帶最低保障的DC 養老金計劃的最優投資

呂文欣， 董迎輝， 吳 桑

（蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

保險公司也面臨投資風險，關于保險公司所發行的具有投資功能的險種的定價方面已有了大量的研究[1-3]，但在保險公司最優投資方面的研究并不多。 由于通貨膨脹以及人口的老齡化，使得養老金的投資在近年來面臨一定的風險，目前確定繳費型（Defined Contribution，DC）養老金計劃因將投資風險轉移給投保人而受到很大的關注。 DC 型養老金通過建立個人賬戶將繳費投資于金融市場，實現資金的累積和增值，以滿足養老金給付需求。由于DC 養老金計劃主要受退休前經濟行為的影響，因此，DC 養老金管理者希望在資金積累階段找到最優的投資組合。 很多文獻都研究了DC 養老金的最優投資策略。

Boulier[4]等首次研究了常利率風險下DC 養老金的連續模型，并考慮CRRA 效用最大化準則下的DC 養老金的最優投資問題。 Dong[5]在賣空約束和組合保險條件下，研究了DC 養老金計劃的最優投資。 王傳玉[6]在DC 養老金終端財富外部保障約束下，引入歐式看漲期權，考慮隨機通脹環境下的退休時刻終端財富期望效用最大化問題。 李仲飛[7]考慮了基于動態投資目標下DC 型養老基金在退休前累積階段的最優資產配置問題。 Guan 和Liang[8]研究了損失厭惡和VAR 約束下DC 養老金的最優投資問題。 文章將考慮文獻[6]中的DC養老金的利潤共享原則，該原則將會導致參與DC 養老金計劃的員工到期收益的非凹期望效用最大化問題。許多作者用凹化方法解決該問題[9-10]。 筆者將采用由Cox 和Huang[11]、Karatzas[12]等人提出的鞅方法，結合凹化方法來研究DC 養老金的最優投資組合問題。

論文結構如下：第一部分闡述了DC 養老金經理所面臨的最優投資問題；第二部分利用凹化方法和拉格朗日對偶法得出帶最低保障的最優終值財富及其財富過程；第三部分是結論。

1 優化問題

令（Ω，F，F，P）為一個帶過濾的完備概率空間，其中F:={Ft}0≤t≤T，是一個滿足通常條件的過濾。假設文中所有隨機變量和隨機過程都定義在該測度空間中。

假設金融市場上存在兩種可交易資產：現金和股票。

設無風險現金賬戶在t 時刻的價格S0（t）滿足方程

其中r＞0 為固定利率。

設股票的價格過程如下

其中σ 為正的常數，W（t）是標準布朗運動。

養老金管理者在研究最優投資策略時，應該考慮從繳費者那里得到的繳費。 一般來說，員工的工資常常和金融市場有關，因此，這里考慮一個隨機繳費率。 假設繳費率C（t）滿足如下隨機過程

其中μc、σc、C0均為正的常數。

假設x0為養老金賬戶的初始資金。 令π（t）和1-π（t）分別為投資在股票和現金的資金份額。 則DC 養老金計劃的財富過程Xπ（t）滿足

在到期收益分配時，將采用利潤共享原則。 在該原則下，政府能夠為參與養老金計劃的員工提供最低保障收益，若資產價值高于最低收益，則參與養老金計劃的員工應與政府共同分享盈余資產。 假設在T 時刻，DC 養老金計劃提供的最低保障收益為G。 則在利潤共享原則下，考慮最低保障的DC 養老金的終端財富值為

其中0＜α≤1。

將在效用最大化原則下考慮DC 養老金的最優投資問題。 假設養老金管理者的效用函數為U（x），其中U 是在[0，∞）上嚴格遞增、嚴格凹的連續可微函數，且滿足

上述條件確保函數U′是嚴格遞減的并且具有一個嚴格遞減的逆函數I：（0，∞）→（0，∞），滿足

定義1若對所有t∈[0，T]，π（t）是一個F －循序可測的過程，且滿足以及方程（2）存在唯一的強解Xπ（t），則稱策略集{π:=π（t）:t∈[0，T]}是可允許的。 用A 表示所有可允許的投資策略所組成的集合。

