殊途同歸求解一道2109年高考小題

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發區實驗中學校 610100)

縱觀近幾年高考考查三角函數內容幾乎都有一道涉及三角恒等變換的小題，一般屬于容易或中檔難度，這些小題往往題干簡潔、精煉優美，內涵豐富，往往受到學生的喜愛而成為所謂的“網紅”.三角變換是高中數學基本運算之一，但難點在于涉及公式多，角與角相互關系密切且錯綜復雜，解題時容易陷入方法無從選擇的困境，有時思路不一樣會導致解題長度不同，甚至進入泥潭不能自拔.下面筆者以一道高考試題為例，淺析三角變換常涉及到的處理策略，希望讀者細細品味，在多種解法中，看看那些是由于公式選擇不同造成的，那些是由切入點不同造成的，只有把這些問題弄清楚后才有助于我們去理解三角變換問題的解題精髓.

分析本題條件為正切形式，而結論是正弦形式，即已知角的函數名稱與未知不同，則明顯利用三角公式進行變換，消除兩者的差異，那么思路方向不外乎常見的弦切互化.由于式子中存在兩角的和與倍角關系，所以不難想到還要利用和角公式與倍角公式，這樣就確定了解題的大方向.仔細推敲此題雖考查三角函數的求值，但滲透了邏輯推理和數學運算素養.采取轉化法，涉及利用分類討論和轉化與化歸思想解題.可見命題者對這道試題的獨居用心.

【一招】弦化切

解法1由題意首先求得tanα的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題，最后弦化切求得三角函數式的值即可.

本解法充分利用了構成齊次式的思想，將2sinαcosα+cos2α-sin2α看成分母1=cos2α+sin2α是本法的關鍵之作，也是我們平時訓練的常用的技巧之一.

解法2 萬能公式1.

解法3 萬能公式2.

解法4 先將未知角向已知角進行變換，再進行“弦化切”.

本法由題設和結論的角之間的關系，將未知角拆分向已知轉化，這是角的變換最常見思路.

解法5 整體換元處理.

本法與法4一樣，主要是在遇到式子結構復雜時，進行整體換元有助于簡化運算，提高解題速度.

【二招】切化弦

解法6本法利用我們平時練的通性通法.出題者在設計上如用此法會產生分類討論，可能在考場上因為簡單的小題讓考生久討論產生心急的情緒，這也是命題者對考生全面考查的良苦之作.

解法7 本法妙招在于直接通過切化弦，整理化簡再合并得出結果，此法可稱為妙

由(1)，(2)聯立可得

此法妙招在于特殊角一般化，利用式子的結構特點，建立方程求解，思維難度較大.

【三招】利用三角函數的定義

我們深知三角函數的定義是推導三角恒等變換的本源，所以從某種意義上講，三角函數的定義功能更強大，也體現了數形結合的數學思想.

解法10 利用單位圓定義法.

解法11 利用角的終邊點定義法.

此法與角單位圓法類似.此處解法略，有興趣的同學可做做.