秩虧水準網中多種定權方法的精度分析

龔櫟澎，楊久東，李韌，陳志江

(華北理工大學 礦業工程學院，河北 唐山 063210)

權在秩虧水準網平差工作中是表征精度的相對數字指標，定權模型符合工程測量的實際需求，是水準網平差處理精度的保證?，F有的水準網平差定權方法主要有2種：在平坦地形下采用距離定權，在地形復雜地區采用測站數定權。根據相關研究學者的深入研究發現，水準測量的主要誤差來源是視距及其相關誤差，所以采用按2個測站之間的距離進行定權為基本的傳統定權方法。但是，水準測量的誤差來源較多，包括系統誤差、偶然誤差以及觀測時的觀測讀數的相關誤差等都會對測量成果造成破壞的影響[1，2]。因此，在水準網測量平差時應綜合考慮多種因素所帶來的影響，所以按照傳統定權法在秩虧水準網的平差結果并不合理[3，4]。該項研究將客觀定權方法引入到水準網平差中，客觀定權是多目標決策理論研究的重要內容之一，其優勢在于能客觀合理地確定各指標的權重而不受主觀影響[5，6]。該項目選取秩虧水準網實例，以Matlab為工具，將熵權理論定權及變異系數賦權法引入到秩虧水準網中的定權問題，通過綜合權衡秩虧水準網的觀測值及測站間的觀測距離來重新確定平差中的權值，將客觀定權的秩虧水準網平差結果與傳統距離定權的平差結果進行精度分析，從而證明客觀定權方法的合理性及全面性。

1 熵權法定權理論

熵權法通過構造完整的評價對象體系，將評價對象體系中的相關影響因子組成相關的判斷矩陣，并根據影響因子的影響程度進行客觀定權，不具有個別影響因子單一定權帶來的片面性，因此在工程技術、社會經濟等領域得到廣泛的應用，成為確定指標權系數的一種有效方法[7，8]。

與傳統定權方法不同，熵權法主要取決于m個可行方案的各個指標向決策者提供的決策信息，并對其判斷貢獻值的大小，做的貢獻越大，該指標的權重值也就越大。當系統處于n種不同的狀態并且每種狀態出現的概率是Pi(i=1,2,…m)時，評價該系統的熵為式(1)：

(1)

式中，pi是每種狀態出現的概率，0pi1，且每種狀態出現的概率和為1，如式(2)：

(2)

按照以上方案，可得到判斷矩陣，如式(3)：

X=(xij)m×n

(3)

為了更好地進行系統數據處理，還需要采用均值標準化方法對判斷矩陣X進行預處理，從而消除不同量綱的影響。

熵權法中權數的確定是進行綜合評價的關鍵，其中主要步驟如式(4～9):

將對原始數據進行預處理從而得到標準化矩陣：

R=(rij)m×n

(4)

(5)

由公式(4)求出評價體系中的相關影響因子的出現概率pij，如式(6)：

(6)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

由公式(6)求第j個影響因子輸出的信息熵Ej，如式(7)：

(7)

由公式(7)求第j個影響因子輸出的信息熵權Dj，如式(8)：

(8)

由公式(6)和公式(8)求出評價體系中的定權結果Pi，如式(9)：

Pi=Pij·Dj

(9)

在利用熵權理論定權重新定權后，將新的權值代入到秩虧水準網進行平差處理。

2 變異系數賦權法原理

另一種客觀賦權方法變異系數賦權法是依據評價體系中的各項差異指標信息，計算體系中的變異系數從而確定相關指標的權重值。與熵權法相同的是需要對數據進行預處理從而得到各項指標值的變異系數，從而解決不同量綱無法進行統一評價的問題。

變異系數賦權法的重點在于計算出評價體系中的指標信息的變異系數，從而計算相關的權重，主要計算步驟如式(10～15)：

(1)將對原始數據進行預處理得到標準化矩陣：

R=(rij)m×n

(10)

(11)

(2)由公式(10)和(11)求出影響因子的出現概率pij：

(12)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

(3)各項指標的變異系數公式如下：

(13)

式中，(j=1,2,…n)，Vj是第j項指標的變異系數即標準差系數；σj是第j項指標的標準差；xj是第j項指標的平均數。

(4)各項指標的權重為：

(14)

(5)計算各項觀測值的權值：

Pi=Pij·Wj

(15)

變異系數法的定權結果是將距離千米數和測站數二者分別計算的結果pi進行相加。

3 利用客觀定權法對秩虧水準網平差權重的分配

通過熵權理論定權和變異系數賦權法的原理引入到秩虧水準網平差中，建立一個評價體系，其中水準路線的觀測值為相對應的評價對象，在水準測量中可能出現的各種因素中選擇最重要的2個因素即高差觀測值和路線長度為評價指標，具體計算流程圖如圖1所示：

圖1 計算流程圖

4 算例計

4.1 算例概述

表1 觀測樣本值

圖1 水準網

4.2 數據處理

通過算例給出的水準網觀測值計算出3種方案的各個觀測值的權重比例，在水準網中，有m條觀測路線，還有可能的n個影響因子(水準網考慮的影響因子為高差觀測值及水準路線長度，即n=2)，在計算出權重比例后，列出誤差方程式，代入到秩虧網中進行平差計算，得出3種不同權重比例分配下的點位中誤差，再進行點位中誤差精度的對比分析選擇最優的定權方案。

根據定權方法的不同，該項目設計了 3 種計算方案(見表2)。

表2 水準網觀測值定權結果

方案1：以傳統定權方法(距離定權法)計算的水準網觀測值權值為P1；

方案2：以熵權法計算的水準網觀測值權值為P2；

方案3：以變異系數賦權法計算的水準網觀測值權值為P3。

由表2分析得出，通過2種客觀定權方法的定權分配，觀測值的權重比例也發生了變化，即熵權理論定權及變異系數定權法與傳統定權的觀測值相比h3和h4的權重變大，h5的權重比例與傳統定權相比權重比例降低。

表3 水準網待定點高程平差精度評定結果

由表3中的高程平差精度評定結果分析，按照傳統方式定權即按照距離公里數定權的中誤差平均值為±52.146 5 mm，而客觀定權法的熵權理論定權法和變異系數賦權法的所求的待定點中誤差分別為±51.243 2 mm和±51.873 2 mm，熵權理論定權法中計算的X3的點位中誤差要比其它2種定權方法小，精度優于傳統定權方法和變異系數定權的方案。計算結果表明，熵權理論定權法比變異系數定權求得的待定點平均中誤差的精度要高，其權重分配比例最為合理，熵權理論定權法和變異系數賦權法的待定點精度平均值都表現出客觀定權方法要優于傳統定權方法。

5 結論

(1)引入了2種客觀賦權法進行水準網的平差計算，即利用熵權理論定權法和變異系數賦權法對距離公里數和高差觀測值進行了綜合的評價，都在相對應的評價體系中對2個評價指標進行權重的調節，從而確保權重分配的合理性。

(2)采用熵權理論定權法和變異系數賦權法定權后平差結果的精度均高于傳統定權方法的精度，且熵權理論定權法取得的效果在3種方案中的平差效果最好，精度最高。因此，采用熵權理論定權法在秩虧水準網可以取得良好的平差效果，是一種非常實用的秩虧水準網定權方法。