養老金經理的目標是通過使參與養老金計劃的員工到期收益的期望效用達到最大化來尋找最優的資產配置。 因此，考慮下面的優化問題

2 DC 養老金的最優投資

為了求解優化問題（4），先來介紹完備市場的定價核。 由于金融市場是完備的，因此，存在唯一的定價核H（t）滿足其中ξ＝（μ－r）/σ。

為了確保最優投資策略的存在性，假設以下的可積性條件。

假設1假設對任意y＞0，有E[U（I（yH（T）））]＜∞并且E[I（yH（T））]＜∞。

引理1對任意λ∈R，k＞0，有

其中

β（t）=（r+（1/2）ξ2）（T-t），γ（t）＝是標準正態分布變量的累積分布函數。

證明由（5）式可得

其中

則

經簡單計算即得（6）式。

為了求解（4）式，定義

則在完備市場中，問題（4）可寫為

注意到ψ（x）在[G，∞）上是凹函數，但在[0，∞）上并不是凹函數。 將運用文獻[13]提出的標準拉格朗日對偶方法結合文獻[7－8]提出的凹化方法來求解上述問題。

用fc表示在D 上f 的凹化包絡

命題1ψ（x）的凹化包絡ψc為

其中k=αU′（G+α（m－G）），m＞G 是下列方程的唯一解

證明從點（0，U（G））作與ψ（x）相切的直線，切點記為（m，ψ（m））。只需證明方程（12）在（G，∞）上存在唯一的解。 記由于g′（x）＝－xψ″（x）＞0，所以g（x）是一個（G，∞）上的單調遞增函數，并且

因此，方程（12）存在唯一的解m∈（G，∞）。

其中ψ（x）及其凹化包絡函數ψc（x）的圖像如圖1 所示。

圖1 ψ（x）及ψc（x）圖像

命題2優化問題（10）的最優終值財富為

其中I（·）是U′（·）的逆函數，拉格朗日乘子β*＞0 滿足

證明問題（10）等價于如下問題

其中

為了解決上述問題，先對固定的乘子β＞0 來研究以下問題

通過逐點求解最優化問題，可以找到（14）式的最優解Xπ*，β*（T）。 仍需解決最優化問題

事實上，問題（15）的最優解β*可以通過對偶理論中的互補松弛條件直接得到。 首先，求解問題（14）。 對任意y＞0，先解出的最大值點x*（y）。

由凹化方法及命題1 易得最大值點x*（y）為

則對每一個固定的β＞0，問題（14）的最優解為

顯然，V（β）=E[H（T）Xπ*，β*（T）]是關于β＞0 的連續減函數，并且因此，存在唯一解β*＞0 滿足這意味著Xπ*，β*（T）是問題（10）的一個可行解。 仍需證明Xπ*，β*（T）確實是（10）式的最優解。 令Xπ（T）為滿足（10）式中預算限制的任意終值財富。 則有

其中第一個不等式成立是由于

第二個不等式成立是由于對固定β*＞0，Xπ*，β*（T）是問題（14）的最優解。

在求得最優終值財富后，可以求出最優財富過程和最優投資的表達式。

命題3最優化問題（10）在t 時刻的最優財富過程如下

其中β*＞0 滿足C（s）ds]=x0，d2（x，y，t）=d1（x，H（t），t）-γ（t），η（x，t）由（9）式給出，d1（x，y，t）由（7）式給出，φ 為標準正態分布的密度函數。

證明由資產定價的無套利理論可得

其中

將（13）式代入F1（t，H（t））并利用引理1 及（8）式得

由（1）式與（8）式可得

則立得

將（19）和（20）式代入（18）式可得證。

命題4最優化問題（10）在t 時刻投資于股票的最優比例為

其中

證明令Xπ*，β*（t）=F（β*，H（t），t），應用伊藤公式可以得到如下微分方程

比較（2）和（22）式dW（t）前的系數，即可得到最優投資策略。

3 結語

考慮在利潤共享原則下帶有最低保障的DC 養老金基于效用最大化原則的最優投資問題。 由于最低保障的存在，使得該效用最大化問題是一個非凹效用最大化問題。 筆者采用拉格朗日對偶方法以及凹化技巧解決了DC 養老金的最優投資組合問題， 給出了DC 養老金計劃的最優財富過程和最優投資策略的通式表達式。