林松云
(福建省柘榮縣第一中學 355300)
高等數學為背景的高考函數試題是高考中一道亮麗的風景線,內容、形式及解答上均有耳目一新的感覺.高等數學為背景的高考函數試題比傳統題型有一些鮮明的特點:情景新穎、背景公平,設問方式靈活;能考查學生的創新能力和潛在的數學素質,體現“高考命題范圍遵循教學大綱,又不拘泥于教學大綱”的改革精神.下面一起來欣賞高等數學為背景的高考函數試題.
凸函數是高等數學非常重要的一類函數.自從導數引入高中數學教材后, 以凸函數為背景的考題備受命題者的青睞.
1.凸函數定義
當定義中等號恒不成立時,我們稱此函數在[a,b]上是嚴格上凸的(或嚴格下凸的).
2.凸函數的判斷
(1)若在(a,b)內f″(x)<0,則f(x)在(a,b)為上凸;
(2)若在(a,b)內f″(x)>0,則f(x)在(a,b)為下凸.
3.高考試題分析
(1)若曲線f(x)與曲線g(x)相交,且在交點處有相同的切線,求a的值及該切線的方程;
(2)設函數h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小值時,求其最小值φ(a)的解析式;
(3)對(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,證明:
(2)φ(a)=2a(1-ln2a).
極限是整個高等數學的基礎,在高等數學中有很多重要的概念和方法都和極限有關系,并且在實際問題中極限也占有重要地位.因此對極限思想的考查也就成為重要內容之一.
1.函數在正無限處極限的定義
若對任意給定的ε>0,存在X>0,當x>X時總有|f(x)-A|<ε,就稱常數A為f(x)在正無限遠處的極限,或者稱A是當x→+∞時f(x)的極限,記為:
這時也稱函數f(x)在正無限處極限存在.相仿地,可定義函數在負無限遠處的極限.
2.高考試題分析
其中, 曲線y=f(x)和y=g(x)存在“分漸近線”的是( ).
A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④
答案:C.
點評本題從大學函數在正無限處極限的定義出發,構造了分漸近線函數,目的是考查學生分析問題、解決問題的能力,考生需要抓住本質:若要存在分漸近線,則當x→∞時,有f(x)-g(x)→0且f(x)>h(x)>g(x).該題體現了極限思想,是高等數學中有限和無限思想的下放,是一道好題,思維靈活.
拉格朗日(中值)定理是幾個微分中值定理中最重要的一個,是微分學應用的橋梁.在高等代數與數學分析中的一些理論推導中起著很重要的作用.
1.拉格朗日(中值)定理
2.高考試題分析
例3(2017年高考全國卷2文科第21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
分析借助高數知識,能夠巧妙地解決高考中難度較大的導數壓軸題.
(2)首先,將x分成兩類.
當x=0時,符合題意,所以a∈R;
綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).
點評該題設計來源于微分學中的拉格朗日定理,用高等方法處理這題,還原了該題的命題思路,體現了初等數學與高等數學的“上聯下靠”的關系,考查了中學數學的知識和方法,又考查了考生進入高等院校繼續學習的潛能,是一道有特色鮮明的好題.
1.泰勒公式
稱此式為麥克勞林公式.
幾個常見函數的泰勒展開式:
2.高考試題分析
例4(2017年高考全國卷Ⅲ理科第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
解析(1)略.
點評標準答案的解答是利用(1)的結論x-1-lnx≥0得出不等式ln(1+t)≤t,對Pn兩邊取對數,利用不等式ln(1+t)≤t得出m的最小值,轉彎太多,考生不容易聯想到,但直接用ex的泰勒展開式得出ex>1+x求解,簡直就是秒殺.
例5(2014年全國新課標2理科第21題)設函數f(x)=ex-e-x-2x.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)設g(x)=f(2x)-4bf(x),當x>0時,g(x)>0,求b的最大值;
解析(1)(2)略.
縱觀近年的各地高考數學函數試題可知,以高等數學知識為背景的試題背景新,設問巧,既能考查中學數學的知識和數學思想方法,又能考查了考生進入高等院校繼續學習的潛能,同時體現了高考的選拔功能,所以以高等數學知識為背景試題,成為每年高考題中的又一亮點、熱點.教學中可適當讓學生了解一些簡單高等數學與初等數學結合的知識,既可以拓寬他們解題思路,提高分析問題,解決問題的能力,也可以為高等數學的學習打下良好的基礎.