激發極化中的賽格爾近似及飽和效應

莊嚴,李桐林

吉林大學 地球探測科學與技術學院，長春 130026

0 引言

式中:ρs為視電阻率；ρi為地下第i塊的真電阻率；ηs為視極化率；ηi為地下第i塊的真極化率。

視極化率與極化率之間是線性關系，只要計算出了視電阻率對電阻率模型的偏導數矩陣，就可以計算視極化率，或者用已知的視極化率反演極化率。目前，根據賽格爾體激發極化理論[2]，利用賽格爾公式的線性反演方法得到廣泛應用。在反演中，利用電位函數與模型參數間的關系計算偏導數矩陣，大大減少了計算工作量。根據Tripp et al.[3]提出的理論，阮百堯[4]利用互換定理給出了一種視電阻率對模型電阻率的偏導數矩陣簡便計算方法。 Li et al.[5]的二維極化率數據反演、阮百堯等[6-7]的二維激發極化反演及黃俊革[8]的極化率反演都是利用賽格爾公式的線性反演。Li et al.在二維極化率數據反演中用了3種反演方法，第一種就是利用賽格爾公式的線性反演，后兩者是非線性反演，對于利用賽格爾公式的線性反演他們作了這樣的評述：賽格爾公式是一個線性公式，利用該公式反演的優勢是只需解決一個線性反演問題，這種方法簡單、快速，可以節約出大量的時間用于數據誤差估計和選擇更多的反演精度以達到更好的反演效果，且該方法對數據的測量誤差不敏感，但其沒有考慮非線性的影響，特別是極化率較大的情況[5]。劉海飛論述利用賽格爾公式的線性反演可以通過增加電阻率反演的迭代次數來改善電阻率反演結果從而改善極化率的反演結果[9]。柳建新等對線性反演和非線性反演進行了模擬、對比及分析，得出的結論與上述基本相同[10]。黃俊革在三維激發極化正演中利用賽格爾公式計算了視極化率[11]。

賽格爾在利用賽格爾公式對均勻半空間中的一個低阻球體模型進行了一維正演計算，發現當圍巖電阻率不變時，隨著球體電阻率不斷降低，視極化率異常并非單調增大，而是先增大后減小，這種現象稱之為飽和效應。利用賽格爾公式對該模型進行推導，得出在球體與圍巖電阻率比值為0.5時取得視極化率最大值。據此認為激發極化法不適合尋找電阻率差異懸殊的極化礦體，這種電阻率有數量級上的差異會抑制IP效應。王慶乙則對飽和效應提出了異議，認為飽和效應完全是賽格爾近似公式計算造成的，在尋找良導致密銅礦和低阻炭質板巖礦的實踐中并未出現飽和效應問題，且完成了銅球和石墨球的水槽實驗，以進一步說明激發極化不存在飽和效應，同樣適合尋找電性差異較大的極化礦體[12]。

針對賽格爾公式的近似精度問題以及飽和效應的認識問題，筆者進行了激發極化中賽格爾公式的推導，分別用等效電阻率法和賽格爾公式法兩種方法進行了正演模擬和分析，通過對比這兩種方法的正演結果，給出賽格爾公式的適用范圍；同時對激發極化中的飽和效應進行正演模擬，研究了飽和效應的影響因素并分析了其物理實質。該研究對選擇正確的激發極化正演方法及激發極化中飽和效應的認識有重要意義。

1 激發極化中的賽格爾近似正演理論

根據等效電阻率法正演理論：

(1)

(2)

由視極化率定義

(3)

整理可得：

(4)

由于大多數極化體的極化率η遠<1，因此

(5)

得出賽格爾公式：

(6)

以上為賽格爾公式推導過程，其中有兩處進行了近似處理：一是在式(1)中將總場電位表達式用一次電位與各個極化體產生的二次電位線性相加；二是在式(6)中，等效視電阻率近似等于視電阻率。

實際地下的這種結構為非線性，

(7)

