多算子開集與[α,β]-γ-Ti空間

吳耀強

(宿遷學院文理學院，江蘇 宿遷 223800)

1 引言與預備知識

眾所周知，自從Levine[1]提出半開集概念以來，近似開集已經成為國內外拓撲學者研究的對象，如O.Njastad[2]、S.KasaharaA[3]以及A.Csaszar[4]等拓撲學者分別提出α-開集等近似開集。利用這些算子，H.Ogata[5]并進一步研究了γ-開集相關性質并得到一些新的分離公理。此外，自從J.Umehara[6]與H.Mark[8]分別引入了雙算子以來，一些新的算子以及雙算子分離性結論不斷加以豐富[8-14]。文章[13]定義了一種多算子(即(α,β)-γ算子)而且獲得一些新的結果。本文基于雙算子[α,β]-算子與多算子(α,β)-γ算子引入了一個新的多算子[α,β]-γ算子的概念，研究了它們的拓撲刻畫，并給出[α,β]-γ-Ti空間與(α,β)-γ-Ti空間(i=0,1/2,1,2,2/5)之間的關系。

在本文中X是非空集合，(X,T)是拓撲空間(或簡稱X是拓撲空間)，并用P(X),T,Fx分別表示X的冪集族、開集族與閉集族；設A?X，用cl(A),int(A)分別表示為A的閉包與內部。本文未申明的概念與記號均引自[1-7]。

定義1.1[3]設X是拓撲空間，設α:T→P(X),若對于任意V∈T，均有V?α(V)，則稱α為在集合X在T上的一個算子，或簡稱為T的一個算子；

定義1.2設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，A,B,C,D?X，

(1)[3]若?x∈A，總存在U∈T使得x∈U且α(U)?A，則稱A是α-開集，XA為α-閉集，并記Tα,Fα分別為α-開集族與α-閉集族；

(2)[13]若?x∈B，總存在U∈Tγ使得x∈U且α(U)?B，則稱B是(α,γ)-開集，XB為(α,γ)-閉集，并記T(α,γ),T(α,γ)分別為(α,γ)-開集族與(α,γ)-閉集族；

(3)[8]若?x∈C，總存在U,V∈T使得x∈U,x∈V且α(U)∩β(V)?C，則稱C是[α,β]-開集，XC是[α,β]-閉集，并記T[α,β]，T[α,β]分別為[α,β]-開集族和[α,β]-閉集族；

(4)[13]若?x∈D,總存在U,V∈Tγ使得x∈U,x∈V且α(U)∪β(V)?D,則稱D是(α,β)-γ-開集,XD是(α,β)-γ-閉集，記T(α,β)-γ，F(α,β)-γ分別為(α,β)-γ-開集族和(α,β)-γ-閉集族；并記cl(α,β)-γ(D)=∩{F|F∈F(α,β)-γ,且D?F}，int(α,β)-γ(D)=∪{U|U∈T(α,β)-γ,且U?D}。

定義1.3[13]設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，若x∈X，對于任意U,V∈Tγ，這里x∈U,x∈V，總存在W∈Tγ且x∈W，使得α(W)?α(U)∩α(V)，則稱(α,γ)為T的正則雙算子。

定理1.1[8,13]設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，則有如下結論成立：

(1) 任意個α-開集之并仍為α-開集；

(2) 任意個(α,γ)-開集之并仍為(α,γ)-開集；

(3) 任意個[α,β]-開集之并仍為[α,β]-開集；

(4) 任意個(α,β)-γ-開集之并仍為(α,β)-γ-開集。

2 [α,β]-γ-開集

定義 2.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，E?X，若?x∈E，總存在U,V∈Tγ使得x∈U,x∈V且α(U)∩β(V)?E，則稱E是[α,β]-γ-開集，XE是[α,β]-γ-閉集，記T[α,β]-γ，F[α,β]-γ分別為[α,β]-γ-開集族和[α,β]-γ-閉集族；

