基于能量守恒定律的電弧爐動態模型

呂相宇，王存旭，王 寧，張超臣，段瑩瑩，高浩然

（1.沈陽工程學院a.研究生部；b.自動化學院，遼寧 沈陽 110136；2.國網沈陽供電公司，遼寧 沈陽 110000；3.國網遼寧省電力有限公司 檢修分公司，遼寧 沈陽 110000）

現有電弧爐模型在電弧爐進行冶煉過程中并不能很好地體現其動態阻抗特性[1]。因此，本文通過在電弧爐電弧中加入不同信號來體現電弧爐動態特性，建立符合其時變性的動態模型。

1 基于能量守恒定律的交流電弧爐模型

由于電弧爐電弧在冶煉過程中所呈現的多變性與隨機性，所以在研究電弧爐模型時需要建立電弧的數學模型。

1.1 電弧爐電氣系統的狀態方程

由電弧爐構成的系統可看成一個含源的線性網絡，利用戴維南等效電源定理化簡此類網絡后其結果不會受負載特性影響[2]。因此，在忽略變壓器耦合時對勵磁回路產生的干擾以及設定電弧爐負載三相穩定前提下，此時的電路可以等效為變壓器二次側。在忽略無功補償電容的情況下，其折算后的等效電路如圖1所示。

圖1 三相電弧爐的等效電路

圖1 中，電爐變二次側的電阻和電感為R1、L1；電弧爐電氣系統構成部分短網中的單相等效電阻、電感為R2、L2；其內部互感為M。令R=R1+R2，L=L1+L2，則電路可以進一步簡化，如圖2所示。

圖2 三相電弧爐的簡化等效電路

根據基爾霍夫電流定律可列出電路方程如下：

進一步化簡可得到如下狀態方程：

式（2）為最后化簡所得的電弧爐電氣狀態方程。

假設交流電弧爐三相平衡，則可得其單相等效電路，如圖3所示。

圖3 電弧爐三相平衡時的等效電路

由基爾霍夫定理可列出電路方程如下：

通過化簡變換后可得到電弧爐電氣系統的狀態方程為

若系統存在無功補償電容時，則電弧爐電氣部分的等效電路如圖4所示。

圖4 考慮無功補償時的單相等效電路

根據基爾霍夫定理可列出無功補償電容存在時的電氣方程如下：

在假設電弧爐系統三相平衡且存在無功補償電容時，通過消去i，對原式進行化簡可得到其電氣系統的微分方程為

由上面各式可知，在寫出電弧半徑表達式的前提下，電弧爐電路中的電壓、電流可以通過電氣方程求出。

1.2 電弧爐電弧數學模型的建立

隨著交流電弧爐冶煉過程的變化，其內部電流變化的不確定性使得電弧處于不穩定狀態，所表現的伏安特性也為動態特性[3]。圖5 為電弧爐典型的動態阻抗特性。通過圖5a 可看出電弧爐冶煉過程中其內部電壓產生嚴重畸變，電弧電流波形雖然變化并不劇烈，但在零點時也出現了“零休”現象[4]。從圖5b 中可見電弧爐伏安特性呈非線性狀態，且周期內變化劇烈。

圖5 電弧爐電流電壓典型曲線

以能量守恒定律為依據，建立非線性微分方程，可以得到電弧功率的平衡方程[5]為

式中，p1為以熱量形式散發出的功率；p2為改變電弧半徑的功率；p3為電弧功率和轉換為熱能的總功率。

在只考慮電弧半徑散熱忽略其它影響電弧熱能散失的前提下，可以得出：

因此，狀態變量為電弧半徑r，當電弧周圍熱量沒有散失且爐內溫度明顯很高時，p1與電弧半徑沒有關系，這種情況下n=0；若不考慮周圍溫度變化對于電弧的影響時，此時電弧長度較長，取n=1；當電弧長度在冶煉過程中變短時，其產生的主要影響在電弧的橫截面積上，這時取n=2。

