基于白化權函數的改進區間灰數預測模型

丁婳婳

(華北水利水電大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

灰數及其運算是灰色系統理論的基礎?；覕凳侵竷H知道取值范圍但不知其確切值的數，用記號“?”表示[1]。

文獻[2]根據區間灰數的已有分布信息發掘其幾何意義，并把灰數序列轉換為實數序列完成建模預測，但僅能解決典型白化權函數類型。文獻[3-4]從區間灰數的“核”“信息域”以及“認知程度”等特征出發實現預測；文獻[5]利用文獻[3-4]定義的信息域和認知程度，構建了改進的區間灰數預測模型；區間灰數的標準化形式在文獻[6]中給出，文中把區間灰數分為“白部”和“灰部”兩個實數序列；文獻[7]中對文獻[6]所定義的兩個實數序列分別進行預測，進而完成區間灰數的預測；文獻[8]在文獻[7]的基礎上又運用函數的面積和重心給出白化權函數預測模型；文獻[9]基于核與測度完成了區間灰數的預測；文獻[10]為了保證灰度在建模過程中不減，利用準灰度因子對區間灰數取值范圍進行灰度最大化處理；文獻[11]在“灰度不減”公理條件下，定義兩組含上下限信息的核序列的預測模型降低誤差;文獻[12]和文獻[13]分別提出了基于白化權函數的灰數的核與灰度的定義。

本文將利用文獻[12-13]給出的定義，完成基于白化權函數的區間灰數的預測。根據已有信息，本文通過充分利用白化權函數端點值與區間灰數的邊界值之間的關系，建立預測模型。最后將模型應用于已有文獻的算例分析中，驗證了模型的有效性和實用性。

1 基本概念

定義1[2]既有下界ak，又有上界bk的灰數稱為區間灰數，記為?k∈[ak,bk]，其中ak≤bk，k=1,2,…。由區間灰數構成的序列記為X(?)=(?1,?2,…,?n)。

定義2[1]對于區間灰數?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，在缺乏灰數取值信息分布情況下稱

(1)

為區間灰數的核。

定義3[4]對于區間灰數?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，稱區間長度

d(?k)=bk-ak

(2)

為區間灰數的信息域。X(?)中所有區間灰數的信息域構成的序列稱作信息域序列，記為

Xd=(d1,d2,…,dn)。

定義4[3]對于區間灰數?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，稱

(3)

Xp=(p1,p2,…,pn)。

定義5[13]用來描述一個灰數?k∈[ak,bk]在其取值范圍[ak,bk]內對不同數值的偏好程度的函數，稱作區間灰數?k的白化權函數，記為f?k(x)；起點、終點確定的左升、右降連續函數稱為典型白化權函數，如圖1所示。

圖1 典型白化權函數Fig.1 Typical whitening weight function

定義6[13]圖1中，當a′k=b′k時，則稱函數為三角白化權函數，如圖2所示。

圖2 三角白化權函數Fig.2 Triangular whitening weight function

定義7[12]論域Ω∈[a,b]，區間灰數?k∈[ak,bk]?Ω，k=1,2,…，f?k(x)為灰數?k的白化權函數，且0≤f?k(x)≤1，則區間灰數的核為

(4)

定義8[13]一種基于灰色白化權函數的灰數灰度定義(如圖1)

(5)

2 基于白化權函數的改進區間灰數預測模型的構造

基于白化權函數的改進區間灰數預測模型的建模流程：首先根據已有的信息內容，計算出區間灰數的信息域和認知程度序列，對兩序列依次建立DGM(1,1)模型，經由推導還原，完成區間灰數上下界值的預測；因為已知各區間灰數的白化權函數，就已知其在取值區間內的偏好信息，故在計算認知程度時，用文獻[12]給出的核來作為白化值。然后根據核與灰度，建立白化權函數端點值與區間灰數的上下界信息之間的關系，通過對核與灰度序列建立GM(1,1)模型再推導，完成白化權函數端點值的預測。

2.1 白化權函數已知的區間灰數上下界預測

其中k=1,2,…,n，

且

其還原值為

(6)

