一維電諧振子能量本征問題的代數解法研究①

喬流飛，趙曉東，裴魏魏,*，張海豐

(1.佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007；2.延邊大學護理學院，吉林 延吉 13300)

0 引 言

在量子力學中一維電諧振子是重要的模型系統中的一者，任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。諧振子是存在簡單解析解的量子系統，量子諧振子可用來近似描述分子運動，所以對于諧振子的解的研究就格外重要。例如：肖奎等對一維線性諧振子波函數及概率分布的可視演示[1]；張小偉給出了關于電場中線性諧振子問題的求解[2]；趙清鋒用待定系數法求解一維線性諧振子在微擾體系下的解析解[3]；此外還有對二維諧振子、諧振子的概率密度與時間的關系、同調諧振子譜空間上的對稱性和參量雙粒子模型等方面的研究[4-10]。利用精確解、升降算符等方法求解一維電諧振子的能級和波函數。

1精確解方法

設一維線性諧振子帶有電荷為q，哈密頓算符為

(1)

(2)

將式(2)中勢能項作如下變形

(3)

其中x0=qε/mω2。

令

x′=x-x0，

(4)

則哈密頓算符變為

(5)

(6)

波函數為

(7)

一維線性諧振子的能級為

(8)

其中n=0,1,2,…。因此

(9)

2 升降算符方法

下面采用升降算符的方法求解上邊的一維電諧振子的問題。令

(10)

(11)

則

(12)

(13)

其中x0=qε/mω2。

則

(14)

根據對易關系

(15)

可得

(16)

(17)

且

(18)

由于

(19)

(20)

(21)

(22)

φn(x)=ψn(x-x0)=Dx(x0)ψn(x)，

(23)

其中Dx(x0)為平移算符。φn(x)和φ0(x)的關系為

(24)

3 近似解方法

對于上邊的同一問題我們還可以才有微擾理論，進行近似求解

(25)

(26)

(27)

則

(28)

(29)

根據微擾理論公式可得

(30)

(31)

(32)

所以

(33)

4 任意時刻的體系波函數

設0≤t≤τ時給一維線性諧振子施加均勻電場ε。設t=0時體系處于基態ψ0(x)，下邊求t>τ時的ψ(x,t)。t=0時，波函數滿足

(34)

可以解得

(35)

其中展開項系數為

|<ψn|ψ>|2=|fn|2,

(36)

t=τ時

(37)

所以以下通過求ψ(x,τ)來確定fn。

0≤t≤τ時的薛定諤方程為

(38)

其通解為

(39)

其中展開項系數Cn由初始波函數給出，即

(40)

根據平移操作的性質可得

ψ0(x)=φ0(x+x0)=Dx(-x0)φ0(x)，

(41)

其中x0=qε/mω2。由升降算符表示的平移操作算符Dx(-x0)為

(42)

根據Glauber公式

(43)

可以得到

(44)

(45)

(46)

(47)

所以

(48)

(49)

可見ψ0(x)用φn的基矢組成的相干態表示出來了。于是

(50)

(51)

(52)

其中α(τ)=α0e-iωτ，

(53)

所以ψ(x,τ)表示為

(54)

(55)

(56)

于是可以用ψn表示ψ(x,τ)，利用公式

(57)

可得

(58)

式中ψn向ψ(x,τ)的系數為

(59)

易知

(60)

(61)

5 結 語