注 2.1由定義易知若E是(α,β)-γ-開集，則E是[α,β]-γ-開集；但是反之不真。

例2.1設X={1,2,3},T={?,{1},{2},{1,2},X},令α,β,γ:T→P(X),α(A)=cl(A)，β(A)=int cl(A)，γ(A)=idX，這里A?X?？芍猅[α,β]-γ={?,{1},{2},{1,2},X}，而T(α,β)-γ={?,X}。

命題2.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，則有如下結論成立：

(1) 若(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，對于?A,B∈T[α,β]-γ，則A∩B∈T[α,β]-γ。

(2) 任意個[α,β]-γ-開集之并仍為[α,β]-γ-開集。

證明(1) ?A,B∈T[α,β]-γ,設x∈A∩B，由定義2.1可知存在H,K∈Tγ使得x∈H,x∈K且α(H)∩β(K)?A，同理存在W,S∈Tγx∈W,x∈S且α(W)∩β(S)?B。從而(α(H)∩β(K))∩(α(W)∩β(S))?A∩B，進而(α(H)∩α(W))∩(β(K)∩β(S))?A∩B。又因為(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，根據定義1.3可知，存在U∈Tγ且x∈U，使得α(U)?α(H)∩α(W),以及存在V∈Tγ且x∈V，使得β(V)?β(K)∩β(S),這樣α(U)∩β(V)?A∩B，故A∩B∈T[α,β]-γ。

(2) 設x∈∪i∈IAi，這里Ai∈T[α,β]-γ,則?i0∈I，使得x∈Ai0。由定義2.1可知，存在Ui0,Vi0∈Tγ使得x∈Ui0,x∈Vi0且α(Ui0)∩β(Vi0)?Ai0，從而α(Ui0)∩β(Vi0)?Ai0?∪i∈IAi，故∪i∈IAi∈T[α,β]-γ

注2.2進一步地，設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，由命題2.1可知T[α,β]-γ為X的一個拓撲空間。

定義2.2設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，A?X。

(1) 我們把所有包含集合A的[α,β]-γ-閉集的交集稱為集合A的[α,β]-γ-閉包，記為CL[α,β]-γ(A)=∩{F|F∈F[α,β]-γ,且A?F}；

(2) 記cl[α,β]-γ(A)=∩{x∈A|(α(U)∩β(V))∩A≠?,這里x∈U,x∈V,且U,V∈Tγ}。顯然cl[α,β]-γ(A)?CL[α,β]-γ(A)。

定理 2.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，則有如下結論成立：

(1)x∈CL[α,β]-γ(A)??V∈T[α,β]-γ,且x∈V，均有V∩A≠?；

(2)A?CL[α,β]-γ(A)；

(3) 若A?B，則CL[α,β]-γ(A)?CL[α,β]-γ(B)；

(4) 若A∈F[α,β]-γ?A=CL[α,β]-γ(A)；

(5) CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))=CL[α,β]-γ(A)。

證明由定義2.2易證 (1) ～(3)成立；

(4)一方面，若A=CL[α,β]-γ(A),設x∈A,則存在F∈F[α,β]-γ,且A?F,這樣x∈F。

由于X-F∈T[α,β]-γ,且X-F?X-A。故X-A∈T[α,β]-γ，從而A∈F[α,β]-γ。

另一方面，若A∈F[α,β]-γ，由于CL[α,β]-γ(A)是所有包含A的最小[α,β]-γ-閉集，從而CL[α,β]-γ(A)?A，此外，定理2.1知A?CL[α,β]-γ(A)，這樣A=CL[α,β]-γ(A)。

(5)顯然由定理2.1知CL[α,β]-γ(A)?CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))。設x∈CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))，根據定理2.1(1)知，?V∈T[α,β]-γ,且x∈V，均有V∩CL[α,β]-γ(A)≠?；這樣V∩A≠?，故x∈CL[α,β]-γ(A)，從而CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))?CL[α,β]-γ(A)，綜上可知

CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))=CL[α,β]-γ(A)

定理2.2設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，A,B?X，則有如下結論成立：

(1) 若A∈F[α,β]-γ?A=cl[α,β]-γ(A)；

(2) 若(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，則cl[α,β]-γ(A∪B)=cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

證明(1) “?”由定義2.2易知A?cl[α,β]-γ(A)。設x?A，這里A∈F[α,β]-γ，則x∈X-A，X-A∈T[α,β]-γ,故存在U,V∈Tγ這里x∈U,x∈V，且(α(U)∩β(V))?X-A，即(α(U)∩β(V))∩A=?，因此x?cl[α,β]-γ(A)，從而cl[α,β]-γ(A)?A，故A=cl[α,β]-γ(A)。

“?”設x∈X-A，即x?A，由設知A=cl[α,β]-γ(A)，故x?cl[α,β]-γ(A)，從而存在U,V∈Tγ這里x∈U,x∈V，使得(α(U)∩β(V))∩A=?，也就是(α(U)∩β(V))?X-A，從而X-A∈T[α,β]-γ，即A∈F[α,β]-γ。

(2) 由定理2.2易得cl[α,β]-γ(A∪B)?cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

下證cl[α,β]-γ(A∪B)?cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。事實上，設x?cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)，即x?cl[α,β]-γ(A)且x?cl[α,β]-γ(B)。從而存在U,V,W,S∈Tγ這里x∈U,x∈V,x∈W,x∈S，使得(α(U)∩β(V))∩A=?與(α(W)∩β(S))∩B=?。從而(α(U)∩α(W))∩(β(V)∩β(S))∩(A∪B)=?。另外，由于(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，故對于上述U,V,W,S，總存在E,F∈Tγ且x∈E,F，分別使得α(E)?α(U)∩α(W)與β(F)?β(V)∩β(S)成立。這樣(α(E)∩(β(F))∩(A∪B)=?，進而x?cl[α,β]-γ(A∪B)。綜上可得證cl[α,β]-γ(A∪B)=cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

定義 2.3設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，

(1) 對任意x∈X，U∈Tγ，這里x∈U，總存在W,S∈Tγ，使得α(W)∩α(S)?U，則稱(X,T)為[α,γ]-正則空間。

(2) 對任意x∈X，U∈Tγ，這里x∈U，總存在W,S∈Tγ，使得α(W)∩β(S)?U，則稱(X,T)為[α,β]-γ-正則空間。

類似地，仿照文[12]定理1.2，我們可以得到如下結論成立

定理 2.3設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，

(1) (X,T)為[α,β]-γ-正則空間?T[α,β]-γ=Tγ；

(2) (X,T)為[α,β]-γ-正則空間?(X,T)既是[α,γ]-正則空間又是[β,γ]-正則空間。

下面我們給出T的[α,γ]-開算子的定義

定義 2.4設X是拓撲空間，α,γ為T的算子，對任意x∈A∈Tγ，若存在W∈Tγ，使得x∈W?α(A)，稱之為T的[α,γ]-開算子。

命題2.2設X是拓撲空間，α,γ為T的算子，且(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，A?X，則有如下結論成立：

(1) 若(X,T)為[α,β]-γ-正則空間，則cl[α,β]-γ(A)=CL[α,β]-γ(A)。

(2) 若存在T的[α,γ]-開算子與[β,γ]-開算子，則cl[α,β]-γ(A)=CL[α,β]-γ(A)。

證明(1) 由定理2.2易證；

(2) 顯然cl[α,β]-γ(A)?CL[α,β]-γ(A)，下證CL[α,β]-γ(A)?cl[α,β]-γ(A)。事實上，設x∈CL[α,β]-γ(A)，對于U,V∈Tγ，這里x∈U,x∈V，由設知存在T的[α,γ]-開算子與[β,γ]-開算子，根據定義2.4可得，存在S,T∈Tγ，使得x∈S?α(U)以及x∈T?β(V)。利用命題2.1可知S∩T∈T[α,β]-γ,從而(S∩T)∩A≠?,進而(α(U)∩β(V))∩A≠?,這樣x∈cl[α,β]-γ(A)。

