一種彎曲主導型熱膨脹點陣超材料的帶隙特性研究

劉成龍,許衛鍇,呂樹辰,祁武超

(沈陽航空航天大學，遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

0 引 言

聲子晶體(phononic crystal, PnCs)[1-3]是一種具有周期結構的人工材料，由于其所具有的特殊色散特性，能對帶隙頻率范圍內的聲波/彈性波產生抑制或調控作用，從而在波導、頻率濾波器、聲學隱身和振動控制裝置等實際裝置的設計中具有潛在的應用前景[4-8]。聲子晶體帶隙產生方式有Bragg散射機理[9]和局域共振機理[10]兩種，無論哪種機理基本都是通過合理的構建周期性微結構以實現其帶隙特性。相比于自然材料，人工超材料能夠通過合理的微結構設計以滿足不同的設計需求[11-12]，因此成為各個領域研究的熱點。

當前科技的發展對材料的設計提出了更嚴苛的要求。對于帶隙材料來說，主要體現在帶隙的可調諧性和多功能性。一方面，當聲子晶體的微結構確定后，其帶隙頻率也隨之確定，無法適應振動環境的改變。目前的研究主要集中于通過外加電、磁、熱等物理場使材料的參數或形狀發生改變以實現帶隙性能的調控[13]。另一方面，材料的工作環境往往存在光、電、磁、熱、力等多場耦合的情況，因此對材料的不同屬性提出了新的要求。例如，聲光子晶體(Phoxonic crystal, PxC)可以同時實現聲帶隙和光帶隙[14]。

在航空航天等領域中，結構與材料在服役過程中往往需要應對多種物理場的耦合作用，如微電機系統、高超聲速熱防護系統，結構與材料既需要應對溫度的變化，又需要在一定程度上應對振動和噪聲的挑戰。因此，在設計具有特定熱膨脹功能的結構時，考慮其是否具有帶隙特性逐漸成為一個重要的科學問題。目前對特定熱膨脹系數材料的實現已經得到了廣泛的關注[15-17]?？紤]到實際工程承載需求，Lehman和Lakes等采用三角形超材料單胞(Lehman-Lakes單胞)實現高剛度的設計[15,17-18]。然而，Lehman-Lakes單胞的連接方式為鉸接，不易制備，Zhang等[19-20]將其改進為固定連接(JTCLM單胞)并通過合理的材料/尺寸設計提高了結構的剛度特性。王炳達等[21]進一步揭示了JTCLM單胞的許用溫變設計。

迄今為止，研究人員在熱膨脹材料的設計領域取得了豐碩的成果，但仍缺乏對熱膨脹材料的帶隙分析研究?？梢钥闯?，不論是Lehman-Lakes單胞還是JTCLM單胞，其拓撲構型都與三角形蜂窩材料類似，即有可能會存在帶隙特性。另一方面，單胞參數的改變將有可能會改變帶隙的頻率范圍。因此，對考慮熱膨脹系數設計的JTCLM單胞進行帶隙研究，并討論相關尺寸對膨脹系數的變化和帶隙的影響成為必須要考慮的關鍵問題。

本文通過有限元方法分析了JTCLM單胞的帶隙特性，并討論了單胞的可設計幾何參數對能帶的影響。研究表明，肋條的彎曲是JTCLM單胞產生帶隙的重要因素，通過調整單胞的幾何參數，可以實現點陣材料的帶隙特征調控。

1 模型與方法

1.1 JTCLM單胞拓撲構型

本文選取文獻[19]中的JTCLM單胞作為研究對象，如圖1所示。其中材料1是因瓦，一種低熱膨脹系數的合金材料；材料2是鋼，一種熱膨脹系數較高的材料。其參數如表1所示。其中L=50 mm，L0=30 mm；θ和r分別為彎曲角度和彎曲半徑，代表了肋條雙材料部分的彎曲程度。

表1 復合材料中組分材料的參數

1.2 能帶結構計算

彈性波在線彈性、各向同性的無源介質中的控制方程為[22]

ρ(r)-1{▽[μ(r)▽×u(r)]-▽[(λ(r)+2μ(r))(▽·u(r))]}=ω2u(r)

(1)

式中：ω為角頻率；r(x,y,z)為位移矢量；u(r)為位移向量；▽=(?/?x,?/?y,?/?z)為微分算子；λ(r)和μ(r)分別為介質的拉梅常數；ρ(r)為介質密度。這三個材料參數和周期結構具有相同的周期性。

根據布洛赫定理，有

(2)

式中：k=(kx,ky)為第一布里淵區內的波矢；G為正格矢任一倒格矢。由于平移周期性，一個晶胞的空間內場分布與整個晶格結構的周期性是相同的。在晶體學中，倒格點陣中從某一格點出發,做與相鄰格點的垂直平分面,所圍成的空間就是第一布里淵區，將第一布里淵區對稱后得到的區域稱為不可約布里淵區。對于由JTCLM單胞組成的點陣超材料，其Wigner-Seitz原胞可取為圖2(a)所示六邊形，其不可約布里淵區如圖2(b)陰影部分所示。對于帶隙分析，只需要使波矢k歷遍不可約布里淵區的邊界，即可得到該聲子晶體的帶隙。

