塊體可動性判斷的幾何算法研究

徐棟棟，李 波

(長江科學院 水利部巖土力學與工程重點實驗室，湖北 武漢 430010)

塊體理論由石根華等在1985年首次提出[1]，是非連續變形分析方法[2]和數值流形法[3]的基礎。塊體理論本質上是一種幾何分析方法，通過篩選幾何上可動的塊體，然后針對這一類塊體展開穩定性分析，極大地提高了效率。目前，已經廣泛應用于地下洞室、巖質邊坡和壩基工程穩定性分析中。塊體理論理論上非常完備，但針對某些假定的局限性以及工程實際需求，不少學者對其進行了改進。其發展主要有：①理論改進。如陳勝宏等[4]提出三維彈粘塑性塊體理論，克服了傳統塊體理論未考慮力矩影響和結構面變形的缺陷。張子新等[5]建立了分形塊體理論，并應用于三峽永久船閘高邊坡巖體穩定性分析中，計算結果有效可靠。于青春等[6]提出一般塊體理論方法，可解決任意大小裂隙、任意形狀工程巖體的巖石塊體識別及穩定性等計算問題，克服了無限大結構面假設、無法預測巖石塊體數量和位置等缺點。鄔愛清等[7]在三維結構面網絡模擬的基礎上，實現了三維隨機塊體的搜索工作。徐棟棟等[8]將塊體理論擴展到地震歷時作用下的動力穩定性分析中，以累積滑動位移和動安全系數共同評價塊體的動力穩定性。②工程應用及改進。黃正加等[9]將塊體理論中的矢量法成功地應用于三峽工程的隨機塊體及大型斷層定位塊體的穩定性分析中。張奇華等[10]將塊體理論的應用在百色水利樞紐地下廠房巖體穩定性分析中進行了充分的展示。王在泉等[11]將塊體理論應用于搜索巖質邊坡的潛在滑移面。毛海和等[12]將其應用于龍灘水電站地下廠房洞室群工程穩定分析。楊慶等[13]將其應用于荒溝抽水蓄能電站地下廠房系統硐室群圍巖穩定性分析中。鄔愛清[14]將塊體理論應用于三峽工程船閘邊坡和地下廠房巖石塊體穩定性分析中，解決了一系列關鍵問題，如任意形狀的塊體體積計算、凹形塊體幾何識別以及水壓力計算等。③軟件開發。張奇華等[15]在Windows環境下開發了塊體理論的工程分析軟件，具備完備工程分析所需功能，如赤平投影、復雜塊體可視化、塊體穩定性分析及支護措施、隨機塊體分析等。中國科學院大學工程計算中心也研發了easyKBT和VisKBT軟件，具有較好交互界面。另外，李建勇等[16]綜述了塊體理論的發展歷程，具有很好的參考價值。

工程巖體穩定性分析往往是在地質素描圖的基礎上展開的，第一步要找出不同結構面組合可能形成的可動塊體。赤平投影分析方法因其直觀性，受到了工程人員的青睞，實際上是一種純幾何分析方法。判斷塊體的有限性和可動性，實際上就是判斷節理錐是否非空以及節理錐和開挖錐之間是否有交集。傳統方法采用人為觀測方式來判斷，這一方式受主觀因素影響較大。通過計算幾何方式將這些節理錐或開挖錐以幾何圖形方式進行表征，進而通過其間的關系判斷塊體的可動性，可提高分析準確性和效率。

1 塊體理論概述

裂隙巖體由空間不連續面切割而成，在自然狀態下是靜力平衡的。但當遭遇到人工擾動，如邊坡或地下洞室開挖等，會使得暴露在臨空面上的塊體由于邊界條件的解除而失去了原始平衡狀態，產生剪切滑移或崩塌，甚至會產生連帶效應，造成整個工程巖體的破壞。首先失穩的塊體稱之為關鍵塊體。塊體理論研究巖體結構被擾動后的破壞機制以及相應的工程處理措施。塊體理論嚴格遵循3個基本假定：①不連續面為平面且無限大；②巖石塊體為剛體；③巖體失穩為沿結構面的剪切滑移。

