信息技術助力直觀想象在統計教學中落地生根

胡嘉葦

[摘? 要] 摘要：提到統計一章中涉及的核心素養，數學建模、數據分析是比較明顯的兩條線，直觀想象核心素養的培養卻容易在實際教學中被人忽略. 一個重要的原因在于，教材中數據的整理收集到最后的統計圖表直觀呈現，需要信息技術的支持，而一線教師擅長的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，所以實際的高中課堂就出現了直接“套用”“默認”教材的圖表呈現. 但缺少了學生的“建構體驗”，“直觀想象”也就大打折扣. 圖形計算器兼具數與形的優點，相當于移動的數學實驗室. 文章以線性回歸方程的教學設計為例，探討其在培養學生直觀想象核心素養的一些操作形式.

[關鍵詞] 直觀想象;圖形計算器;線性回歸

問題提出

1. 如何理解“直觀想象”核心素養

2014年3月教育部頒布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，確立了核心素養在立德樹人中的突出地位. 林崇德教授曾提出：“學生應具備能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.”核心素養兼具個體發展和社會發展，連接個體價值和社會價值，是人從事社會實踐活動必備的知識、能力和品格的綜合表現.直觀想象作為六大核心素養之一，其重要性不言而喻，也就順理成章成為一線教師認真鉆研、努力踐行的重頭戲.

那什么是“直觀想象”？

著名數學家希爾伯特曾說：“要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，學會用圖形去發現解決問題的思路.”這可以說是給出了直觀想象的本質界定.

“直觀想象”在高中教學中的具體培養要求是什么？

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“直觀想象”核心素養的界定：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題. 主要表現為：建立形與數的聯系;利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

個人覺得，直觀和想象都是人們認識和感知世界的一種基本方式.人們認知世間萬物的一個基本特點就是將事物直觀化. 直觀的呈現方式是多種多樣的，可以是短視頻或圖片，可以是一張思維導圖. 直觀雖是低層次的認知，但它可以為進一步的抽象與想象做鋪墊.直觀能促進更豐富有效的想象，所以直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.

2. 統計教學中“直觀想象”核心素養的現狀與困境

必修三中統計版塊的教材雖然處處可見直觀想象的素材，但真正在實際教學的過程中，我們卻常常選擇忽略這些金子般的直觀素養培養的種子. 一個重要的原因在于，教材中數據的整理收集到最后的統計圖表直觀呈現，需要信息技術的支持. 一線教師擅長的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，沒有辦法在教材呈現這一“從數據到圖像”的重要過程，而是被迫選擇直接“套用”“默認”教材的圖表呈現. 于是，“大家觀察圖……”這樣的話語就頻頻出現在課堂. 雖然學生基本不會懷疑教材中圖表呈現的真實性，但缺少了學生的“建構體驗”，“直觀想象”就變成了“讓我們看”，更別提教材為我們精心設計準備的那些有著強烈實際背景的課后習題了，基本上被我們在教學中“打入冷宮”.

3. 圖形計算器的特點與優勢

何為圖形計算器？圖形計算器通常指一種能夠繪制函數圖像、解聯立方程組以及執行其他各種操作的手持計算器，大多數圖形計算器還能編寫數學類程序. 概括起來，其突出特點是：手持便攜，圖文并茂，能動會變，形象直觀，及時反饋.正是由于它兼具數與形的優點，所以在統計這一版塊知識的教學中，能夠成為直觀想象素養培養的重要載體.

4. 《變量間的相關關系》教學設計片段

環節一、動手操作，作散點圖

在一次對人體脂肪和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據.（PPT展示人教A版教材必修3第85頁人體的脂肪百分比和年齡圖）

問題（1）：針對上述數據所提供的信息，你認為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系？

問題（2）：怎樣直觀形象地展示兩個變量的關系？——引出散點圖.

問題（3）：你能想象一下作出的散點圖的大致情況嗎？嘗試用圖形計算器驗證你的猜想.

學生操作：先把數據中成對出現的兩個數分別作為橫坐標、縱坐標，把數據輸入表格當中（第一列橫坐標、第二列縱坐標）得到圖1;繪出散點圖，得到圖2.

問題（4）：這些散點圖有什么特點？——引出線性相關關系.

問題（5）：下面給出三組數據（PPT展示），請我們的三個學習小組，每個小組作出其中一個散點圖，并觀察數據特點. 結合作出的散點圖，教師總結：線性相關關系，正負相關關系等概念.

設計意圖：本環節回到了教材所舉的例子進行探究，在引導學生得出圖像（散點圖）的必要性過后，筆者給時間讓學生嘗試在腦袋里暢想散點圖的大致形狀. 然后通過圖形計算器作出散點圖進行對照，一是與自己的想象對照，二是把自己作出的散點圖與教材給出的散點圖進行對照. 經歷這個過程的目的是讓學生感受：直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.同時相比教材中“從天而降”的散點圖，自己動手作出的散點圖將會更加真實、更加親切且讓人印象深刻.

環節二、直觀想象，引出回歸直線

問題：結合散點圖，你能說說人在62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少嗎？你做出判斷的理由是什么？可以把你的想法在小組內交流探討.

教師：參與到學生的小組討論中，了解學生的想法. 在了解的基礎之上，請一些具有典型想法的學生來與全班交流.

結合學生的回答，引導學生觀察：所有的點都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時的脂肪含量.如圖2，從整體上看，散點圖中的點分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”. （教師引導學生在圖形計算器上作出回歸直線）？搖

設計意圖：本環節可以說是本節課的精華所在，精彩之處就在于開放性的提問. “結合圖2”就是把學生的關注點引到對散點圖的分析，“62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少”本來就是一個沒有標準答案的提問，這樣可以讓學生有自由發揮想象的空間. 設置小組討論、全班交流的環節，就是想讓學生在交流中不斷修正、取舍、優化. 結合教師引導，讓學生自然而然地過渡到找一條直線來“近似代替”，從而經歷：獨立看圖自由想象—小組討論取舍方案—全班思考明晰方向.

5. 信息技術助力直觀想象變成學生可操作的基本活動經驗

新課程標準由原來的“雙基”拓展為“四基”，“基本活動經驗”成為核心素養培養必不可少的“關鍵詞”. 而在統計這一章節中，受信息技術條件和教師理念的影響，很多時候的課堂都是照搬、照抄教材中給出的圖表. 或許從知識理解以及最后的考試來看影響不大，但是學生的活動操作經驗卻被簡單粗暴地換成了閱讀和接受. 直觀想象素養的滲透當然也就無計可施，失去了知識的生長點. 信息技術的介入，能夠讓學生充分經歷知識的發生發展過程，或許過程會出錯，或許會走彎路，但這也是數學學習必不可少的活動經驗. 此外，這種直觀想象的探究不僅可以在課堂上，也可以在課后、在家里;不僅可以研究教材的舉例，也可以研究課后的習題、課后的實習作業等. 這樣就拓展了學生基本活動經驗獲得的時間和空間，同時也為教師的教學設計提供了更多可能.