2 結果與討論

對于圖1所示的JTCLM單胞，其等效熱膨脹系數可由q，m，n，α1、α2，θ六個參數確定。一旦材料被選定后，則熱膨脹系數α1、α2，模量比n也將確定，此時單胞的帶隙特性主要受其形狀影響。因此，本文將重點討論幾何參數對JTCLM單胞帶隙的影響。由于JTCLM單胞組成的熱膨脹點陣材料只在x-y平面內體現零膨脹特性，因此本文只考慮二維帶隙即x-y平面內帶隙。

2.1 彎曲曲率的影響

JTCLM單胞的彎曲部分是圓弧。當彎曲曲率不同時，其曲率半徑和圓心位置也將改變，不易對雙材料彎曲部分進行直觀表述和操作。因此可沿肋條方向定義起點M，終點N。點Q是曲線過兩端點的切線的交點，將其稱為控制點。利用點Q縱坐標的變化可以更加直觀的表述θ的變化，如圖3所示。由幾何關系可知

(3)

可以看出，y的值越大，彎曲角度θ也越大。

圖4顯示了點Q縱坐標y=12 mm，m=1，q=0.6時的前16階帶隙圖?？梢钥闯?，在5.35～7.74 kHz、10.42～14.39 kHz和17.93～20.96 kHz出現了3條較寬的帶隙。為了進一步描述不同的彎曲曲率對帶隙的影響，通過計算不同點縱坐標的帶隙進行規律對比。對比圖如圖5所示。

由圖5可以看出，y=0 mm時，與常規的三角點陣結構一樣，并未出現完全帶隙[23]。此時肋條部分可以等效為一直桿。當肋條開始變彎后，意味著結構的對稱性降低，更易于產生帶隙[24]，因此在1.8 kHz、3.5 kHz、7.2 kHz、13.6 kHz、21 kHz附近開始出現帶隙，但帶寬較窄。隨著點Q縱坐標y的增加，6～10 kHz頻段內的帶隙寬度先變寬，在5 mm處達到最大寬度，隨后帶隙寬度變窄，帶隙頻率范圍整體有下降的趨勢；當y增大到7 mm后，10～14 kHz頻段和21 kHz頻率附近的帶隙寬度明顯變寬，且帶隙頻率范圍整體有下降的趨勢，尤其是帶隙的下限下降明顯。3.5 kHz以下的帶隙頻率范圍沒有明顯變化。這是由于q保持不變時，彎曲程度的改變相當于振子(彎曲部分)等效質量的改變，y值越大，振子的等效質量就越大，從而出現禁帶頻域整體下移的趨勢。

2.2 厚度比的影響

圖6顯示了y=12 mm且q=0.6時帶隙結構隨厚度比的變化規律。由于m表示的是兩種材料的厚度比，為了更好的描述材料在整體厚度的占比，用無量綱參數m/(m+1)表示厚度比值的變化。這里分別計算了厚度比從0.2到0.9的帶隙情況?？梢钥闯?，隨著厚度比的增大，帶隙頻段出現了整體上移的趨勢。這是由于m/(m+1)代表的是材料1的厚度占比，其值越大表示結構的剛度越大而振子(材料2)質量越小，因此出現禁帶頻域單邊上升的趨勢。

2.3 長度比的影響

圖7顯示了固定y=12 mm且m=1時帶隙結構隨q值的變化情況。嚴格地講，q值的變化所引起的單胞構型差異化相較前兩節的曲率或厚度要大得多。當L0改變時，雙層材料部分的彎曲程度也會受到影響，因此，更復雜的單胞構型差別使得它們的帶隙特征沒有出現明顯規律，如圖7所示。根據Zhang等[19-20]的研究，考慮結構的剛度設計時q不應過小，因此在進行材料設計時q的取值范圍為0.6～0.9。

3 結 論

JTCLM單胞點陣復合材料在滿足特定熱膨脹系數設計的同時，也具有聲子晶體的帶隙特性。本文對該單胞的帶隙特性進行了研究，討論了不同幾何參數對帶隙特征的影響，并得到以下結論。

(1) JTCLM單胞點陣復合材料屬于彎曲主導型的熱膨脹材料，當肋條存在彎曲曲率時會產生帶隙，且帶隙特性受形狀影響較大。

(2)針對不同曲率、不同厚度比和不同長度比的單胞帶隙分析，給出帶隙隨幾何參數改變的分布規律圖，為實現熱膨脹/帶隙雙目標的超材料設計提供了理論依據。

(3)通過合理的選材和形狀設計，有望實現特定膨脹性質和帶隙設計的雙目標共贏，使材料具有更好的可調諧性和多功能性。