其中k=1,2,…，n。

同理建立認知程度序列的DGM(1,1)模型，還原值為

(7)

其中k=1,2,…,n。

由于此時缺乏預測值的取值分布信息，故用式(1)給出的核作為認知程度中的白化值。有

(8)

且

(9)

聯立式(8)和式(9)可得

(10)

將式(6)和式(7)的預測結果代入式(10)中即可得區間灰數上下界的預測值。

2.2 白化權函數端點值預測

基于白化權函數的區間灰數預測模型，在預測完區間灰數的取值范圍基礎上，完成白化權函數端點值的預測。本文研究了兩種白化權函數類型。

1)白化權函數為典型白化權函數。

當f?k(x)為典型白化權函數時，如圖1所示，其具體表達式為

由式(4)可求得區間灰數的核為

(11)

由式(5)可得區間灰數的灰度

(12)

對核與灰度序列分別建立GM(1,1)模型，其還原值為

(13)

(14)

已知區間灰數的核與灰度的預測值，聯立式(11)和式(12)，將式(13)和式(14)的結果代入即可得典型白化權函數端點預測值的表達式，為

(15)

(16)

由式(15)和(16)即可得典型白化權函數的端點預測值。

歸納建模步驟：

步驟1通過式(2)式(3)計算出區間灰數的信息域和認知程度，形成信息域序列和認知程度序列,認知程度中的白化值由式(4)給出；

步驟2通過式(6)和(7)對兩個實數序列建立DGM(1,1)模型；

步驟3通過式(10)可還原得區間灰數預測值的上下界；

步驟4通過式(11)和(12)求出各灰數的核與灰度，形成核與灰度序列；

步驟5通過式(13)和(14)對核序列與灰度序列建立GM(1,1)模型；

步驟6通過式(15)和(16)可得典型白化權函數端點預測值；

步驟7模型精度分析。

2)白化權函數為三角白化權函數。

當f?k(x)是三角白化權函數時，如圖2所示，其具體表達式為

由式(4)可得區間灰數的核為

(17)

由式(17)可得三角白化權函數端點值的表達式為

(18)

通過式(17)求出核，并形成核序列。通過式(13)可得區間灰數的核預測值。將上下界預測值和核預測值代入式(18)即可得三角白化權函數的端點預測值。

歸納建模步驟：

步驟1-3同1)；

步驟4通過式(17)求出所有灰數的核；

步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型；

步驟6通過式(18)得到三角白化權函數端點預測值；

步驟7模型精度分析。

3 算例分析

為了便于比較模型精度，本文引用文獻[8]的數據進行建模，并將結果進行對比分析。文獻[8]收集了黃河巴彥高勒站2008—2013年在凌期12月09日到第二年3月15日的日均流量，原數據見表1?？赊D化為基于三角白化權函數的區間灰數，如表2。

表1 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.1 Daily average flow rate of Bayangola Station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

表2 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.2 Daily average flow rate of Bayangola station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

根據2008—2012年的數據，建立模型預測2012—2013年的日均流量，步驟如下：

步驟1通過式(2)式(3)計算出區間灰數的信息域和認知程度，得到信息域序列和認知程度序列

步驟2通過式(6)和(7)對兩個實數序列建立DGM(1,1)模型得

步驟3通過式(10)可得區間灰數預測值的取值區間為[312.41,780.9]；

步驟4通過式(17)求出的核序列為

步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型為

步驟7模型精度分析,將本文模型預測結果與文獻[8]方法的預測結果對比見表3。

表3 兩種方法模擬預測值對比分析

4 結論

本文通過區間灰數的已有信息計算出各特征值，先計算出信息域與認知程度序列，對兩序列建立DGM(1,1)模型，經由推導還原得區間灰數預測值的上下界；再根據核與灰度，建立白化權函數端點值與上下界信息之間的關系，通過推導還原，來完成白化權函數端點值的預測，研究了兩種白化權函數類型。 并將本文模型應用到已有文獻的算例分析中，結果表明本文所提出的預測模型模擬精度較好。但本文的白化權函數都是線性函數，當白化權函數為非線性函數時要做出怎樣的改進，這是接下來研究的重點。