明顯減小。

圖3 M 型試樣的加載力、壓縮位移和整體變形Fig.3 Dynamic force, compression displacement and global deformation of M-specimen

再對試樣拉伸標段的應力分布均勻性進行分析，圖4 為封閉M 型試樣拉伸標段的應力演化和不同位置的等效應力曲線。由圖4 可見：在加載前期（t＜27 μs，壓縮位移小于15 μm），試樣拉伸標段仍存在畸變引起的彎矩作用，但隨著拉伸變形的發展，在試樣整體壓縮位移至35 μm 后，沿試樣拉伸標段不同位置的等效應力趨于均勻，畸變引起的彎矩減小。因此，試樣拉伸標段的變形可看作一維應力拉伸狀態。

圖4 拉伸標段不同位置點的應力比較和軸向應力演化Fig.4 Stress comparison and axial stress evolution at different points of tensile section

2.2.2 Hopkinson 實驗基本假設滿足情況

Hopkinson 壓桿動態實驗分析要求試樣設計必須滿足一維應力假設，即 εi(t)+εr(t)=εt(t) 。用有限元模擬了撞擊桿速度v0分別為2.38、3.50、4.50 和6.80 m/s 狀況下，M 型試樣在不同加載速度下的響應特性和試樣兩端動態力的平衡狀態。

當撞擊桿速度v0=2.38 m/s 時，入射桿和透射桿上的入射波 εi(t) 、反射波 εr(t) 和透射波 εt(t) ，如圖5（a）所示。按Hopkinson 一維應力假設，由式（7）可得試樣兩端的加載力曲線，如圖5（b）所示，可見兩者符合較好。不同速度的有限元結果均有類似的結果，表明所設計的M 型試樣均能較好滿足Hopkinson 壓桿實驗的一維應力假設，可以按式（7）分析M 型試樣的動態拉伸力。

圖5 典型的入射波、反射波和透射波Fig.5 Typical incident, reflected and transmitted wave

圖5（b）中，M 型試樣兩端動態力均存在震蕩現象。不同速度下的模擬結果如圖6 所示，可見，隨著沖擊速度的增大，試樣載荷震蕩也增大，并且震蕩周期近似相同，約15.78 μs。這是由于，M 型試樣結構中存在多個自由表面（如圖1 中CBC1和EF），應力波在試樣中按A→B→C→D→E→F→G 順序傳播，過程中將在自由面發生反射、透射。從A 到E 距離為20.85 mm，按試樣材料彈性波速5 170 m/s 計算，來回反射傳播時間約為8.2 μs，與震蕩半周期近似相同。該震蕩周期是應力波在自由面反射、透射引起，而其本身具有短歷時上升，彌散震蕩的矩形應力加載波經試樣自由面反射、透射會被放大，加劇波形的震蕩，這將影響實驗拉伸應力分析。

為了減小動態力的震蕩對實驗分析的影響，在入射桿端加貼紫銅片，調整為三角波形加載。圖7 為

圖6 不同速度下載荷的震蕩Fig.6 Loading oscillation at different velocities

圖7 三角波加載下的入射波、反射波和透射波Fig.7 Incident, reflected and transmitted wave by pulse shaper

三角波形加載的典型入射波、反射波和透射波，還給出了與 εi(t)+εr(t) 的比較。由圖7 可見，與矩形波加載相比，試樣兩端力的震蕩明顯減小，同時試樣兩端準靜態平衡假設也更好符合。因此，在高應變率下M 型試樣的Hopkinson 實驗中，建議采用波形整形器方式加載，有利于改善應力平衡、減小試樣結構的影響。

2.2.3 拉伸應變分析和彈性修正

采用波形整形器加載時，有限元模擬的典型M 型試樣動態載荷 F (t) 和試樣兩端的總位移U (t) ，如圖8 所示。作為比較，圖8 中還有試樣拉伸標段兩端的實際位移Ul(t) 和通過入射波 εi(t) 、反射波 εr(t) 和透射波 εt(t) 按式（9）得到的試樣兩端總位移Ub(t) 。由圖8 可見：Ub(t) 與試樣實際位移 U (t) 很好符合，表明采用Hopkinson 一維應力分析可以準確得到M 型試樣兩端的位移；而試樣兩端位移 U (t) 大于Ul(t) ，正如上節分析，M 型試樣結構的彈性變形影響不能忽略，在計算拉伸標段應變時，需對 U (t) 進行修正，消除位移 U (t) 中由M 型試樣結構彈性變形引起的部分。