在電弧周圍溫度變化時，其內部能量導數以及電弧半徑的變化與p2成正比關系，此時可以得出：

這里假設弧柱的電阻率和rm成反比，則可以得出：

式中，m=0,1,2，隨著電弧半徑的增大，溫度越高。

將賦值后的式（8）～式（10）代入式（7）后即可得到下列非線性微分方程：

式中，r(t)為電弧半徑；i(t)為電弧電流；模型系數k1、k2、k3數值已知；n、m為模型參數。

電弧電壓的表達式如下：

為了充分體現電弧爐的時變特點，在基于能量守恒定律建立的微分方程中設置其電弧半徑以及瞬時電流為其輸入量，此時電弧爐的電導為狀態變量[5]。由于在不同冶煉過程中的溫度變化，n、m的取值也隨之變化，在內部溫度過高的熔化期時，n=2，m=0，此時可體現出此類負荷的電壓波閃等電能質量問題。

式（11）乘以rm+2(t)，可得：

其中，k=，根據文獻[6]提供的參數辨識數據，此時參數k1=628.4，k2=0.53，k3=0.000 7，將所有參數帶入到式（16）中，可得：

函數y(t)的最終表達式可通過式（17）得出，將y(t)表達式代入式（14）后即可得到電弧半徑r(t)的表達式，再將所得表達式代入式（12）中即可得到電弧電壓u(t)的表達式。

2 三相交流電弧爐動態模型調制

電弧電壓波閃、諧波畸變產生的根本原因是在電弧爐冶煉過程中周期不同導致弧長的快速不規則變化[7]。為了使電弧爐輸出電壓u(t)具有周期性、隨機性以及混沌性，通常將這些外部特點在基于調制原理的基礎上加到電弧上。

為了使電弧半徑所示信號出現周期變化特性，將正弦信號加入到電弧半徑r(t)中，此時可得rs(t)為

電弧的隨機性采用高斯隨機分布進行調制：

式中，φg為考慮到高斯分布電弧所產生的非線性信號；β為調制系數。

為了體現電弧爐冶煉過程中電弧的混沌特性，采用文獻[8]中現有的混沌模型并將混沌信號加入到電弧半徑的仿真電路中，此時可得到：

式中，δ為調制系數；φh為低頻混沌信號。

考慮到冶煉時電弧爐阻抗特性的時變性以及三相取值的不同，將調制系數區間設為0～2.0，此時所搭建的可體現三相不平衡這一特點的電弧爐模型框圖如圖6所示。

圖6 電弧爐動態模型

3 電弧爐模型仿真分析

本文所搭建的電弧爐仿真模型參數來源于山東某制鎳廠，將表現電弧爐特性的3 個信號加入調試好的r(t)之后，并將其放入前面所搭建的穩態模型后，此時利用Matlab搭建的電弧爐動態模型進行仿真，如圖7所示。

圖7 電弧爐仿真模型電路

所搭建電弧爐子系統模型如圖8所示。

圖8 電弧爐子系統模型電路

在仿真軟件中運行所搭建電弧爐模型后所得出的電弧爐電壓、電流波形如圖9、圖10所示。

圖9 單相負載電壓波形

圖10 單相負載電流波形

從圖9 中可以看出，波形呈近似方波波動，完全偏離正弦波且波形產生嚴重畸變。在圖10 中可以看出，電流波形在經過零點處下降速率變緩且出現冶煉負荷常見的“零休”現象，此時的波形也產生了嚴重的畸變。仿真圖9、圖10 所展示的特點以及波形與電弧爐典型波形圖一致，因此，可驗證本文所搭建的電弧爐動態模型可替代電弧爐用于實際電能質量分析以及治理中。

4 結論

本文首先在列出電弧爐電氣系統狀態方程后推導出電弧爐電阻與冶煉過程中電壓、電流的關系，然后將正弦信號、高斯隨機信號和蔡氏混沌信號加入到根據不同冶煉時間所推導出的電弧表達式中并建立電弧爐動態模型。在3個特征信號調制到電弧后并將瞬時電流作為輸入，此時可表達出電弧電壓與電流的數學表達式進而建立電弧爐動態仿真模型。將仿真波形與電弧爐典型電壓、電流波形圖進行對比，驗證了本文所建模型的有效性。這種基礎工作對后續電弧爐所帶來的電能質量治理具有重要意義。