3 [α,β]-γ-Ti-空間(i=0,1/2,1,2,5/2)

定義 3.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，

(1) 對任意x,y∈X,x≠y，U∈Tγ，存在P1,P2∈Tγ，使得x∈P1∩P2,y?α(P1)∩β(P2)或者y∈P1∩P2,x?α(P1)∩β(P2)，則稱(X,T)為[α,β]-γ-T0空間；

(2) 對任意x∈X， {x}∈T[α,β]-γ或者{x}∈F[α,β]-γ，則稱(X,T)為[α,β]-γ-T1/2空間；

(3) 對任意x,y∈X,x≠y，U∈Tγ，存在P1,P2,P3,P4∈Tγ，這里x∈P1,P2,y∈P3,P4，使得x?α(P3)∩β(P4)且y?α(P1)∩β(P2)，則稱(X,T)為[α,β]-γ-T1空間；

(4) 對任意x,y∈X,x≠y，U∈Tγ，存在P1,P2,P3,P4∈Tγ，這里x∈P1,P2,y∈P3,P4，使得(α(P1)∩β(P2))∩(α(P3)∩β(P4))=?，則稱(X,T)為[α,β]-γ-T2空間；

(5) 對任意x,y∈X,x≠y，U∈Tγ，存在P1,P2,P3,P4∈Tγ，這里x∈P1,P2,y∈P3,P4，使得cl[α,β]-γ(α(P1)∩β(P2))∩cl[α,β]-γ(α(P3)∩β(P4))=?，則稱(X,T)為[α,β]-γ-T5/2空間；

注3.1由上述定義易得下列結論成立

(1) 若(X,T)為[α,β]-γ-T5/2空間，則(X,T)為[α,β]-γ-T2空間；

(2) 若(X,T)為[α,β]-γ-T2空間，則(X,T)為[α,β]-γ-T1空間。

定理 3.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，則有如下結論成立

(1) (X,T)為[α,β]-γ-T0空間?對任意x,y∈X,x≠y，U∈Tγ，存在P1,P2,P3,P4∈Tγ，使得x∈P1∩P2,y∈P3∩P4，x?α(P3)∩β(P4)且y?α(P1)∩β(P2)；

(3) (X,T)為[α,β]-γ-T1空間?對任意x∈X，獨點集{x}∈F[α,β]-γ。

證明(1) 由定義3.1易證；

(2) “?”由設知(X,T)為[α,β]-γ-T1/2-空間，根據定義3.1(2)知

(3) 與文[13]定理2.2證明相仿。

注 3.2由定理3.1可知下列結論成立

(1) 若(X,T)為[α,β]-γ-T1空間，則(X,T)為[α,β]-γ-T1/2空間；

(2) 若(X,T)為[α,β]-γ-T1/2空間，則(X,T)為[α,β]-γ-T0空間。

利用定義3.1以及文[13]定義2.1容易看出下列結論成立

命題 3.1設X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，若(X,T)為(α,β)-γ-Ti空間，則

(X,T)為[α,β]-γ-Ti空間，(i=0,1/2,1,2,2/5)。

但是，命題3.1的結論之逆未必成立。

例3.1設X=R,T={U?X|X-U是X的一個有限子集}∪{?}，

由注3.1、注3.2以及定理3.1、命題3.1可得如下關系圖:

(α,β)-γ-T5/2?(α,β)-γ-T2?(α,β)-γ-T1?(α,β)-γ-T1/2?(α,β)-γ-T0

[α,β]-γ-T5/2?[α,β]-γ-T2?[α,β]-γ-T1?[α,β]-γ-T1/2?[α,β]-γ-T0