M 型試樣載荷F(t)-位移U(t)曲線如圖9 所示，彈性段斜率K 為M 型試樣的剛度系數，K=49.101 kN/mm。根據式（1）～（2），可計算試樣拉伸標段的塑形變形位移： Up(t)=U(t)-F(t)/K ，相應的 F (t) -Up(t) 曲線如圖9 所示。為了校驗拉伸塑性變形位移Up(t)的可靠性，圖9 還給出了有限元模擬的試樣拉伸標段兩端的實際位移Ul(t) ，位移Ul(t) 包含彈性和塑性變形兩部分的貢獻。因試樣拉伸標段為單軸拉伸變形，塑性變形產生的位移 Ups(t) 為：

式中： F (t)l0/(EsAs) 為標段彈性變形部分。相應的 F (t) - Ups(t) 曲線如圖9 所示，可見 F (t) - Ups(t) 曲線與 F (t) -Up(t) 曲線符合，說明對試樣整體位移 U (t) 彈性修正后，可以得到精確的試樣拉伸標段塑性位移Up(t) ，這驗證了修正方法的可行性。因此，在M 型試樣Hopkinson 動態拉伸實驗中，可以通過入射波、反射波和透射波，直接采用式（10）～（12），得到M 型試樣拉伸標段的應力、塑性應變和應變率。

圖8 動態載荷、位移和標段位移Fig.8 Dynamic force, global and local displacement

圖9 力-位移曲線及修正Fig.9 Amendment of force-displacement curve

圖10 為不同撞擊速度下有限元計算的一組動態真應力應變曲線，圖10 還給出了試樣拉伸標段中點的等效應力應變曲線和相應材料的本構方程曲線，三者符合較好。這表明，基于Hopkinson 壓桿的M 型試樣動態拉伸實驗的應力-塑性應變曲線能較好地反映材料的動態拉伸性能。圖11 為不同沖擊速度（1.7～6.8 m/s）下有限元模擬的一組應力應變曲線。由圖11 可見，加載應變率可達4 700 s-1甚至更高，因此，基于Hopkinson 壓桿的M 型試樣拉伸實驗可實現高應變率的動態拉伸測試。

圖10 實驗模擬應力應變曲線和本構方程Fig.10 Stress-strain curves and constitutive equation

3 M 型試樣Hopkinson 動態實驗驗證

圖11 不同應變率下的真應力應變曲線Fig.11 True stress-strain curves under different strain rates

3.1 試樣和實驗測試

3.1.1 試樣制備

M 型拉伸試樣由德國Eos M280 型金屬粉末3D 打印機制備。采用顆粒度為35 μm 的GP1 不銹鋼粉制作，其化學成分分別為：w(Fe)= 74.54%，w(Mn)=0.61%，w(Cu)=2.69%，w(Si)=0.63%，w(C)=0.05%，w(Cr)=17.54%，w(Ni)=4.36%。制備過程中，采用氮氣保護，防止氧化[18]。一次整版打印46 個M 試樣，以保證制備的試樣性能一致。

3.1.2 實驗和測試

對GP1 不銹鋼M 型試樣開展準靜態和Hopkinson 動態拉伸實驗。為了驗證實驗數據分析方法的可靠性，試樣表面噴涂散斑，采用FASTCAM APX RS 超高速相機（采樣頻率106s-1）記錄實驗動態變形，采用二維圖像相關法（DIC）分析可直接得到試樣拉伸標段的位移、應變，用于與實驗數據分析得到的結果比較、驗證。

準靜態M 型試樣拉伸實驗在MTS-810 型材料試驗機上完成，采用位移控制，速度為0.04 mm/s。動態M 型試樣拉伸實驗在直徑14.5 mm 的Hopkinson 壓桿上進行，考慮拉伸透射波信號較小，在實驗中采用鋁合金壓桿，子彈長度300 mm，在入射桿端加貼厚0.5 mm 紫銅片波形整形器。

