關于三線八角的新視角新解法

陳民

摘要：三線八角，既是重點，也是難點，對這一知識掌握的好與壞將直線影響到平行線判定與性質的學習。如何識別三類角？當面對一個稍微復雜的圖形時，很多學生就無從下手，恐懼襲心，繳械投降。其實，破解它是有方法可依、有思路可循的?？淳€段抓截線，看兩側找兩被截線，配對兩點的方位角，三類角便極速魚貫而出。

關鍵詞：線段;截線;被截線;三類角

中圖分類號：G633.6 ? ? 文獻標識碼：B ? ?文章編號：1672-1578（2020）23-0172-01

兩條直線被第三條直線所截，構造出八個角，一般稱為“三線八角”（見圖1）。其中沒有公共頂點的角可分為三類：同位角、內錯角、同旁內角。它們位置形狀特征分別是同側且同方的“F型”、兩側且內部的“Z型”、同側且內部的“U型”。從結構圖可看出，三線中必有一條線段，線段所在線為公共邊即截線。線段兩端點連著兩線即非公共邊，所在線為兩條被截線。顯而易見，線段之所在是截線之所在，線段成為快速解題的關鍵。由此歸納出找三類角的口訣：

一看線段，找公共邊（截線）

二看兩側，找另兩邊（兩被截線）

三看構圖，照對字母

找三類角的最難題目類型為在復雜圖中指出所有的同位角、內錯角和同旁內角，下面介紹破解妙法：

在幾條相交的被截直線‘多余地出現且直線有時又退化成射線或線段的變式圖形中，為了方便快速識別三類角，我們不妨把同頂點、同方位的角匯集為一個集合，并把同一集合的所有元素角的非公共邊合一（可取一邊代表），這時復雜圖形就簡化為簡單圖形，三線的位置恢復常態，八角的關系就更加清晰了，問題更易解決。

例如：將圖2簡化成圖3，①∠MEG、∠NEG與∠1同頂點同方位，匯集為一個集合{∠NEG，∠1，∠MEG}，同時∠MEF、∠NEF與∠4匯集為一個集合{∠MEF，∠NEF與，∠4}，非公共邊ME、NE、EB合一并取邊EB為代表。

②∠PFE與∠5同頂點同方位，匯集為一個集合{∠PFE，∠5}，∠PFH與∠8同頂點同方位，匯集為一個集合{∠PFH，∠8}，非公共邊PF、DF、合一并取邊DF為代表。

巧用集合角的特點，快速配對出同類角。因為集合元素角同頂點同方位，所以兩個集合之間的角元素進行兩兩配對所形成的角種類必定一樣。比如：如圖2，顯然∠4與∠5形成同旁內角，那么可知∠4所在的集合元素角與∠5所在集合的元素角兩兩配對都形成同旁內角。也即所有以E為頂點的右下方位角（如∠4）與所有以F為頂點的右上方位角（如∠5）兩兩配對都形成同旁內角（如∠4與∠5）。那么圖2的同旁內角有哪些呢？因為：簡化圖3的右側以E為頂點右下方的角{∠MEF，∠4，∠NEF}與以F為頂點右上方的角{∠PFE，∠5}兩兩配對得出同旁內角有{∠MEF與∠PFE，∠NEF與∠PFE，∠4與∠PFE，∠MEF與∠5，∠NEF與∠5，∠4與∠5}，還有左側的∠3與∠6。所以，圖2的同旁內角共有：∠MEF與∠PFE，∠NEF與∠PFE，∠4與∠PFE，∠MEF與∠5，∠NEF與∠5，∠4與∠5，∠3與∠6。

【例1】如圖4，指出圖中所有的同位角、內錯角和同旁內角。

分析：一般，線段所在就是截線所在。解答這類題目的關鍵是找兩端都有連接線的線段，這樣的線段所在線可看成截線。圖4是一個含有幾個變式三線八角圖的復雜圖形，可按截線逐一抽出簡化圖，寫出需要的方位角集合，并兩兩配對得出三類角。

在圖4中，共有三條線段，線段AB、AC、BC所在線都是截線。分別以AB、AC、BC為截線抽出簡化圖5、圖6、圖7。

如圖5：AB為公共邊、截線，EF、BC代表非公共邊、被截線

①同位角：{∠MAF，∠MAC}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對得{∠MAF與∠ABC，∠MAC與∠ABC，∠MAF與∠ABP，∠MAC與∠ABP}

②內錯角：{∠BAE，∠BAN，∠BAD}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對得{∠BAE與∠ABC，∠BAN與∠ABC，∠BAD與∠ABC，∠BAE與∠ABP，∠BAN與∠ABP，∠BAD與∠ABP}

③同旁內角：{∠BAC，∠BAF}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對得{∠BAC與∠ABC，∠BAF與∠ABC，∠BAC與∠ABP，∠BAF與∠ABP}

如圖6：AC為公共邊、截線，BC、EM代表非公共邊、被截線

①同位角：{∠DAN，∠DAE，∠DAB}與{∠C}兩兩配對得{∠DAN與∠C，∠DAE與∠C，∠DAB與∠C}

同理，兩兩配對得出，②內錯角：{∠CAF與∠C，∠CAM與∠C}③同旁內角：{∠CAN與∠C，∠CAE與∠C，∠CAB與∠C}

如圖7：有內錯角∠PBC與∠C，同旁內角∠ABC與∠C。

綜上所述，就可以得到以下答案：

解：①同位角：∠MAF與∠ABC，∠MAC與∠ABC，∠MAF與∠ABP，∠MAC與∠ABP;

②內錯角：∠BAE與∠ABC，∠BAN與∠ABC，∠BAD與∠ABC，∠BAE與∠ABP，∠BAN與∠ABP，∠BAD與∠ABP，∠CAF與∠C，∠CAM與∠C，∠PBC與∠C;

③同旁內角：∠BAC與∠ABC，∠BAF與∠ABC，∠BAC與∠ABP，∠BAF與∠ABP，∠CAN與∠C，∠CAE與∠C，∠CAB與∠C，∠ABC與∠C。

參考文獻：

[1] 七年級數學（人教版版）.