2 模型試算

2.1 賽格爾公式的驗證

為了驗證賽格爾公式計算的準確性，要求理論正演必須有解析表達式，確保理論正演正確，那么對有理論解析式的均勻半空間中單個極化球體以及有極化層的層狀介質模型進行理論正演(等效電阻率法正演)計算，其結果與相應的賽格爾公式正演計算結果進行了對比。

均勻半空間中的極化球體視極化率曲線對比結果見圖1。圖1(a)對應的物理參數為：球體中心坐標(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 1.0。圖1(b)對應的物理參數為：球體中心坐標(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 0.01。

a.球體與圍巖電阻率1∶1視極化率曲線對比結果圖; b.球體與圍巖電阻率1∶100視極化率曲線對比結果圖。圖1 均勻半空間中極化球體的視極化率曲線Fig.1 Apparent polarization curves of a polarization sphere in homogeneous half space

從圖1可以看出在計算低阻高極化球體的視極化率上，賽格爾公式計算的視極化率異常要小于理論計算的異常，并且隨球體電阻的降低其誤差隨之增大。

高極化率層狀介質視極化率曲線對比結果見圖2。模型為4層介質，第一二三層厚度分別為100 m、500 m、1 000 m，一二三四層的電阻率分別為10 Ω·m、100 Ω·m、1 000 Ω·m、10 000 Ω·m，極化率分別為0、0.2、0.5、0.8。

從圖2可以看出，對于高極化的層狀介質，利用賽格爾公式計算的結果出現較大誤差。

對于極化率不是很高的層狀地電結構進行正演計算(圖3)。模型的厚度和電阻率同圖2模型，但極化率變小。極化率分別為0、0.05、0.1、0，在不同極距下視極化率的計算結果如圖3所示。

圖2 極化率差別較大情況下層狀介質的視極化率曲線對比Fig.2 Apparent polarization curves of a layered earth model in high-contrast polarization

從圖3可以看到，對于極化率不是很高的層狀介質，賽格爾公式計算結果同樣出現較大誤差，說明該公式對復雜的層狀介質計算不準確。

圖3 極化率差別較小情況下層狀介質的視極化率曲線對比Fig.3 Apparent polarization curves of a layer model in general-contrast polarization

綜上，對多層有極化的層狀介質或低阻高極化球體來說，賽格爾公式計算結果會有較大誤差。這種情況表明，利用賽格爾公式反演極化率同樣會出現較大的誤差，即使可以通過增加電阻率反演迭代次數來改善電阻率反演結果進而改善極化率的結果，但這種改善只能是對反演曲線擬合程度的改善，無法避免賽格爾公式的近似性所造成的誤差。

2.2 飽和效應的模擬

采用2.5維直流電法有限元正演進行二維視極化率正演模擬研究。給定的模型如圖4所示，其正演結果見圖5。

圖4 正演模型及參數Fig.4 Forward calculation model and parameters

圖5 二維正演模擬視極化率異常剖面曲線圖Fig.5 Two dimensional forward modeling apparent charge ability anomaly map

圖5說明在相對高阻體A上的視極化率異常要高于相對低阻B上的視極化率異常，這說明數值模擬中也能看到所謂的“飽和效應”的存在。

為了進一步說明飽和效應的規律，圖6給出了一組不同球體半徑r對應的視極化率異常值隨μ12變化的曲線圖，球體中心相同。

圖6 球體視極化率ηs隨μ12變化的對比曲線圖Fig.6 Apparent charge ability ηs curves with different radius μ12

3 結論

(1)賽格爾公式在任何情況下，都是一個近似公式。特別是高極化情況下，利用賽格爾公式計算視極化率存在較大偏差。

(2)飽和效應不僅受電阻率的影響，而且受極化體大小影響，極化體越大，飽和極值所對應的μ12值越小，也就是說相對更低阻的極化才能達到飽和。

(3)用激發極化法研究特別低阻的極化礦床時，異常的極大值可能會偏離富集礦體中心，因此根據異常定性分析預測礦體的位置可能出現偏差。