半群TOn(k)的格林關系及正則元

甘文秘, 高榮海,羅永貴

(貴州師范大學 數學科學學院, 貴州 貴陽550025)

設S是半群,a,b∈S,若a,b生成相同的主左理想,即S1a=S1b,則稱a與b有L關系,記為aLb或(a,b)∈L;若a,b生成相同的主右理想,即aS1=bS1,則稱a與b有R關系,記為aRb或(a,b)∈R;若a,b生成相同的主理想,即S1aS1=S1bS1,則稱a與b有J關系,記為aJb或(a,b)∈J.令H=L∩R,D=L°R,則L,R,J,H,D是半群S上的等價關系,這5個關系統稱為半群S上的格林關系.若a∈S,存在b∈S使得aba=a,則稱a是正則元.若a2=a,則稱a是冪等元.顯然,冪等元是正則元,但正則元不一定是冪等元.

格林關系和正則元的研究是確定1個半群代數結構的基礎,對半群的發展有著至關重要的作用,目前已有諸多學者對半群的格林關系及正則性進行了研究.文獻[1]論述了格林關系的來龍去脈,得到了諸多廣義的格林關系. 文獻[2]獲得了部分保序且壓縮變換半群的格林關系和正則元. 文獻[3-5]研究了幾類保序變換半群的格林關系和正則元. 文獻[6-8]分別獲得了半群PO(X,Y,θ)、半群T(X×X)、半群OSn的格林關系和正則元.

為了討論TOn(k)的格林關系和正則元,給出了下面的準備知識和術語.

設[n]={1,2,…,n}且賦予自然序, 對任意的k∈[n].記[k]={x∈[n]:1≤x≤k},[k]是[n]的非空子集.Tn是[n]上的全變換半群,設α∈Tn,對任意的x,y∈[n].x≤y?xα≤yα,則稱α是保序的.設On是Tn中所有保序變換之集,則On是Tn的子半群,并稱On為[n]上的保序變換半群.令

TOn(k)={α∈Tn:(?x,y∈[n])x≤y≤k?xα≤yα≤k},

則容易驗證TOn(k)是Tn的子半群.為了方便,引入以下符號:

對任意的k∈[n].記[k]={x∈[n]:1≤x≤k},對任意的1≤k≤n,任意取α∈TOn(k),令

Λα(k)={x∈lm(α):min(xα-1)≤k},

(1)

(2)

注:本文未定義的術語及符號參考文獻[9-10].

1 半群TOn(k)的格林關系和正則元

眾所周知,在有限半群中,J=D,H=L∩R.因此,本文僅討論半群TOn(k)上的L,R和D關系.

定理1設α,β∈TOn(k),則(α,β)∈L當且僅當lm(α)=lm(β)且Λα(k)=Λβ(k).

證明設α,β∈TOn(k).假若(α,β)∈L,則存在δ,γ∈(TOn(k)1,使得α=δβ且β=γα.于是lm(α)=(dom(α))α=(dom(α))δβ?(dom(β))β=lm(β),同理可證lm(β)?lm(α).因此, lm(α)=lm(β).

對任意的x∈Λα(k),則x≤k.于是存在y≤k使得xα-1=y,即yα=x.從而x=yα=(yδ)β,進而y∈dom(δ).由δ∈(TOn(k)1可知yδ≤k,于是x∈Λβ(k).因此Λα(k)?Λβ(k).同理可證Λβ(k)?Λα(k).因此Λα(k)=Λβ(k).

反之.假若lm(α)=lm(β)且Λα(k)=Λβ(k). 不妨設

其中Λα(k)=Λβ(k)={a1,a2,a3,…,ai},且a1

證明設α,β∈TOn(k).假若(α,β)∈D,則存在γ∈TOn(k)使得(α,γ)∈L且(γ,β)∈R.于是

lm(α)=lm(γ),Λα(k)=Λγ(k),

(3)

于是(amγ-1)β=bm,m∈[1,r].由γ～kβ知,n∈[1,i),m∈[i+1,j],an

顯然,α=αβα.為了證明α是正則元,只需要證明β∈TOn(k)即可.

由于α∈TOn(k),則minA1

推論1設α,β∈TOn(k)是正則元,則

1) (α,β)∈L?lm(α)=lm(β);

2) (α,β)∈R?Ker(α)=Ker(β);

3) (α,β)∈D?|lm(α)|=|lm(β)|且|Λα(k)|=|Λβ(k)|.

證明由于推論的必要性是顯然的,故只對充分性進行證明.