1.1 兩個基本定理

塊體的可動性判斷是基于棱錐展開的。棱錐是將各組結構面和臨空面移至一公共點后，構成的以此公共點為頂點的一系列空間區域。僅以結構面為界的巖體半空間所構成的棱錐稱為節理錐(JP)；僅以臨空面為界的巖體半空間所構成的棱錐稱為開挖錐(EP)。塊體的有限性及幾何可動性定理如下：

1)塊體的有限性定理：

一個凸形塊體為有限的充要條件是，節理錐與開挖錐的交集為空集。即：

JP∩EP=Φ。

(1)

2)凸形塊體幾何可動性定理：

一個凸形塊體，當其塊體有限，且節理錐為非空集時，該塊體為幾何上的可動塊體；當其塊體有限，節理錐域也是空集，則塊體為幾何上的不可動塊體?？蓜訅K體的充要條件用數學表達為：

(2)

1.2 全空間赤平投影

塊體理論有兩種分析方法：矢量運算法和全空間赤平投影方法。兩者是相互獨立的求解方法，這里僅針對全空間赤平投影這種幾何分析方法展開，目的在于克服塊體有限性判斷時需要人為觀測JP和EP幾何包含關系的缺陷。全空間赤平投影是判斷塊體可動性的最為直觀和簡便的方法?？臻g不連續面的全空間赤平投影為一圓形，其內部相應于不連續面的上半空間，外部表示全部下半空間，兩者組合在一起構成全空間。

如圖1，赤平投影以球體作為投影工具(稱為投影球)，將結構面或臨空面平移使之置于球心，由球心發射射線將所有平面自球心開始投影于球面上，得到平面的球面投影。然后，再以投影球的南極或北極為發射點，將平面的球面投影再投影于赤道平面上。本研究采用的是下極射投影，也就是從球的南極點發射射線，如圖2。

圖1 投影球和投影圓

圖2 投影原理

全空間赤平投影將三維巖體的空間屬性以二維投影區域的方式表示，便于塊體理論的工程應用。不連續面組成的不同類型的錐域可用全空間極射赤平投影平面上相應的投影區域表示；塊體的有限性和幾何可動性判斷定理則是相應投影區域間的幾何包含關系。

2 可動性判斷的幾何算法實現

以文獻[17]中凹形邊坡算例為例，對塊體可動性判斷的幾何算法實現流程作說明，流程圖如圖3所示。采用MATLAB編程實現，該流程可以復現且難度不大。

圖3 算法程序流程圖

1)選用案例參數

邊坡中有4組結構面P1～P4和2組臨空面P5～P6，各個平面的產狀如表1所示；是由P5的下盤L5和P6的上盤U6組成的凹形邊坡。

表1 各個平面的產狀

2)赤平投影圓的半徑及圓心

直角坐標系下，赤平投影圖以參照圓圓心為原點，正東為x向軸，正北為y向軸。設不連續面P的投影圓半徑為r，傾角為α，傾向為β的平面，圓心坐標為Cx和Cy，則有：

(3)

其中，R表示參照球面的半徑。

計算幾何中，往往采用一系列短線段組合的方式來表征圓形，當線段長度足夠短時可以逼近整圓，這與文獻[1]塊體理論相關程序中的處理保持一致。選用所有結構面和臨空面投影圓中半徑最小的圓的某個小角度所對應的弧長作為基準，對所有的圓進行離散。離散時所用角度可以根據計算需要進行調整，本研究選用5°離散線段表征結構面和臨空面的投影圓，如圖4所示。通過離散點以及交割點即可對JP和EP所代表的區域進行幾何描述，類似于非連續變形分析方法中的“塊體”。

圖4 結構面和臨空面的投影圓

3)無限區域的有限表征

根據下極射投影，不連續面的上盤為投影圓的內部區域，是一個有限區域；而下盤則是一個無限區域，這使得幾何描述JP或EP區域變得不可能。但采用合適的有限區域表征這一無限區域即可將這一癥結徹底解決。

具體做法為：針對所有的投影圓，確定一個初始矩形框，剛好將所有圓包含在內；然后將水平和豎直向外延一定的長度確定新的矩形框，如圖5所示。確定所有圓的最小x坐標點和最大x坐標點，建立兩條與矩形框相交的線段，使得矩形框與投影圓之間可以建立幾何切割關系，便于后續對于JP或EP的幾何特征的描述。至此，就形成了切割JP、EP系統以及表征上下盤關系所需要的所有線段的信息。下一步的工作就是進行拓撲切割，形成相關環路信息。

