基于小波變換瞬時頻率優化的相位細分方法

張紫楊，張文濤，杜 浩，熊顯名

(桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西桂林 541004)

0 引言

集成電路產業是新一代信息技術產業的核心，對制造集成電路的高端制造業的要求也越來越高[1-2]。為了制造出更高精度的光刻機，對光刻機的工作臺的定位和運動位移的測量精度提出更高的要求[3]。在精密位移測量領域中要求測量信號具有高精度分辨力，以實現宏觀結構下微細尺度的精密測量和控制[4]，光學干涉儀在位移測量具有精度高的優勢。其中光柵干涉儀憑借光程短、測量穩定性比激光干涉儀更高的優勢，在實際中的應用不斷增多。

為了得到更高的測量精度，除了測量系統的提升之外，還可以通過對測量信號進行細分來提高信號的測量精度[5]。對信號的細分是通過在信號幅值、頻率和相位中進行插值，將測量信號的一個周期分成可以識別的多個周期信號，經過細分后運動位移的測量精度成倍數提高[6]。除了對測量信號的細分外，還可以對控制信號進行細分，完成更高精度的運動控制。

現有的細分方法可以分為機械細分、光學細分、電子細分和微處理器細分等，其中機械細分和光學細分由于制作復雜、成本高和調整難度大等問題使用受到限制；電子細分的研究比較成熟，是通過電子電路對測量信號細分，不過對測量信號質量要求很高，需要進行優化和補償。微處理器細分是將信號轉換成數字信號，在微處理器中對信號細分既可以對信號幅值也可對信號相位細分，細分方式多變，隨著微處理器處理數據性能的提升，對微處理器細分的研究不斷深入[7]。

基于微處理器細分方法，本文優化了對信號相位細分的方法，通過對信號瞬時頻率的提取，計算出細分時間，然后可以得到一段時間內細分相位的數量實現對位移的高精度測量，測量精度達到0.8 nm，并通過仿真試驗驗證了該方法的可行性。

1 時域內的相位細分方案設計

相位細分是對測量信號的相位進行處理，所以需要提取信號的瞬時頻率，具體流程圖如圖1所示。

圖1 對信號相位細分測量位移流程圖

1.1 相位細分基本理論

對信號周期內插值進行細分處理過程中最重要的是保持插值的均勻性，要保證物體被測量或控制量被均勻分割。在用光柵干涉儀測量位移得到的干涉信號的相位與位移之間有線性關系，對位移的均勻細分在相位上也是均勻細分，其中光柵測量信號相位與位移的關系式為

(1)

式中：L為運動位移；d為光柵的柵距；φ為測量的干涉信號相位。

由式(1)可知，當光柵的柵距確定后，信號的相位與位移有確定的線性關系。

對頻率變化的信號相位表達式為

(2)

式中f(t)為信號在時間段0～T之間的頻率變化。

將式(2)帶入式(1)中可得：

(3)

在式(3)中用時域中的時間變化表述運動位移，將對位移的測量轉換到時域之中，對運動位移的細分也可轉換到時域之中對相位的細分[8]，其關系如圖2所示。

圖2 運動位移與信號相位和時間的關系

由圖2可知，細分位移ΔL與細分相位Δφ具有線性對應關系，細分相位為頻率在細分時間Δt內的積分，在實際測量中設定在細分時間內頻率保持不變，此時細分相位的公式為

(4)

式中：f0為在細分時間內的不變頻率；n為信號的細分倍數。

當信號的細分倍數確定時，便可以求得細分時間的公式為

(5)

通過計算測量過程時間段內細分時間的個數N，將其帶入到式(1)中得到高精度位移公式為

(6)

將位移從空間領域轉換到時間領域中對細分時間的統計，對應關系更加清晰，細分效果特別是細分倍數更加穩定。

1.2 相位細分方案設計

在測量系統對信號進行采樣過程中，采樣周期是定值，而細分時間隨著頻率變化，且細分點比采樣點多，所以細分點與采樣點不在同一點。細分點的頻率需要經過計算，本文根據細分點頻率計算方法的不同，設計了兩種相位細分方案：一種是以采樣點頻率作為細分點頻率的細分方法，優點是運算方便簡單，缺點是誤差過大；另一種是細分點頻率在采樣點間均勻分布的細分方法，先使用細分點頻率計算細分時間，再根據均勻分布得到下個細分點頻率，如此循環可以降低誤差，但增加了運算量。2種相位細分方案的細分相位的對比如圖3所示。