3.2 實驗結果和分析

3.2.1 準靜態實驗結果

圖12 為準靜態實驗測到的載荷 F (t) 和試樣兩端壓縮位移 U (t) ，其中，U (t) 采用DIC 分析得到。作為比較，圖12 還給出了DIC 分析得到的試樣拉伸標段的位移Ul(t) 。與理論、有限元分析結果相同，實驗測得的試樣兩端位移 U (t) 大于拉伸標段局部位移Ul(t) 。為了獲得精確的拉伸標段應變，必須進行彈性修正。需要說明的是，在變形較大時，由于試樣表面噴涂散斑會脫落破壞，DIC 分析無法得到加載過程完整的變形 U(t)和標段拉伸位移Ul(t) 。

圖12 載荷和位移曲線Fig.12 Load and displacement curves

圖13 為實驗測到的試樣兩端的載荷 F (t) -位移 U (t) 曲線，該曲線彈性段的斜率K 即為實驗試樣的剛度系數（K=40.6 kN/mm），結果與有限元數值模擬的剛度系數（K=49.1 kN/mm）基本一致。按式（2）對U(t)彈性修正得到拉伸標段塑性位移 Up(t) ，再按式（5）～（6）計算試樣的真應力-塑性應變曲線。圖14 為彈性修正前和修正后的材料準靜態真應力應變曲線。作為驗證比較，圖14 還給出了采用DIC 分析直接得到的試樣拉伸標段中點的軸向應力-塑性應變曲線，可見對位移 U (t) 修正后，按式（5）～（6）得到的應力應變曲線與DIC 分析直接測得的應力應變曲線符合很好。這表明，改進封閉M 型試樣設計后，拉伸標段很好滿足單軸拉伸狀態，所采用的位移修正處理方法可消除試樣結構彈性變形的影響，滿足材料單軸拉伸性能實驗測試要求。

圖13 試樣兩端的載荷-位移曲線Fig.13 Force-displacement curve

3.2.2 動態實驗結果

采用Hopkinson 壓桿對GP1 不銹鋼封閉M 型試樣開展了系列動態拉伸實驗，撞擊桿速度為3.4～6.8 m/s，圖15 為一組典型的入射波、反射波和透射波。圖15 還給出了相應的 εi(t)+εr(t)的波形，它與透射波 εt(t) 較好符合，表明M 型試樣能很好滿足一維應力假設。

圖15 典型的入射波、反射波及透射波Fig.15 Typical incident, reflected and transmitted waves

圖16 為超高速相機記錄的M 型試樣加載時的變形、斷裂過程。由圖16 可見，試樣整體雖略有畸變，但試樣拉伸標段的伸長變形過程，是從初始均勻變形，到t=65 μs 時進入頸縮，再到最后的斷裂，且試樣斷裂發生在標段中部。這表明，拉伸標段保持了較均勻拉伸狀態，畸變附加彎矩的影響很小。

圖14 應力應變曲線及彈性修正Fig.14 Stress-strain curves before and after elastic correction

圖16 試樣加載過程Fig.16 Specimen loading process

圖18 為一組不同應變率下實驗測得的拉伸應力應變曲線，最大應變率達5 900 s-1甚至更高?？梢?，基于Hopkinson 壓桿的M 型試樣動態拉伸實驗，可以方便地用于材料高加載率的動態拉伸性能測試。

圖17 應力、應變曲線Fig.17 Stress and strain curves

圖18 拉伸應力應變曲線Fig.18 Tensile stress-strain curves

4 結 論

采用有限元數值模擬和實驗驗證方法，對M 型試樣的設計和準靜態、動態拉伸實驗方法進行了分析，通過改進封閉M 型試樣設計，增強試樣整體剛度，有效減少了試樣的轉動畸變和對拉伸標段的附加彎矩影響，保證了拉伸段均勻變形。主要結論如下：

（1）可以利用Hopkinson 壓桿對封閉的M 型試樣進行動態加載，滿足一維應力假設，該方法避免拉伸試樣與Hopkinson 桿端的連接問題，加載方便，測試精度高；

（2）在有限元和實驗驗證時，可以采用M 型試樣剛度系數K 修正位移，消除試樣結構彈性變形對測試的影響，計算得到精確的拉伸標段的塑性應變；

（3）采用波形整形器加載，可顯著改善試樣結構引起的載荷震蕩和兩端應力平衡，得到動態應力應變曲線，實現5 900 s-1甚至更高應變率下的動態拉伸實驗。

研究結果可為M 型試樣拉伸實驗設計和應用提供參考。