圖5 表征結構面和臨空面的幾何系統

4)拓撲切割形成JP初始域

這里，參與切割的是結構面投影圓的相關線段以及補充的矩形框和兩條線段，切割完后形成了表征不同JP的初始相關環路，如圖6所示。實際上，兩條輔助線段是為了規避切割程序對多連通域無法操作的缺陷而引入的，它們本不應存在。因此，對于共用兩條輔助線段的相關區域的所有線段，在剔除這兩條線段后，進行環路搜索，即將這些區域進行融合生成了最終的JP，如圖7所示。環路搜索是一個較為復雜的拓撲操作，具體可參考文獻[18]。

圖6 形成的初步JP區域

圖7 形成的最終JP區域

5)開挖錐區域

針對這一算例，開挖錐EP=L5∪U6，L5和U6區域如圖8所示。換言之，表征P5的下盤區域和表征P6的上盤區域的并集為開挖錐EP的區域，如圖9所示。表征L5的多邊形為一多連通區域，U6為一單連通區域，兩者求并已經有很多較為成熟的算法，這里不再贅述。

圖8 P5的下盤和P6的上盤

圖9 EP區域

6)確定節理錐編號

將每個JP區域依次與4個投影圓區域進行比較，若JP位于圓內，則JP區域處于上盤，記為0，否則是下盤，記為1，循環完后即可得到JP區域的編號，如圖10所示。

圖10 JP編號

7)確定JP區域與EP區域是否有交集

已知在JP非空的情況下，判斷JP和EP是否具有交集，以便于判斷塊體的可動性。如圖11所示，JP1100和1010與EP并無交集，說明塊體是可動的。其余情況下，兩者均有交集，說明塊體為不可動塊體。如圖12所示，JP1011和1111中突出的三維展示部分為交集。

圖11 可動塊體的JP與EP幾何關系展示

圖12 不可動塊體的JP和EP的幾何關系展示

3 工程應用

針對某供水工程TBM開挖隧洞，基于現場實測結構面數據，通過統計學的方法對巖體結構參數進行了定量化的描述和分析。在此基礎上，利用蒙特卡羅對未測繪段洞室進行了模擬，生成了相應的隨機結構面。利用本研究的算法，對臨近的可能形成可動塊體的不同隨機結構面的組合進行了排查。在確定幾何可動塊體后，進一步利用全空間赤平投影程序進行分析滑動模式及安全系數的計算。極大減輕了工程師肉眼觀測的負擔，節省了工作量，提高了分析效率。本研究只選取一套可能的隨機面組合進行分析，共包含4組結構面和4組臨空面，如表2所示。

表2 結構面產狀信息

利用本算法生成的節理錐如圖13所示。JP0001和0011與EP并無交集，因此為幾何可動塊體，如圖14～15。再進一步分析塊體力學上的穩定性，如圖16所示全空間赤平投影分析結果，可見0011在自重作用下是穩定的；而0001的滑動模式為沿著1、2面滑動，但在給定的摩擦角33°情況下，也是力學上穩定的。塊體0001的形態如圖17所示，體積為1.64 m3。

圖13 不同區域代表的節理錐編號

圖14 JP 0001與EP的幾何關系

圖15 JP 0011與EP的幾何關系

圖16 全空間赤平投影分析

圖17 塊體形態

4 結論

矢量分析方法可以獨立實現塊體可動性的判斷，但其矩陣運算較為抽象，無法感性地認知JP和EP。全空間赤平投影的最大的優點在于直觀，本研究針對可動性判斷中塊體是否有限需要人為判斷這一缺陷進行了改進，以表征JP和EP的多邊形之間是否存在重疊區域來確定兩者之間的包含關系，可通過計算幾何實現自動判斷。這一套方法從幾何上判斷可動性是完備的，與矢量法是兩種處理方式，相互獨立。通過改進的算法進行第一步的篩選工作，有助快速通過純幾何的方法來獲得幾何可動的塊體。在此基礎上開展力學分析，可極大地提高分析效率。