圖3 2種相位細分方案的細分相位

在圖3中細分時間Δt內的實線框包含部分為以采樣點頻率為細分點頻率的細分方法得到的細分相位，加上的虛線包含的部分，為細分點頻率在采樣點內均勻分布的細分方法得到的細分相位。

2種相位細分方法各有優劣，信號的頻率變化越快，以采樣點頻率為細分點頻率的細分方法細分誤差就越大，所以當信號的頻率變化較快時，采用細分點頻率在采樣點內均勻分布的細分方法進行細分。

2 小波變換提取瞬時頻率及其優化

相位細分方案的關鍵是細分時間的計算，通過式(5)可知，要想得到細分時間需要得到測量信號的頻率。通過對短時傅里葉變換、Gabor變換、Wigner分布和小波變換等提取信號頻率的方法進行比較后，選擇了提取效果好、實用性較強的小波變換來提取干涉信號的頻率。

小波變換是將由小波基函數伸縮變換的子小波函數序列通過平移與信號進行運算，在每個平移點處都得到一系列小波系數。小波系數表示信號與子小波函數的相似程度，小波系數最大點的子小波函數的頻率可以作為信號在此平移點的瞬時頻率[9]。

由于對測量信號特別是頻率變化范圍過大的測量信號進行連續小波變換時，運算量較大，運算時間增加，效率降低。所以需要對小波變換進行離散化，可以降低運算量，但也引入誤差[10]。

針對小波變換離散化帶入的誤差，本文使用了擬合函數平滑優化的方法對信號進行局部分段處理，選擇的擬合函數有直線函數、多項式函數和指數函數以及多擬合函數聯合優化方法，優化后的效果如圖4所示。

圖4 信號優化前后頻率變化圖

3 信號仿真實驗

光刻機運動臺的運動的過程大致分為3部分，加速、勻速和減速，勻速運動過程中速度不變，與速度相對應的頻率也保持不變，其中加速運動和減速運動的變化過程大致相同，所以這里只討論了加速過程。

本文選取加速運動過程進行分析，由于光刻機運動的需要設定加速度a=100 m/s2。選取的光柵為1 200 line/mm，光柵常數d=833.3 nm，光柵衍射光干涉的信號頻率為(2±1)MHz，采樣頻率為100 MHz，由多普勒效應可得到光柵干涉儀測量信號的頻率與運動速度公式為

(7)

式中Δf為干涉信號的頻率。

設定干涉信號為幅值為10的正弦信號時，測量信號公式為

(8)

對仿真信號的頻率函數生成的數據使用本文設計的2種相位細分方法，得到一定細分倍數下的細分時間，如圖5所示。

圖5 2種相位細分方法得到的細分時間圖

從圖5可以得到以采樣點頻率為細分頻率的細分方法在采樣點間的細分時間不變，而細分點頻率均勻分布的細分方法的細分時間在采樣點均勻變化。而2種細分方法得到的細分相位與真實相位的相位差值如表1所示。

根據表1中數據進行計算可以得到2種細分方法得到的相位差的平均值，其中以采樣點頻率為細分點頻率的細分方法得到的相位差的平均值為2.396×10-6rad，而細分點頻率按照均勻函數分布的細分方法得到的相位差的平均值為2.496×10-8rad。通過對數據的分析確定細分點頻率均勻分布的細分方法在本文測試中細分效果更好。

表1 2種細分方法得到的相位差

通過將仿真信號進行采樣，數據經過小波變換后得到采樣點的頻率，再進行細分處理得到的相位差的平均值為1.911×10-4rad，與理論方案相比誤差較大，經過擬合函數優化后再細分得到的相位差如表2所示。

表2 不同函數優化后相位差值表

由表2可知，多擬合函數聯合優化的相位差均值和方差最小，優化的效果最好，選擇使用此優化方法，降低至優化前的14.8%。在細分倍數為1 024倍時，單個細分位移及位移測量精度為0.8 nm，相位誤差降低到2.831×10-5rad,此時的位移誤差為1.870×10-3nm。本文設計的相位細分方案達到研究的預期目標，還能根據不同的需求變換細分倍數，并且具有很好的穩定性。

4 結束語

為了提高位移測量精度設計的2種相位細分方法，能根據測量需求不斷調整細分倍數，改變測量精度，分析和仿真試驗證明，在經過優化后，系統的測量精度達到0.8 nm，位移誤差為1.870×10-3nm，能滿足對位移的高精度測量要求。由于測量誤差在測量過程中會疊加，影響測量的量程，所以需要對由于細分方案和瞬時頻率提取帶入的誤差進一步的優化處理，在達到高測量精度的基礎上實現大量程測量。