高考考查遞推公式的常見類型與解法

廖永福 林永志

(1.福建省廈門第二中學 361009；2.福建省仙游于潔小學 351256)

遞推公式是表示數列的一種方法，它揭示了相鄰幾項之間的關系，而項與項數之間的關系比較隱蔽，因此蒙上了一層神秘的面紗，給教學帶來一定的困難.解決這類問題的關鍵是選擇適當的方法去求數列的通項公式，常用的方法有：定義法、公式法、累加法、累乘法、構造法和歸納法等.現分述如下：

一、定義法

例1 (2020·全國卷Ⅱ) 數列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，則k=( ).

A．2 B.3 C.4 D.5

分析令m=1，可得數列{an}是等比數列，求出數列{an}的通項公式，利用等比數列求和公式可列出關于k的方程，由k∈N*可求得k的值.

解答在等式am+n=aman中，令m=1，可得an+1=ana1=2an.

又a1=2，所以數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列，an=2×2n-1=2n.

∴2k+1=25，則k+1=5，解得k=4.故選C.

點評本題考查遞推公式和等比數列的求和公式，考查計算能力和方程思想.關鍵是由遞推公式得出an+1=2an，進而得出數列{an}是等比數列，屬于中等題.

二、公式法

例2 (2020·江蘇卷))設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是____.

分析由數列{an+bn}的前n項和Sn求出an+bn，再結合數列{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，求出d和q，進而求出d+q的值.

解答數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，

當n≥2時，an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1.

∵a1+b1=S1=1適合上式，∴an+bn=2n-2+2n-1(n∈N*).

又∵{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，

∴an=2n-2，bn=2n-1，

∴d=q=2，故d+q=2+2=4.

例3 (2012·全國卷大綱版)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當n>1時，Sn=( ).

解法一由Sn=2an+1，得Sn-1=2an(n≥2).

點評本題考查遞推公式與等比數列的通項公式、前n項和公式，考查推理能力與計算能力.消去an，還是消去Sn，要視具體情況而定，一般以簡便為原則，屬于中檔題．

三、累加法

形如an+1-an=f(n)的遞推公式，可用累加法求出an，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)，進而解決問題.

例4 (2014·全國卷大綱版)數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2．

(1)設bn=an+1-an，證明{bn}是等差數列；

(2)求{an}的通項公式．

分析(1)將an+2=2an+1-an+2變形為an+2-an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2，根據等差數列的定義可以判定；(2)由(1)及等差數列的通項公式求出bn，代入bn=an+1-an，再用累加法求出{an}的通項公式．

解答(1)由an+2=2an+1-an+2得，an+2-an+1=an+1-an+2.

∵bn=an+1-an，∴bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2.

又∵b1=a2-a1=1，∴{bn}是首項為1，公差為2的等差數列．

(2)由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1，即an+1-an=2n-1，又a1=1，

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+3+5+…+2(n-1)-1

∴{an}的通項公式為an=n2-2n+2．

點評本題考查等差數列的定義、通項公式、前n項和公式，以及用累加法求數列的通項公式的方法，考查了轉化思想，屬于中檔題．

四、累乘法

(1)求b1，b2，b3；

(2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(3)求{an}的通項公式．

(2)數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.

點評本題考查數列的遞推公式、等比數列的定義和通項公式．事實上，本題若用累乘法求解，則別有一番滋味，解答如下：

=n·2n-1.

∴an=n·2n-1，故bn=2n-1.至此，(1)(2)便迎刃而解.

五、構造法

(1)求{an}的通項公式；

點評本題考查數列的遞推公式，等比數列的通項公式和不等式的證明等，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．用“同加法”構造出等比數列是解題的關鍵，屬中檔題.

例7 (2009·全國卷Ⅱ)設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)．

(1)設bn=an+1-2an，證明數列{bn}是等比數列；

(2)求數列{an}的通項公式．

解答(1)由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．

由Sn+1=4an+2，則當n≥2時，有Sn=4an-1+2，兩式相減，得an+1=4an-4an-1，所以an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).

∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1(n≥2)，∴{bn}是首項為3，公比為2的等比數列．

點評本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了定義法、公式法和構造法，考查轉化和化歸思想和綜合運用知識的能力．屬中難題.

想一想：形如panan+1=an-an+1(p≠0,an≠0)的遞推公式，該怎樣變形？

例8 (2015·全國卷Ⅱ)設數列{an}的前n項和為Sn，且a1=-1，an+1=Sn+1Sn，則Sn=____．

點評本題考查數列的遞推公式，等差數列的通項公式等，用同取倒數法構造出等差數列是解決本題的關鍵，屬于中檔題．

六、歸納法

若題目所給的遞推公式不屬于上述情形，則可根據遞推公式計算出數列的一些項，觀察其特征、找出相應的規律，歸納出一般性的結論并加以證明，進而解決問題.

∴數列{an}是周期為3的周期數列.

點評本題考查數列的遞推公式和周期數列的性質，關鍵在于從計算出數列的一些項中找出規律，歸納出一般性結論，屬于基礎題．

例10 (2020·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

(2)求數列{2nan}的前n項和Sn.

分析(1)利用遞推公式計算a2,a3，猜想得出{an}的通項公式，再用數學歸納法證明；(2)用錯位相減法求解.

解答(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7.

由數列{an}的前三項可猜想數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，即an=2n+1.

證明如下：當n=1時，左端=a1=3，右端=2×1+1=3,成立.

假設當n=k時，ak=2k+1成立,那么

當n=k+1時，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.

故對任意的n∈N*，都有an=2n+1成立.

(2)由(1)可知，an·2n=(2n+1)·2n.

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n①,

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1②.

由①-②，得-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1

∴Sn=(2n-1)·2n+1+2.

點評本題主要考查求等差數列的通項公式以及利用錯位相減法求數列的和，屬于中檔題.

遞推關系問題的考查形式靈活多樣，同時隱含著豐富的數學思想，解題時不僅要認真審題，抓住遞推公式的特點，選擇適當的方法，而且還要注重用函數與方程、轉化與化歸等數學思想方法指導解題實踐，把提升數學素養真正落到實處.