同構法求參數取值范圍

陶興紅

(安徽省六安市第二中學，237005)

分類討論、數形結合和分離參數是求參數取值范圍的常規方法,但對指數與對數混合題型,用這三種常規方法很難湊效.此時,若用同構法,先通過變形將原式拆分成結構相同的兩個式子,再構造函數,利用函數的單調性便能使問題迎刃而解.

例1設k>0,若存在x>0,使log2x-k·2kx≥0成立,求k的取值范圍.

解當x>0時,log2x-k·2kx≥0等價于log2x≥k·2kx,即xlog2x≥kx·2kx,亦即log2x·2log2x≥kx·2kx.

例2已知函數f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0),若關于x的不等式f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍.

令g(x)=ex+x,易知g(x)在R上單調增,故f(x)>0等價于g(x-lna)>g[ln(x-1)],可得x-lna>ln(x-1),即-lna>ln(x-1)-x.

由常見不等式lnt≤t-1(t>0),得ln(x-1)-x≤x-2-x=-2,所以-lna>-2,即0

例3若對任意x∈(0,+∞),不等式2e2x-alna-alnx≥0恒成立,求a的取值范圍.

易知(2x-lnx)min=1+ln 2,故a≤2e.注意到a>0,得a∈(0,2e].

解法2原不等式可化為2e2x≥alnax,即2xe2x≥(lnax)eln ax.

設g(x)=xex,則g(x)在(0,+∞)單調增.由g(2x)≥g(lnax),得2x≥lnax,即a≤

解不妨設x1>x2,則由條件可知a≥0,且原不等式等價于f(x1+a)-f(x2+a)>3x1-3x2,即f(x1+a)-3x1>f(x2+a)-3x2在(0,+∞)恒成立.

設g(x)=f(x)-3x,則問題等價于g(x1+a)>g(x2+a)在(0,+∞)恒成立.由x1>x2>0,知x1+a>x2+a>a,于是問題進一步等價于g(x)在(a,+∞)單調增,即g′(x)≥0在(a,+∞)上恒成立.

綜上,實數a的取值范圍為[2,+∞).